1、2013-2014学年云南省玉溪一中高二上学期期中考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ， ，则 为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：集合 A的补集是由全集 U中所有不属于集合 A的元素组成，因此 ，而并集就是把两个集合中的元素放在一起，相同的只写一个即可，故.选 C. 考点：集合的运算 . 已知函数 的定义域为 , 且 奇函数 .当 时 , = - -1,那么函数 ,当 时 , 的递减区间是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：函数 是奇函数，说明 的图象关于原点对称，而 的图象是由函数 的图象向左平移一个单位得到的，故反过来，把 的图象向右平移
2、 1个单位就得到函数 的图象，因此函数 的图象关于点 对称，那么函数 在关于点 对称的区间上单调性相同（仿奇函数性质），而当时 , = - -1，其递减区间为 ，它关于点 对称区间为 ， 选 C. 考点：奇函数的性质及图象的平移 . 设 若 的最小值为（ ） A 8 B 4 C 1 D 答案： B 试题分析：本题显然要先求出 之间满足的关系， 是 与 的等比中项，得，即 ， 由基本不等式得 ，即，时取等号 选 B 考点：基本不等式 已知 ，若向区域内随机投一点 ，则点 落在区域 内的概率为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：本题我们只要作出区域 (如图 内部 (含边界 )，以及区域
3、 A(内部含边界 )，利用解方程组得到各坐标： ， ， ， ，计算出 的面积为 18， 的面积为 4，根据几何概型性质，得点 落在区域 内的概率为 考点：几何概型 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为 1，则该几何体的体积为 ( ) A B C D 1 答案： B 试题分析：本题实质上是认识三视图，由三视图还原出原来的几何体为一个四棱锥，其底面是边长为 1的正方形，高为 ，故其体积为 考点：三视图 执行如下图所示的程序框图 ,输出的结果是 ( ) A 11 B 12 C 13 D 14 答案： C 试题分析：本题是判断一个循环结构的输出结果，关键是判断
4、循环条件，以及每次循环时的的值，通过计算，每次循环过程中的值依次为 ， ， ， ，可得所求输出结果为 13 考点：流程图 设 分别为两个不同的平面，直线，则 “ ”是 “ ”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：根据两个平面垂直的判定定理知 “ ”是 “ ”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知 时，平面 只有内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面 ，故本题中由 “ ”不能得到 “ ”，因此选 A 考点：两个平面垂直的判定与性质 已知 为第二象限角 , ,则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 公式较多
5、，本题关键是选用哪个公式，这里我们选用 ，从而要求我们首先求出 ，而 与 的联系是 ，由已知可求得，由于为第二象限角 ,故 ，从而 ，所以， 选D 考点：余弦的二倍角公式及三角函数的符号 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30名，高二年级有 40名 .现用分层抽样的方法在这 70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( ) A 6 B 8 C 10 D 12 答案 ： B 试题分析：分层抽样的方法是每类对象所抽取的样本的个数比与总体的个数比相等，由此可很快求得结果为 8 考点：分层抽样 已知 ， ， ，则 的大小关系是（ ） A B
6、 C D 答案： C 试题分析：这三个数，一个是根式，两个是不同底的对数，要比较它们的大小，通常是选把它们与一些特殊的数（例如 0和 1）比较，然后再化简变形（如果需要的话）通过观察知， ， ， ，所以 考点：幂函数和对数函数的单调性 . 函数 的定义域是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：函数的定义域是使函数式有意义的自变量的取值范围，本题中要求，从而 或 ，故选 A. 考点：函数的定义域 . 填空题 命题 关于 的不等式 对一切 恒成立；命题 函数是减函数，若 为真命题， 为假命题，则实数 的取值范围为 . 答案： 试题分析：本题先求出命题 p,q为真命题时实数 a的取值范围，
