1、2013-2014学年云南省玉溪一中高一下学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 , ，则 A B=（ ） . A B C D 答案： B 试题分析： , . 考点：集合交集的求法 . 表示不超过 的最大整数，例如 ，已知 ， ，则函数 的零点个数为（ ） . A 4 B 3 C 2 D 1 答案： C 试题分析：由题知 ，其中 ,当 ， 恒成立，函数无零点；当 时， 恒成立，函数无零点，当 时，存在零点 2，由于 ，存在一个零点，故零点个数为 2个 考点：函数的方程与零点 . 在三棱柱 中，已知 ,，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） . A B C D 答案
2、： A 试题分析：把三棱柱 补成长方体 ，三棱柱与长方体由相同的外接球，长方体的对角线长就是球的直径长，即， . 考点：球的体积 . 已知 ， ，函数 的部分图象如图所 .示为了得到函数 的图象，只要将 的图象（ ） . A向右平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 C向左平移 个单位长度 D向左平移 个单位长度 答案： B 试题分析：有最小值得 ， ， ， ， 为五点做图的第三个点， ，解得 ， 向右平移 个单位长度得考点：由三角函数的图像求函数式和图像平移的应用 . 已知 D， E， F分别是 ABC的边 AB， BC， CA的中点，则（ ） . A B C D 答案： D 试题分析：由
3、于 D， E， F分别是 ABC 的边 AB， BC， CA的中点， ，. 考点：向量相等和加法运算 . 设 ，则 的大小关系是（ ） . A B C D 答案： 试题分析： ， ， ，因此. 考点：指数函数和对数函数的性质 . 、过点 的直线与圆 相切，且与直线 垂直，则 ( ). A B 1 C 2 D答案： C 试题分析：设直线的斜率为 ，则直线方程 ，化简得，由圆心到直线的距离等于半径得 ，化简得， ； 解之得 . 考点：直线方程的应用 . 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 ,若 ，则这个三角形一定是（ ） . A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等腰直角三角形
4、答案： C 试题分析：由余弦定理推论得 ，化简的 ，即 ，因此三角形是等腰三角形 . 考点：余弦定理的应用 . 已知向量 ，若 与 垂直，则 ( ). A B C 1 D 4 答案： A 试题分析：由题意点 ， ，. 考点：向量的数量积和模的运算 . 已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ） . A B C D 答案： D 试题分析：由于 在 上是增函数， , 不一定对，看符号；错； 不一定有意义 . 考点：函数的单调性应用 . 经过两直线 与 的交点，且平行于直线的直线方程是（ ） . A B C D 答案： C 试题分析：直线 与直线 的交点 ，直线 的斜率 ，因此直线方程 ，即 . 考点：
5、求直线方程 . 不等式 的解集是（ ） . A B C D 答案： D 试题分析：由于方程 的根是 0或 2，不等式 的解集是. 考点：一元二次不等式的解法 . 填空题 设 若 是 与 的等比中项，则 的最小值为 . 答案： 试题分析：由于 ， ，所以最小值为 9. 考点：基本不等式求最值 . 已知圆 的圆心在直线 上并且经过圆 与圆的交点，则圆 的标准方程为 . 答案： . 试题分析：联立两圆的方程得交点坐标 ；设圆心坐标 解得 ，圆心坐标 ， ， 方程为 . 考点：圆的标准方程的求法 . 已知 为等差数列，若 ，则 . 答案： 试题分析：由等差数列的性得， ， ， . 考点 :等差数列的性
6、质应用 . 直线 的倾斜角是 . 答案： 试题分析：直线的斜率 ，因此倾斜角 . 考点：直线的斜率和倾斜角 . 解答题 已知函数 . （ ）求函数 的最小正周期； （ ）求函数 的单调递增区间 . 答案： (1) ;(2) 的单调增区间为 试题分析： (1)利用两角和正弦公式和降幂公式化简，得到 的形式，利用公式 计算周期 .（ 2）利用正弦函数的单调区间，求在 的单调性 .(3)求三角函数的最小正周期一般化成 ， ，形式，利用周期公式即可 .(4)求解较复杂三角函数的单调区间时，首先化成 形式，再 的单调区间，只需把看作一个整体代入 相应的单调区间，注意先把 化为正数 ,这是容易出错的地方
7、. 试题：解：（ ） 5分 的最小正周期 6分 （ ）令 8分 即 的单调增区间为 10分 考点： (1)求正弦型函数的周期，（ 2)求正弦型函数的单调区间 . 如图，三棱柱 的三视图，主视图和侧视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点 M是 A1B1的中点。 （ I）求证： B1C/平面 AC1M； （ II）求证：平面 AC1M 平面 AA1B1B 答案：（ 1）证明见；（ 2）证明见 . 试题分析：（ 1）由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线 .在还原空间几何体的实际形状时，一
