1、2012届广东省广州市第六中学高三上学期第 3次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 是虚数单位，复数 的虚部是（ ） A - B C D 2 答案： B 试题分析： ，在进行复数的除法运算时，我们要分子分母同乘以分母的共轭复数。 考点：本题主要考查复数的运算及实、虚部的概念。 点评：复数在考试中一般是必出的一道小题，放在较靠前的位置，属于简单题，要求学生必须得分。因此，要对复数中的每个知识点都熟练掌握。同时，也要熟记一些常用公式： 公因数只有 1的两个数，叫做互质数。例如： 2与 7互质， 1与 4互质。在1， 2， 3， 4， 5， 6， 7的任一排列 中，使相邻两数都互质的不同排列方
2、式共有（ ）种 A 576 B 720 C 864 D 1152 答案： C 试题分析：根据题意， 3与 6不互质，因此不能相邻； 2、 4、 6两两不互质，他们也不能相邻。我们可以先排 1、 3、 5、 7，先后把 2、 4、 6、插空，但要注意6不能排在 3的左右。 考点：本题考查排列问题中常见的限制条件及对策。 点评：对于有特殊要求的元素我们应优先考虑；元素不相邻的排列，先排其他元素，然后 “插空 ”。 已知一组正数 的方差为 ，则数据的平均数为（ ） A 2 B 3 C 4 D 6 答案： C 试题分析：由 根据方差公式求出 的平均数为 2，因此 的平均数为 4. 考点：本题考查方差的
3、计算公式 。 点评：一般情况下，我们是给出平均数求方差，而此题却是给方差求平均数，这就对我们知识的掌握提出了更高达要求。再就是我们在做题的过程中也应善于总结，比如：若 的平均数是 ，方差是 S ；则的平均数是 +2，方差是 S ， 的平均数是 2 ，方差是 4S ； 已知函数 是 R上的单调增函数且为奇函数，数列 是等差数列， 0，则 的值 （ ） A恒为正数 B恒为负数 C恒为 0 D可以为正数也可以为负数 答案： A 试题分析：由函数 是 R上的增函数，知取任何 x2 x1，总有 f（ x2） f（ x1），由函数 是 R 上的奇函数，知 f（ 0） =0，所以当 x 0， f（ 0） 0
4、，当 x 0， f（ 0） 0由数列 an是等差数列， a1+a5=2a3， a3 0，知 a1+a5 0，所以 f（ a1） +f（ a5） 0， f（ a3） 0，由此知 恒为正数 考点：本题考查 等差数列的性质和应用； 函数的单调性和奇偶性。 点评：解本题的关键是分析出是 f（ 0） =0和当 x 0， f（ 0） 0，当 x 0， f（ 0） 0。解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用函数的性质进行解题 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：题中的条件 乍一看不知如何下手，但只要明确了是一个常数，问题就很容易解决了。对 进行求导： =
5、，所以 ， -1. 考点：本题考查导数的基本概念及求导公式。 点评：在做本题时，遇到的主要问题是 想不到对函数 进行求导； 的导数不知道是什么。实际上 是一个常数，常数的导数是 0. 若点 P（ 1， 1）为圆 的弦 MN的中点 ，则弦 MN所在直线的方程为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意可知弦 MN所在直线过点 P（ 1， 1），因此要求弦 MN所在直线的方程只需求出直线的斜率即可。设圆 的圆心为 O,由直线MN与 OP垂直就可求出直线 MN的斜率。 考点：本题考查直线方程的点斜式 和斜率公式 点评：直线与圆往往结合到一块考查。我们要熟练掌握直线方程的五种形式，及每一种形
6、式的特点和应用前提。例如直线方程的点斜式的特点是一点一斜率；应用前提是斜率存在。 设向量 a， b均为单位向量，且 |a b|=1，则向量 a与 b的夹角为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：把 |a b|=1 两边都平方， |a b| =（ a b） =a +b + 2 ab=2+2ab=1，所以 ab= ， = . 考点：本题考查 向量的运算：数量积； 数量积的一条重要性质：向量的平方就等于模的平方。 点评：向量的平方就等于模的平方是一条非常重要的性质，考试中经常考到。此题的关键就是想到应用这条性质。一般情况下，题中若有向量的模都要先考虑这一条。 设集合 ， ，若 ，则 （ ）
