1、2012届江苏省涟水中学高三第四次（ 12月）阶段性测试数学试卷与答案（带解析） 填空题 已知函数 的定义域为集合 , 为自然数集 ,则 = 答案： 试题分析：解：根据 2-x0，解得： x2，所以 P=x|x2 PN=0， 1， 2，故答案：为： 。 考点：函数定义域和集合运算 点评：本题考查的是求定义域和集合运算的综合问题，这也是经常被考查的对象 已知数列 an共有 m项，记 an的所有项和为 S(1)，第二项及以后所有项和为 S(2)，第三项及以后所有项和为 S(3)， ，第 n项及以后所有项和为S(n)，若 S(n)是首项为 1，公差为 2的等差数列的前 n项和，则当 n-1恒成立，当
2、 a 时，由于二次函数开口向上，判别式小于零能满足题意，故可知为 a0, ,解得 00，故可知函数的零点的区间为（ 1， 2），可知 K的值为 1. 考点：函数零点 点评：主要是考查了函数零点的运用，属于基础题。 解答题 已知：四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形，且 AB CD， DAB 90o，DC 2AD 2AB，侧面 PAD与底面垂直， PA PD，点 M为侧棱 PC上一点 （ 1）若 PA AD，求 PB与平面 PAD的所成角大小； （ 2）问 多大时， AM 平面 PDB可能成立？ 答案：（ 1） （ 2） AM 平面 PDB不可能成立 . 试题分析：解：（ 1）以 AD中点 O为
3、坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，设 AB=2 则 2分 平面 PAD的法向量就是 4分 设所求夹角为 ，则 5分 （ 2）设 ， 7分 若 AM 平面 PDB，则 8分 得 不可能同时成立， AM 平面 PDB不可能成立 . 10分 考点：空间中垂直问题以及线面角 点评：主要是考查了线面角的求解，以及线面垂直的证明，属于中档题。 已知圆锥曲线 C： ，点 分别为圆锥曲线 C的左、右焦 点，点 B为圆锥曲线 C的上顶点，求经过点 且垂直于直线 的直线 的方程 . 答案： 试题分析：解：圆锥曲线 C的标准方程为： 3分 所以点 的坐标为 6分 因为直线 8分 所以直线 10分 考点：直线方程
4、 点评：主要是考查了椭圆和直线的位置关系的运用，属于基础题。 一个 的矩阵 有两个特征值： ，它们对应的一个特征向量分别为： 求矩阵 M. 答案： 试题分析：解：设 ，则 ， 3分 得： 7分 解得： ，所以 10分 考点：矩阵的特征向量 点评：主要是考察了矩阵的求解和简单的运用，属于基础题。 设函数 . （ 1）若函数 图像上的点到直线 距离的最小值为 ，求的值； （ 2）关于 的不等式 的解集中的整数恰有 3个，求实数 的取值范围； （ 3）对于函数 定义域上的任意实数 ，若存在常数 ，使得和 都成立，则称直线 为函数 的 “分界线 ”.设 ，试探究 是否存在 “分界线 ”？若存在，求出
5、“分界线 ”的方程，若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：解： (1)因为 ,得 : 2分 则点 到直线 的距离为 即 4分 （ 2）法 1：由题意可得不等式 恰有三个整数解， 所以 6分 令 ，由 函数 的一个零点在区间 内， 则另一个零点在区间 内 8分 所以 10分 法 2： 恰有三个整数解，所以 ，即 6分 又 8分 10分 （ 3）设 则 可得 ， 所以当 ， 则 的图像在 处有公共点 12分 设 存在分界线，方程为 由 ，恒成立， 即化为 恒成立 由 14分 下面证明 ， 令 可得 所以 恒成立， 即 恒成立 所求分界线为： 16分 考点：导数的运
6、用 点评：主要是考查了导数在研究函数中的运用，属于基础题。 已知数列 ， 满足 数列 的前 项和为 ， . （ ）求数列 的通项公式； （ ）求证： ； （ ）求证：当 时， 答案：（ 1） （ 2） （ 3）根据题意，利用作差法来比较大小得到证明。 试题分析：解：（ 1）由 得 ，代入 整理得 : ,从而有 ， 是首项为 1，公差为 1的等差数列， 即 （ 5分） （ 2） （ 10分） （ 3） 由（ 2）知 ， （ 16分） 考点：数列的求和以及通项公式的求解 点评：主要是考查了数列的通项公式与前 n 项和的关系式的运用，属于中档题。 已知椭圆 和圆 ： ，过椭圆上一点 P引圆 O的两条
7、切线，切点分别为 A,B （ 1）（ ）若圆 O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率 e的值； （ ）若椭圆上存在点 P，使得 ，求椭圆离心率 e的取值范围； （ 2）设直线 AB与 x轴、 y轴分别交于点 M， N，问当点 P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论 答案：（ 1） ， （ 2） 为定值，定值是 . 试题分析：解：（ 1）（ ） 圆 过椭圆的焦点，圆 ： ， ， ， ， 4分 （ ）由 及圆的性质，可得 ， ， 8分 （ 2） 设 ，则 , 整理得 方程为： ， 10分 方程为： 从而直线 AB的方程为： 12分 令 ，得 ，令 ，得 ， ， 为定值，定值是 . 16 考点：直
8、线与椭圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。 江苏某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为平方米，且高度不低于 米，设防洪堤横断面的腰长为 米，外周长（梯形的上底线段 BC与两腰长的和）为 米 . （ 1）求 关于 的函数关系式，并指出其定义域； （ 2）要使防洪提的横断面的外周长不超过 10.5 米，则其腰长应在什么范围内？ 答案：（ 1） （ 2）外周长的最小值为 ，此时腰长为 米 . 试题分析：解：（ 1） 由 5分 （ 2） 9分 （ 3） 即外周长的最小值为 ，此时
9、腰长为 米 . 14分 考点：函数模型的运用 点评：主要是考查了分析问题和解决问题的能力的运用，属于中档题。 在四棱锥 P-ABCD中， ABC ACD 90， BAC CAD 60，PA 平面 ABCD， E为 PD的中点， PA 2AB 2 （ ）若 F为 PC的中点，求证 PC 平面 AEF； （ ）求四棱锥 P-ABCD的体积 V. 答案：（ 1）根据线面垂直的判定定理可知，关键是证明，那么得到结论。 （ 2） 试题分析：证明：（ 1） 3分 又 ， 5分 由 6分 PC 平面 AEF 8分 （ 2）在 Rt ABC中， AB=1， BAC=60， BC= ， AC=2 （ 2分）在R
10、t ACD中， AC=2， CAD=60， CD=2 ， S 四边形 ABCD= AB BC+ AC CD= ，故 14分 考点：棱锥的体积 点评：本题考查棱锥的体积的求法，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意合理地化立体问题为平面问题 在 ABC中， 分别是角 A， B， C的对边， ， （ ）求角 的值 ; （ ）若 ，求 ABC面积 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解：（ 1） 3分 ， 5分 7分 （ 2） 10分 12分 14分 考点：正弦定理 点评：主要是考查了正弦定理和解三角形的面积的运用，属于基础题。 设数列 是等比数列， ，公比 是 的展开式中的第二项（按 x的降幂排列） （ 1）用 表示通项 与前 n项和 ； （ 2）若 ，用 表示 答案：（ 1） ， （ 2） 试题分析：解：（ 1） ， 2分 由 的展开式中的同项公式知 ， 4分 （ 2）当 时， ， 又 ， ， ， 当 x1时 , ， 10分 考点：组合数，数列的求和 点评：主要是考查了数列的求和以及组合数性质的运用，属于中档题。