8、般以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑；（ 2）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（ 3）证明两个平面垂直，首先考虑直线与平面垂直，也可以简单记为 “证面面垂直，找线面垂直 ”，是化归思想的体现，这种思想方法与空间 中的平行关系的证明类似，掌握化归与转化思想方法是解决这类题的关键 . 试题： 证明：（ I）由三视图可知三棱柱 为直三棱柱，底面是等腰直角三角形且 ， 连结 A1C，设 。连结 MO， 由题意可知 A1O=CO， A1M=B1M，所以 MO/B1C 又 平面 ; 平面 ， 所以 平面 6分 （ II） ，又
9、 为 的中点， 平面 ， 平面 又 平面 所以平面 AC1M 平面 AA1B1B 12分 考点： (1)直线与平面平行的判定；（ 2）平面与平面垂直的判定 . 已知数列 的前 项和 . ( )求数列 的通项公式； ( ) 若数列 满足 ，且 ，求 . 答案： (1) ;(2） 试题分析：（ 1）给出 与 的关系，求 ，常用思路：一是利用转化为 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 的递推关系，先求出 与 的关系，再求 ；（ 2）数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列的前几项，再归纳总结出
10、数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项 . 试题： 解： ( )由于 当 时 , 也适合上式 6分 ( ) ，由 累加法 得 12分 考点：（ 1）由前 项和求通项公式；（ 2)累加法求通项公式 . 如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ， ， 分别是 , 的中点 . ( ) 求证： ( )求点 到平面 的距离 . 答案：（ 1）证明见；（ 2） . 试题分析：（ 1)证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角
11、三角形等等； (2)利用 棱锥的体积公式 求体积 .(3)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面 .解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化 .(4)在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算 . 试题：证明： ( ) , 是 的中点 平面 且 平面 平面 平面 6分 ( )设点 到平面 的距离为 ，利用体积法， 故点 到平面 的距离为 12分 考点： (1)直线与直线垂直；（ 2）点到平面的距离 . 等比数列 的各项均为正数，且 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2
12、）设 ，求数列 的前 项和 . 答案： (1) .(2)数列 的前 n项和为 试题分析： (1)根据等比数列的首项和公比求通项公式；一般转化为首项和公比列方程求解，注意题中限制条件；（ 2）观测数列的特点形式，看使用什么方法求和 .使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源和目的 .（ 3）在做题时注意 观察式子特点选择有关公式和性质进行化简，这样给做题带来方便，掌握常见求和方法，如分组转化求和，裂项法，错位相减 . 试题：解：（ ）设数列 的公比为 ，由 得 所以 。 由条件可知 ,故
13、。 由 得 ，所以 。 故数列 的通项式为 . 5分 （ ） 故 8分 所以数列 的前 n项和为 12分 考点：（ 1）等比数列的通项公式；（ 2）裂项法求和 . 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 ,设 S为 ABC的面积，且。 （ ）求角 A的大小； （ ）若 ，求 ABC周长的取值范围 . 答案： (1) ;(2）周长的取值范围是 . 试题分析：（ 1）在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来；（ 2）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边 .（ 3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断 .（ 4）在三角形中，注意 这个隐含条件的使用，在求范围时，注意根据题中条件限制角的范围 . 试题：解：（ ）由题意可知 ， 所以 4分 （ ）法一：由已知： ， 由余弦定理得： （当且仅当 时等号成立） （ ，又 ， ， 从而周长的取值范围是 . 12分 法二：由正弦定理得： ， ， . ，即 （当且仅当 时，等号成立） 从而周长的取值范围是 12分 考点：（ 1）与面积有关的问题；（ 2）求三角形周长的范围 .