7、A B C D 答案： B 试题分析： 说明集合、中都有 0，而 P中已经有一个元素 3，所以 ，所以 ,这样集合 Q=1， b，所以 b=0. 考点：本题考查集合的运算：交并补及对数的一些基本概念： 1的对数为 0。 点评：此题把集合的运算和对数相结合，考查我们对知识点的灵活应用，属于较简单题目。 填空题 如图，点 P在圆 O直径 AB的延长线上，且 PB=OB=2， PC与圆 O相切于点 C， CD AB于点 D，则 CD= 。 答案： 试题分析：根据题中圆的切线条件再依据切割线定理求得 PC2的值，再根据直角三角形中的边角关系即可求得 PC和 CD的长或者根据等积法求出 CD的长 考点：
8、本题考查与圆有关的比例线段。 点评：直接应用所学知识点，属于基础题目。 已知直线的极坐标方程为 ，则点（ 2， ）到这条直线的距离为 答案： 试题分析：把极坐标方程 应用公式 ， 转化为直角坐标方程 。同时应用公式 把点（ 2，）转化为直角坐标系内的点 利用点到直线的距离公式即可。 考点：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化和点到直线的距离公式。 点评：此题属于基础题目，直接应用公式即可。 给出下列命题： 的展开式中的常数项是 20； 函数 图象与 轴围成的图形的 面积是 ； 若 ，且 ，则 。 其中真命题的序号是 （写出所有正确命题的编号）。 答案： 试题分析： 把 用二项式定理展开可得常
9、数项为 20； 要注意定积分与面积的区别，函数 图象与 轴围成的图形的面积应该是 。 正态分布 的曲线关于直线 对称。 考点：本题考查二项式定理、定积分、正态分布。 点评：在平常做题中，很多同学认为面积就是定积分，定积分就是面积。从而导致此题出错。实际上，我们是用定积分来求面积，但并不等于定积分就是面积。 设 F1、 F2分别是椭圆 的左、右焦点， P为椭圆上任一点，点 M的坐标为（ 6， 4），则 |PM| |PF1|的最大值为 . 答案： 试题分析：点 M是椭圆外的一点，由椭圆的定义可得， |PM| |PF1|=10-|PF |PM| =15，当且仅当 P， F2， M三点共线时取等号 .
10、 考点：本题考查椭圆的定义：椭圆上的点到两焦点的距离和为常数 。 点评：本题把椭圆的定义与几何相结合，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于基础题 已知 满足 ，则 的最大值是 . 答案： 试题分析：由线性约束条件 我们能画出可行域，关键是对式子的整理： = ，其中 的几何意义是过点 （ 1,4）直线的斜率。 考点：本题考查线性规划的一些基础知识， 点评：对于解决线性规划的问题我们的关键点在于分析目标函数。目标函数除了我们常见的 这种形式外，还有常见的两种： ，第一种的几何意义为：过点 与点 (a,b)直线的斜率。第二种的几何意义为：点 与点 (a,b)的距离。 执行右边的程序框图，则输出的结
11、果是 . 答案： 试题分析：初始值 通过判断框，满足条件进入循化体， s=1,i=2,p=3,此时 i=2还满足条件 ，再次进入循环体， s=4,i=3,p=6， i=3仍然满足 这个条件，再次循环得 s=10. 考点：本题考查程序 框图中的循环结构。 点评：程序框图是课改之后的新增内容，在考试中应该是必考内容。一般情况下是以一道小题的形式出现，属于较容易题目。 设 a， b为正数，且 a+b=1，则 的最小值是 答案： 试题分析：因为 a+b=1，我们应用 1的代换得 : =考点：本题考查均值不等式 点评：本题中给出 a， b为正数使人较容易联想到基本不等式，但关键是基本不等式的灵活应用，此
12、题我们通过 1的代换把 转化为 ，从而达到了应用基本不等式的条件。 1的代换是这个地方常用的一中做题技巧，我们应熟练掌握。 解答题 在 ABC中，内角 A， B， C所对边长分别为 ， ， . （ 1）求 的最大值及 的取值范围； （ 2）求函数 的最值 . （本题满分 12分） 答案：（ 1） 的最大值为 16， 0 （ 2） 。 。 试题分析： ，所以 ；又由余弦定理得： ，所以 ，又 ，所以 0 8 分 因为 0 ，所以 ， ， 10分 当 ，即 时， 。 11 分 当 ，即 时， 。 12 分 考点：本题考查基本不等式和三角函数的化一公式及利用三角函数的单调性求最值问题。 点评：三角函
13、数和其他知识点相结合往往是第一道大题，一般较为简单，应该是必得分的题目。而有些同学在学习中认为这类题简单，自己一定会，从而忽略了对它的练习，因此导致考试时不能得满分，甚至不能得分。比如此题在第二问中，就较易忘掉应用第一问求出 的范围。因此我们在平常训练的时候就要要求自己 “会而对，对而全 ”。 甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关。甲能攻克的概率为 ，乙能攻克的概率为 ，丙能攻克的概率为 . （ 1）求这一技术难题被攻克的概率； （ 2）若该技术难题末被攻克，上级不做任何奖励；若该技术难题被攻克， 上级会奖励 万元。奖励规则如下：若只有 1人攻克，则此人获得全部奖金 万元；若只有 2人攻
