1、2012届江苏省涟水中学高三第四次( 12月)阶段性测试数学试卷与答案(带解析) 填空题 已知函数 的定义域为集合 , 为自然数集 ,则 = 答案: 试题分析:解:根据 2-x0,解得: x2,所以 P=x|x2 PN=0, 1, 2,故答案:为: 。 考点:函数定义域和集合运算 点评:本题考查的是求定义域和集合运算的综合问题,这也是经常被考查的对象 已知数列 an共有 m项,记 an的所有项和为 S(1),第二项及以后所有项和为 S(2),第三项及以后所有项和为 S(3), ,第 n项及以后所有项和为S(n),若 S(n)是首项为 1,公差为 2的等差数列的前 n项和,则当 n-1恒成立,当
2、 a 时,由于二次函数开口向上,判别式小于零能满足题意,故可知为 a0, ,解得 00,故可知函数的零点的区间为( 1, 2),可知 K的值为 1. 考点:函数零点 点评:主要是考查了函数零点的运用,属于基础题。 解答题 已知:四棱锥 PABCD 的底面为直角梯形,且 AB CD, DAB 90o,DC 2AD 2AB,侧面 PAD与底面垂直, PA PD,点 M为侧棱 PC上一点 ( 1)若 PA AD,求 PB与平面 PAD的所成角大小; ( 2)问 多大时, AM 平面 PDB可能成立? 答案:( 1) ( 2) AM 平面 PDB不可能成立 . 试题分析:解:( 1)以 AD中点 O为
3、坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,设 AB=2 则 2分 平面 PAD的法向量就是 4分 设所求夹角为 ,则 5分 ( 2)设 , 7分 若 AM 平面 PDB,则 8分 得 不可能同时成立, AM 平面 PDB不可能成立 . 10分 考点:空间中垂直问题以及线面角 点评:主要是考查了线面角的求解,以及线面垂直的证明,属于中档题。 已知圆锥曲线 C: ,点 分别为圆锥曲线 C的左、右焦 点,点 B为圆锥曲线 C的上顶点,求经过点 且垂直于直线 的直线 的方程 . 答案: 试题分析:解:圆锥曲线 C的标准方程为: 3分 所以点 的坐标为 6分 因为直线 8分 所以直线 10分 考点:直线方程
4、 点评:主要是考查了椭圆和直线的位置关系的运用,属于基础题。 一个 的矩阵 有两个特征值: ,它们对应的一个特征向量分别为: 求矩阵 M. 答案: 试题分析:解:设 ,则 , 3分 得: 7分 解得: ,所以 10分 考点:矩阵的特征向量 点评:主要是考察了矩阵的求解和简单的运用,属于基础题。 设函数 . ( 1)若函数 图像上的点到直线 距离的最小值为 ,求的值; ( 2)关于 的不等式 的解集中的整数恰有 3个,求实数 的取值范围; ( 3)对于函数 定义域上的任意实数 ,若存在常数 ,使得和 都成立,则称直线 为函数 的 “分界线 ”.设 ,试探究 是否存在 “分界线 ”?若存在,求出
5、“分界线 ”的方程,若不存在,请说明理由 . 答案:( 1) ( 2) ( 3) 试题分析:解: (1)因为 ,得 : 2分 则点 到直线 的距离为 即 4分 ( 2)法 1:由题意可得不等式 恰有三个整数解, 所以 6分 令 ,由 函数 的一个零点在区间 内, 则另一个零点在区间 内 8分 所以 10分 法 2: 恰有三个整数解,所以 ,即 6分 又 8分 10分 ( 3)设 则 可得 , 所以当 , 则 的图像在 处有公共点 12分 设 存在分界线,方程为 由 ,恒成立, 即化为 恒成立 由 14分 下面证明 , 令 可得 所以 恒成立, 即 恒成立 所求分界线为: 16分 考点:导数的运