7、对一切恒成立，则 ，解得 ，即命题；函数是减函数，则 ，得 ，即命题 . 为真命题，则 和 至少有一个为真， 为假命题，则 和 至少有一个为假，所以 和 一真一假，但本题中为真时， 一定为真，故 假且 真， 实数 的取值范围是 . 考点：逻辑连接词 . 圆 上的动点 到直线 距离的最小值是 . 答案： 试题分析：如上图过圆 O上动点 Q及圆心 O作直线 l的垂线 QN， OM， N， M为垂足，OM交圆 O于点 A，由平面几何知识知 ，当 Q与 A重合时取等号，即 QN的最小值是 AM，实际上 QN的最大值点就是直线 OM与圆的另一交点 .已知圆标准方程为 ，圆心 到直线的距离为, QN的最小
8、值为 . 考点：点到直线的距离公式 . 某地区对某段公路上行驶的汽车速度监控 ,从中抽取 200辆汽车进 行测速分析 ,得到如图所示的频率分布直方图 ,根据该图 ,可估计这组数据的平均数和中位数依次为 . 答案：和 72.5 试题分析：由频率分布直方图估计这组数据的平均数时，每组数据取中间的数估算，本题平均数为 ，估计中位数时，看过哪个数据的线（垂直于横轴的直线）把直方图中所有方框矩形的面积等分，这个数就是中位数，实际上每个矩形的面积就是这组数据的频率，如上图，从左向右每个矩形面积依次为 0.1， 0.3， 0.4， 0.2， 0.1 0.3 0.4，第三个矩形还要划分出 0.1出 来，所求数
9、为 ，故估计中位数为 . 考点：频率分布直方图 . 已知向量 , .若 ,则实数 _. 答案： 试题分析：利用向量 平行的充要条件是 得，解得 . 考点：向量平行的坐标表示 . 甲、乙两名运动员在某项测试中的 6次成绩如茎叶图所示 , 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数 , 分别表示 甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差 ,则有（ ） A , B , C , D , 答案： B 试题分析：这种类型问题只要正确理解相关概念即可，根据茎叶图的概念，知运动员甲的成绩分别为 9,14,15,15,16,21，运动员乙的成绩分别为 7,13,15,15,17,23，然后计算平均数和标准差， ,
10、 ，从而 ，故答案：为 B 考点：茎叶图 解答题 已知等差数列 的前 项和为 , . (1)求数列 的通项公式 ; (2) 设 ,求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）已知数列是等差数列，且已知 ，故我们借助于等差数列的通项公式及前 和公式用基本量法求出首项 和公差 ，然后写出通项公式；（ 2）要认识到数列 是等比数列，故直接利用等比数列的前 和公式求出结论 . 试题： (1)设 的公差为 d, ;则 即 ,解得 , (2) , . 考点： (1)等差数列通项公式；（ 2）等比数列前 n和公式 . 相关部门对跳水运动员进行达标定级考核，动作自选，并规定完成动
11、作成绩在八分及以上的定为达标，成绩在九分及以上的定为一级运动员 . 已知参加此次考核的共有 56名运动员 . （ 1）考核结束后，从参加考核的运动员中随机抽取了 8人，发现这 8人中有 2人没有达标，有 3人为一级运动员，据此请估计此次考核的达标率及被定为一级运动员的人数； （ 2）经过考核，决定从其中的 A、 B、 C、 D、 E五名一级运 动员中任选 2名参加跳水比赛（这五位运动员每位被选中的可能性相同） . 写出所有可能情况，并求运动员 E被选中的概率 . 答案： (1) 达标率为 ，一级运动员约有 21人；（ 2）组合见试题，概率为 . 试题分析：（ 1）这实际上是用样本估算总体的问题
12、，只要读者按比例计算即可；（ 2）这实际上是写出从 5个元素中任取 2个的所有组合的问题，书写时，注意按照一定的顺序，例如先选 A，然后再依 次选其他人，写出含有 A的所有组合，然后先选 B，再依次选 B后面的人，写出所有组合，依此类推写出所有情形，做到不重不漏 .接下来只要找到含有 E的事件的总数，根据古典概型的结论，很快可求出概率 . 试题：（ ）依题意，估计此次考核的达标率为 一级运动员约有 （人） （ ）依题意，从这五人中选 2人的基本事件有：（ A、 B）（ A、 C）（ A、 D）（ A、E）（ B、 C）（ B、 D）（ B、 E） （ C、 D）（ C、 E）（ D、 E），共
13、 10个 其中 “E被选中 ”包含：（ A、 E）（ B、 E）（ C、 E）（ D、 E） 4个基本事件， 因此所求概率 考点： (1)随机抽样；（ 2）古典概型概率问题 . 已知函数 （ 1）求 的单调递增区间； （ 2）在 中，内角 A,B,C的对边分别为 ，已知 ， 成等差数列，且 ，求边 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1)求三角函数的单调区间等问题，我们的目标很明确，就是要把函数化为的形式，然后根据正弦函数的性 质得出结论，本题中首先把 用两角差的正弦公式展开，再把 降幂把角化为 ，即化为同角的问题，再利用两角和或差的正弦公式，转化为一个三角函数；（ 2）已