14、克，则奖金奖给此二人，每人各得 万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得 万元。设甲得到的奖金数为 X，求 X的分布列和数学期望。（本题满分 12分） 答案：（ 1）这一技术难题被攻克的概率为 ； （ 2 X的分布列为 X 0 P 数学期望为 。 试题分析：（ 1） 4 分 （ 2） 的可能取值分别为 5 分 ， ， ， 9 分 X的分布列为 X 0 P （万元） 12 分 考点：本题考查等可能事件的概率；离散型随机变量的期望及其分布列。 点评：本题解题的关键是一别漏掉某种情况；二是数字的运算比较麻烦，需要认真计算，得到结果 如图，在四棱锥 PABCD 中， PA 平面 ABCD，四边形
15、 ABCD为正方形，AB 4， PA 3，点 A在 PD上的射影为点 G，点 E在 AB上，平面 PEC 平面PDC. （ 1）求证： AG 平面 PEC； （ 2）求 AE的长； （ 3）求二面角 EPCA 的正弦值 .（本题满分 14分） 答案：（ 1）见。（ 2） （ 3） 。 把正奇数数列 中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表： 1 3 5 7 9 11 设 是位于这个三角形数表中从上往下数第 行、从左往右数第个数 （ 1）若 ，求 的值； （ 2）若记三角形数表中从上往下数第 行各数的和为 ，求证（本题满分 14分） 答案：（ 1） （ 2）见。 试题分析： （ 1）
16、三角形数表中前 行共有 个数， 2 分 第 行最后一个数应当是所给奇数列中的第 项 故第 行最后一个数是 3 分 因此，使得 的 m是不等式 的最小正整数解 由 得 5 分 于是，第 45行第一个数是 6分 （ 2） 第 n行最后一个数是 ，且有 n个数，若将 看成第 n行第一个数，则第 n行各数成公差为 的等差数列， 故 8 分 ， 10 分 12 分 14分 考点：本题考查等差数列的前 n项和公式、放缩法、裂项法以及分析问题解决问题的能力。 点评 ：常见的裂项公式： ， ， ， 已知平面上的线段 l及点 P，在 l上任取一点 Q，线段 PQ长度的最小值称为点 P到线段 l的距离，记作 。
17、（ 1）已知点 ，线段 ，求 ； （ 2）设 A（ -1， 0）， B（ 1， 0），求点集 所表示图形的面积； （ 3）若 M（ 0， 1）， O（ 0， 0）， N（ 2， 0），画出集合所表示的图形。（本题满分 14分） 答案：（ 1）当 时， 。 （ 2）其面积为 。 （ 3）其所表示的图形为右图中的阴影区域（含 x， y 轴负半轴）及曲线 OABC。 试题分析：（ 1）设 是线段 上一点，则 2 分 3 分 当 时， 。 4 分 （ 2）点集 由如下曲线围成 ， 其面积为。 8 分 （ 3） 9 分 10 分 11 分 12 分 其所表示的图形为右图中的阴影区域（含 x， y轴负半轴
18、）及曲线 OABC。 14 分 考点：本题考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式以 及分析问题解决问题的综合能力。 点评：此题较为综合，因此在解题时要认真审题以便找出其中的解题突破口。 已知函数 （ 1）讨论 的单调性； （ 2）设 ，证明：当 时， ； （ 3）若函数 的图像与 x轴交于 A， B两点，线段 AB中点的横坐标为x0，证明： （ x0） 0（本题满分 14分） 答案：（ 1）若 单调增加 . 若 ， 单调增加，在 单调减少 . （ 2）见。 试题分析：解：（ 1）1 分 2 分 （ i）若 单调增加 .3 分 （ ii）若 且当 所以 单调增加，在 单调减少 . 5 分 （ 2）设函数 则 7 分 当 时， ，所以 单调递增， 故当 ， 9 分 （ 3）由（ I）可得，当 的图像与 x轴至多有一个交点， 故 ，从而 的最大值为 不妨设 由（ II）得 从而 由（ I）知， 14 分 考点：本题考查利用导数求函数的单调性、综合分析和解决问题的能力以及分类讨论的思想方法。 点评：解答本题易出现以下失误： 忘记求函数的定义域； 想不到分类讨论，从而在判断函数的单调性时出现错误。当求函数的单调性时，如果无法判断导函数的符号，自然而然的就应该想到分类讨论，为了避免错误的发生，在平常做题时就要养成分析思路的习惯。