6、用 点评:主要是考查了导数在研究函数中的运用,属于基础题。 已知数列 , 满足 数列 的前 项和为 , . ( )求数列 的通项公式; ( )求证: ; ( )求证:当 时, 答案:( 1) ( 2) ( 3)根据题意,利用作差法来比较大小得到证明。 试题分析:解:( 1)由 得 ,代入 整理得 : ,从而有 , 是首项为 1,公差为 1的等差数列, 即 ( 5分) ( 2) ( 10分) ( 3) 由( 2)知 , ( 16分) 考点:数列的求和以及通项公式的求解 点评:主要是考查了数列的通项公式与前 n 项和的关系式的运用,属于中档题。 已知椭圆 和圆 : ,过椭圆上一点 P引圆 O的两条
7、切线,切点分别为 A,B ( 1)( )若圆 O过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率 e的值; ( )若椭圆上存在点 P,使得 ,求椭圆离心率 e的取值范围; ( 2)设直线 AB与 x轴、 y轴分别交于点 M, N,问当点 P在椭圆上运动时,是否为定值?请证明你的结论 答案:( 1) , ( 2) 为定值,定值是 . 试题分析:解:( 1)( ) 圆 过椭圆的焦点,圆 : , , , , 4分 ( )由 及圆的性质,可得 , , 8分 ( 2) 设 ,则 , 整理得 方程为: , 10分 方程为: 从而直线 AB的方程为: 12分 令 ,得 ,令 ,得 , , 为定值,定值是 . 16 考点:直
8、线与椭圆的位置关系 点评:主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用,属于中档题。 江苏某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为平方米,且高度不低于 米,设防洪堤横断面的腰长为 米,外周长(梯形的上底线段 BC与两腰长的和)为 米 . ( 1)求 关于 的函数关系式,并指出其定义域; ( 2)要使防洪提的横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长应在什么范围内? 答案:( 1) ( 2)外周长的最小值为 ,此时腰长为 米 . 试题分析:解:( 1) 由 5分 ( 2) 9分 ( 3) 即外周长的最小值为 ,此时
9、腰长为 米 . 14分 考点:函数模型的运用 点评:主要是考查了分析问题和解决问题的能力的运用,属于中档题。 在四棱锥 P-ABCD中, ABC ACD 90, BAC CAD 60,PA 平面 ABCD, E为 PD的中点, PA 2AB 2 ( )若 F为 PC的中点,求证 PC 平面 AEF; ( )求四棱锥 P-ABCD的体积 V. 答案:( 1)根据线面垂直的判定定理可知,关键是证明,那么得到结论。 ( 2) 试题分析:证明:( 1) 3分 又 , 5分 由 6分 PC 平面 AEF 8分 ( 2)在 Rt ABC中, AB=1, BAC=60, BC= , AC=2 ( 2分)在R
10、t ACD中, AC=2, CAD=60, CD=2 , S 四边形 ABCD= AB BC+ AC CD= ,故 14分 考点:棱锥的体积 点评:本题考查棱锥的体积的求法,考查平面与平面垂直的证明,解题时要认真审题,注意合理地化立体问题为平面问题 在 ABC中, 分别是角 A, B, C的对边, , ( )求角 的值 ; ( )若 ,求 ABC面积 答案:( 1) ( 2) 试题分析:解:( 1) 3分 , 5分 7分 ( 2) 10分 12分 14分 考点:正弦定理 点评:主要是考查了正弦定理和解三角形的面积的运用,属于基础题。 设数列 是等比数列, ,公比 是 的展开式中的第二项(按 x的降幂排列) ( 1)用 表示通项 与前 n项和 ; ( 2)若 ,用 表示 答案:( 1) , ( 2) 试题分析:解:( 1) , 2分 由 的展开式中的同项公式知 , 4分 ( 2)当 时, , 又 , , , 当 x1时 , , 10分 考点:组合数,数列的求和 点评:主要是考查了数列的求和以及组合数性质的运用,属于中档题。