14、知 ，由（ 1）的结论应该很容易求出角 A， 成 等差数列得一个关系 ， 可以转化为，从而 ，这是第二个关系，但其中有三个未知数 ，还需找一个关系式， ，这里我们联想到余弦定理，正好找到第三个关系，从而联立方程组求出边 . 试题：解：（ 1） 令 的单调递增区间为 （ 2）由 ，得 ， ， 由 b,a,c成等差数列得 2a=b+c ， ， 由余弦定理，得 ， 考点：（ 1）三角函数的单调性；（ 2）等差数列，向量的数量积定义，余弦定理 . 如图，已知在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， 、分别是、 的中点 （ ）求证： 平面； （ ）若与平面所成角为 ，且 ，求点 到平面 的距离 答案： (
15、1)见试题；（ 2） . 试题分析：（ I）要证明 平面，关键 是在平面内找到一条与直线 平行的直线，本题就想是否有一个过直线 的平面与平面相交，交线就是我们要找的平行直线（可根据线面平行的性质定理知），在图形中可容易看出应该就是平面 ，只不过再想一下，交线到底是什么而已，当然具体辅助线的作法也可换成另一种说法（即试题中的直接取 中点 ，然后连接 的方法）；（ 2）由于 平面 ，所以三棱锥 的体积可以很快求出，从而本题可用体积法求点 到平面 的距离，另外由于 ，如果取 中点 ，则有 ，从而可得 平面 ，也即平面 平面 ，这时点 到平面 的垂线段可很快作出，从而迅速求出结论 . 试题：（ I）证
16、明： 如图，取 的中点 ，连接 由已知得 且 ， 又 是的中点，则且 ， 是平行四边形， 又 平面， 平面 平面 （ II）设 平面 的距离为 ， 【法一】：因 平面 ，故 为与平面所成角，所以 ， 所以 ， ，又因 ， 是的中点所以， ， 作 于 ，因 ，则 ， 则 ， 因所以 【法二】因 相关试题 2013-2014学年云南省玉溪一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带） 在平面直角坐标系 中，已知圆 和圆. （ 1）若直线过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线的方程； （ 2）设 为平面上的点，满足：存在过点 的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦
17、长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 的坐标 . 答案： (1) 或； (2) . 试题分析：（ 1）涉及到圆的弦长问题，我们一般利用弦心距，弦的一半，相应半径所构成的直角三角形，本题中由弦长为 ，半径为 2，可求得弦心距为 1，此即为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可求得斜率 利用方程思想求 时要注意直 线斜率不存在即直线与 轴垂直的情形否则可能漏（ 2）由（ 1）的分析可知直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等可得圆心 到直线的距离与圆心 到直线 距离相等，所以我们可设 点坐标为 ，直线 的方程分别为 ， ，利用圆心 到直线 的距离与圆心到直线 距离相
18、等列出关于 的方程，再转化为关于 的方程有无穷解问题，从而得解 试题：（ 1）设直线的方程为 ，即 由垂径定理得圆心 到直线的距离 结合点到直线的距离公式得 所求直线的方程为 或，即 或 （ 2）设点，直线 的方程分别为 即 由题意可知圆心 到直线 的距离等于 到直线 的距离 即 ，化简得，关于 的方程由无穷多解，则有 ，故 . 考点： (1)点到直线距离公式；（ 2）方程解的个数问题 对于函数若存在 ,使得 成立 ,则称 为的不动点 . 已知 (1)当 时 ,求函数 的不动点 ; (2)若对任意实数 ,函数恒有两个相异的不动点 ,求 的取值范围 ; (3)在 (2)的条件下 ,若 图象上 、
19、 两点的横坐标是函数的不动点 ,且 、 两点关于直线 对称 ,求 的最小值 . 答案：（ 1） -1和 3;（ 2） ；（ 3） 试题分析： (1)根据不动点的定义，本题实质是求方程即 的解；（ 2）函数恒有两个相异的不动点即方程恒有两个不等实根，对应的判别式 恒成立；（ 3） 、 两点关于直线 对称，可用的结论有： 直线 AB与直线垂直，即斜率互为负倒数； 线段 AB的中点在直线上注意不动点 A、 B所在直线 AB的斜率为 1 试题： (1) 时 , , 函数 的不动点为 -1和 3; (2)即 有两个不等实根 ,转化为 有两个不等实根 ,需有判别式大于 0恒成立 即 , 的取值范围为 ; (3)设 ,则 , 的中点的坐标为 ,即 两点关于直线 对称 , 又因为 在直线 上 , , 的中点在直线 上 , 利用基本不等式可得当且仅当 时 ,b的最小值为 . 考点：（ 1）解方程；（ 2）二次方程有两个不等实根的条件；（ 3）直线的对称点问题及最小值问题
