1、2012届北京市 101中学高三上学期统考二理科数学试卷与答案 选择题 已知集合 ， ，则 为 A（ 0， 2） B（ 2， ） C（ 0， ） D 答案： A 已知函数 是定义在 R上的奇函数， ，在 上是增函数，则下列结论： 若 4且 ，则； 若 ，则 ； 若方程 内恰有四个不同的解 ，则。其中正确的有 A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： D 解：由 f（ x+4） =-f（ x）可得 f（ x+8） =f（ x），此函数是以 8为周期的周期函数， 又 f（ x）是奇函数，且在 0， 2上为增函数 f（ x）在 -2， 0上也是增函数 当 x 2， 4时， x-4 -2， 0，
2、且由已知可得 f（ x-4） =-f（ x），则可得函数 f（ x）在 2， 4上单调递减，根据奇函数的对称性可知， f（ x）在 -4， -2上也是单调递减 若 0 x1 x2 4，且 x1+x2=4，则 0 x1 4-x1 4，即 0 x1 2， -2 x1-4 0 由 f（ x）在 0， 2上是增函数可得 f（ x）在 -2， 0上也是增函数，则 f（ x1） f（ x1-4） =f（ -x2） =-f（ x2），则 f（ x1） +f（ x2） 0；故 正确 若 0 x1 x2 4，且 x1+x2=5，则 0 x1 5-x1 4，即 1 x1， f（ x）在 0，2上是增函数，由图可知
3、： f（ x1） f（ x2）；故 正确； 四个交点中两个交点的横坐标之和为 2（ -6），另两个交点的横坐标之和为22，此时 x1+x2+x3+x4=-12+4=-8，故 正确； 故答案：为 E， F是等腰直角三角形 ABC斜边 AB上的三等分点，则 ECF= A B C D 答案： C 已知数列 的通项公式 ，设其前 项和为 ，则使成立的自然数 n有 A最大值 15 B最小值 15 C最大值 16 D最小值 16 答案： D 函数 ，给出下列四个命题： 函数在区间 上是减函数； 直线 是函数图象的一条对称轴； 函数 的图象可由函数 的图象向左平移 而得到； 若 ，则 的值域是 0， 。 其
4、中正确命题的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 已知 ：存在 ； ：对任意 ， 0，若为假，则实数 的取值范围为 A B C D 答案： B 已知等比数列 中， ，公比 1，若 ，则 A 9 B 10 C 11 D 12 答案： C 在 ABC中， “ ”是 “ ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 填空题 定义运算 ，若数列 ，则_；数列 的通项公式是 _。 答案：； 用 表示 a， b两个数中的最大数，设 ，那么由函数 的图象、 轴、直线 和直线 所围成的封闭图形的面积是 _。 答案： 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投
5、入运营，据市场分析其利润（单位 10万元）与运营年数 为二次函数关系（图象如下图），则每辆车运营年数 _时，其平均年利润最大。 答案： 考点：函数模型的选择与应用。 分析：先根据图象求出二次函数式，欲使营运年平均利润最大，即求 y/x的最大值，故先表示出此式，再结合基本不等式即可求其最大值。 解答： 设二次函数为 y=a（ x-6） 2+11（ a 0）， 将点（ 4， 7）代入，得 a=-1， 故二次函数为 y=-x2+12x-25， 则年平均利润为 y/x=-（ x+25/x） +122 当且仅当 x=25/x 即 x=5时，取等号。 每辆客车营运 5年，年平均利润最大，最大值为 20万元
6、。 点评：本题主要 考查了二次函数的性质、基本不等式在最值问题中的应用、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，属于中档题。 已知 ，直线 与函数 、 的图象都相切，且与函数 的图象的切点的横坐标为 1，则 的值为 _。 答案： -2 已知 ，则 _。 答案： 若关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 _。 答案： 解答题 已知 。 （ I）求 的值； （ II）求 的值。 答案：解：（ I）由已知， ， 又 ， ； （ II）由已知： ， ， 。 已知数列 的前 项和， 。 （ I）求数列 的通项公式 ； （ II）记 ，求 。 答案：解：（ I）当 时， ，
7、当 时， ， 又 不适合上式， （ II） ，当 ， 。 如图，在平面四边形 ABCD中， AB=AD=1， BAD= ， BCD是正三角形。 （ I）将四边形 ABCD的面积 S表示为 的函数； （ II）求四边形 ABCD的面积 S的最大值及此时 的值。 答案：解：（ I）在 ABD中， ， ， ， ，且 ； （ II） ，且 当 时， ，此时 。 已知函数 。 （ I）当 时，解不等式 ； （ II）求 的最大值。 答案：解：（ I）当 时， 原不等式等价于 ，或 故原不等式的解集为 ； （ II） 即 当 时，在 上 单减，最大值为 ， 在 上 先增后减，最大值为 ， 此时， 在 上最
8、大值为 ； 当 时，在 上 先增后减，最大值为 ， 在 上 单增，最大值为 ， 此时， 上最大值为 当 时， 在 上最大值为 0。 综上，当 时， 最大值为 ；当 时， 最大值为 。 已知函数 。 （ I）求 的单调区间； （ II）若对于所有的 成立，求实数 的取值范围。 答案：解：（ I）定义域为 ， 即 时， 恒成立； 有两不等实根 ， 且若 恒成立， 若 ，则 ，在 ，在 上 ，在上 ， 综上，当 时， 在 上单增， 当 时， 增区间为 ， 减区间为 ； （ II） ， ，对 恒成立。 设 ，则 ， 当 时， 恒成立， 恒成立， ， 。 已知数列 各项均为正数， ，且对于正整数时，都有 。 （ I）当 ，求 的值，并求数列 的通项公式； （ II）证明：对于任意 ，存在与 有关的常数 ，使得对于每个正整数 ，都有 。 答案：解：（ I）令 ，则将 代入上式，得 （ *） ， ， 且 ， 故 为等比数列，且 ， ， 。 （ II）由题设 值仅与 有关，设为 。 则 ， 考察函数 ，则在定义域上有 故对 恒成立，又 ， 注意到 ，解上式得 ， 取 ，即有 。
