1、2012届北京市北师大附中高三上学期开学测试理科数学试卷与答案 选择题 已知集合 ， ，则 =（ ） A B C D 答案： C 定义在 上的偶函数 满足 ，且 在 上是增函数，下面五个关于 的命题中： 是周期函数； 图象关于 对称； 在 上是增函数； 在 上为减函数； ，正确命题的个数是（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： C 已知 ，则 的值为（ ） A B C D - 答案： B 已知平面上三个点 A、 B、 C满足 + 的值等于（ ） A. 25 B. 24 C. -25 D. -24 答案： C 设 ，则使 为奇函数且在（ 0， + ）上单调递减的 值的个数为（ ）
2、 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： A 函数 y= (0a1)的图象的大致形状是（ ） 答案： D 已知向量 ， ，若（ + ） /（ -2 ），则实数 x的值为（ ） A -3 B 2 C 4 D -6 答案： D 命题 “ ，使得 ”的否定是（ ） A x R,都有 B x R,都有 或 C x R，都有 D x R，都有 答案： B 填空题 若 ，则 。 答案： 函数 的图象如下图所示，则的表达式是 。 答案： 根据表格中的数据，可以判定方程 的一个零点所在的区间为，则 k的值为 。 x -1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+2 1 2 3
3、4 5 答案： 在平行四边形 ABCD中 ， ， ， ，则。（用 表示） 答案： 曲线 与坐标轴围成的面积是 答案： 函数 的定义域是 。 答案： 解答题 在 中，角 的对边分别为 已知 . （ 1）求 的值； （ 2）若 ,求 的面积 S的值。 答案：解：（ 1） ， . . . （ 2）由（ 1） . 设函数 ，若不等式 的解集为（ -1，3）。 （ 1）求 的值； （ 2）若函数 上的最小值为 1，求实数 的值。 答案：解：（ 1）由条件得 ，解得： . （ 2） ，对称轴方程为 ， 在 上单调递增， 时 ， 解得 . . 中，角 的对边分别为 ，且. （ 1）判断 的形状； （ 2）设
4、向量 且 求 . 答案：解：（ 1）由题 故 ， 由正弦定理 ，即 . 又 故 因 故 . 即 ，故 为直角三角形 . （ 2）由于 ，所以 且 ，即 联立 解得 故在直角 中， 已知函数 ，点 在函数 的图象上，过 P点的切线方程为 . （ 1）若 在 时有极值，求 的式； （ 2）在（ 1）的条件下是否存在实数 m，使得不等式 m在区间 上恒成立，若存在，试求出 m的最大值，若不存在，试说明理由。 答案：解：（ 1） 是方程 的根 , 又切线的斜率，即 在 时的值， 点 P既在函数 的图象上，又在切线 上， ，解得 故 （ 2）在（ 1）的条件下， 由 得函数的两个极值点是 . 函数的两个
5、极值为 函数在区间的两个端点值分别为 . 比较极值与端点的函数值，知在区间 上，函数 的最小值为 . 只需 ，不等式 恒成立。此时 的最大值为 设函数 . （ 1）若 ，求函数 的单调区间； （ 2）若函数 在定义域上是单调函数，求 的取值范围； （ 3）若 ，证明对任意 ，不等式 都成立。 答案：解（ 1） ，定义域 时， 当 . 故函数 的减区间是（ -1， 1），增区间是（ 1， + ） . （ 2） ，又函数 在定义域是单调函数， 上恒成立。 若 ， 在 上恒成立， 即 恒成立，由此得 ； 若 即 恒成立， 因 在 没有最小值， 不存在实数 使 恒成立。 综上所知，实数 b的取值范围是 . （ 3）当 时，函数 ，令函数 , 则 ， 当 时， ， 函数 在 上单调递减， 又 恒成立。 故 取 ， ，故结论成立。
