1、2013-2014学年云南省玉溪一中高二上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数 的定义域是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：函数的定义域是使函数式有意义的自变量的取值范围，本题中要求，从而或 ，故选 A. 考点：函数的定义域 . 已知函数 的定义域为 , 且 奇函数 .当 时 , = - -1,那么函数 ,当 时 , 的递减区间是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：函数 是奇函数，说明 的图象关于原点对称，而 的图象是由函数 的图象向左平移一个单位得到的，故反过来，把 的图象向右平移 1个单位就得到函数 的图象，因此函数 的图象关于点 对称，那么函数
2、在关于点 对称的区间上单调性相同（仿奇函数性质），而当时 , = - -1，其递减区间为 ，它关于点 对称区间为 ， 选 C. 考点：奇函数的性质及图象的平移 . 在 中 , 是边 中点 ,角 的对边分别是 ,若 ,则 的形状为（ ） A等边三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D等腰三角形但不是等边三角形 . 答案： A 试题分析：从已知条件 可联想到向量的加法运算，所以，而 是 中点 , 由 得 变形得 ，根据平面向量基本定理得， ， ， 是等边三角形选 A 考点：平面向量的基本定理 设 若 的最小值为（ ） A 8 B 4 C 1 D 答案： B 试题分析：本题显然要先求出 之间满足的关系
3、， 是与 的等比中项，得，即 ， 由基本不等式得 ，即， 时取等号 选 B 考点：基本不等式 已知，若向区域 内随机投一点 ，则点 落在区域 内的概率为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：本题我们只要作出区域 (如图 内部 (含边界 )，以及区域 A(内部含边界 )，利用解方程组得到各坐标： ， ， ， ，计算出 的面积为 18， 的面积为 4，根据几何概型性质，得点 落在区域 内的概率为 考点：几何概型 将参加夏令营的 600名学生编号为： 001， 002， 600，采用系统抽样方法抽取一个容量为 50的样本，且随机抽得的号码为 003这 600名学生分住在三个营区，从 001
4、到 300在第 营区，从 301到 495住在第 营区，从 496到 600在第 营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ） A 26,16,8, B 25， 17， 8 C 25， 16， 9 D 24， 17， 9 答案： B 试题分析：从 600人中抽取容量为 50的样本，采取的是系统抽样，因此每 12人里抽取一个，且它们的序号成等差数列，第 1个是 003，第 2个 一定是 015，第 3个为 027， ，第 50个为 591这些号码所成等差数列的通项公式为 ， ，可计算出这个数列在第 营区的有 25个，第 营区的有 17个，第 营区的有 8个选B 考点：系统抽样 如图，若一个空间几何体的
5、三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为 1，则该几何体的表面积为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：本题实质上是认识三视图，由三视图还原出原来的几何体为一个四棱锥，其底面是边长为 1的正方形 ，高为 ，由 平面 可得到 ，又 ，故可证得 平面 ，从而得 ，同理可得，因此四棱锥 的四个侧面都是直角三角形，从而表面积可求出为 考点：三视图 甲、乙两名运动员在某项测试中的 6次成绩如茎叶图所示 , 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数 , 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差 ,则有（ ） A , B , C , D , 答案： B 试题分析：这种类型问题
6、只要正确理解相关概念即可，根据茎叶图的概念，知运动员甲的成绩分别为 9,14,15,15,16,21，运动员乙的成绩分别为 7,13,15,15,17,23，然后计算平均数和标准差， ,，从而 ，故答案：为 B 考点：茎叶图 执行如下图所示的程序框图 ,输出的结果是 ( ) A 11 B 12 C 13 D 14 答案： C 试题分析：本题是判断一个循环结构的输出结果，关键是判断循环条件 ，以及每次循环时的 的值，通过计算，每次循环过程中 的值依次为 ， ， ，可得所求输出结果为 13 考点：流程图 设 分别为两个不同的平面， 直线 ，则 “ ”是 “ ”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要
7、不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：根据两个平面垂直的判定定理知 “ ”是 “ ”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知 时，平面 只有内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面 ，故本题中由 “ ”不能得到 “ ”，因此选 A 考点：两个平面垂直的判定与性质 已知 为第二象限角 , ,则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 公式较多，本题关键是选用哪个公式，这里我们选用，从而要求我们首先求出，而 与的联系是 ，由已知可求得 ，由于 为第二象限角 ,故 ，从而，所以， 选 D 考点：余弦的二倍角公式及三角函数的符号 已知 ， ，则 的大小关系
8、是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：这三个数，一个是 根式，两个是不同底的对数，要比较它们的大小，通常是选把它们与一些特殊的数（例如 0和 1）比较，然后再化简变形（如果需要的话）通过观察知， ， ， ，所以 考点：幂函数和对数函数的单调性 . 填空题 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形，为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为 . 答案： 试题分析：几何问题的解决一般依赖于图形，作出三棱锥 ，如下图， 是中点，由于 是球的直径， 在 球面上，故 ， 设 是等边的中心，则 平面 ， 是边长为 的正三角形，则 ，又 ，则 ， 是 的中点， 点到平面 的距离为
9、， 考点：球的性质，棱锥的体积 命题 关于的不等式 对一切 恒成立；命题 函数是减函数，若 为真命题， 为假命题，则实数 的取值范围为 . 答案： 试题分析：本题先求出命题 p,q为真命题时实数 a的取值范围， 对一切恒成立，则，解得 ，即命题 ；函数 是减函数，则 ，得 ，即命题 . 为真命题，则 和 至少有一个为真， 为假命题，则 和 至少有一个为假，所以 和 一真一假，但本题中为真时， 一定为真，故 假且 真， 实数 的取值范围是 . 考点：逻辑连接词 . 某地区对某段公路上行驶的汽车速度监控 ,从中抽取 200辆汽车进行测速分析 ,得到如图所示的频率分 布直方图 ,根据该图 ,可估计这
10、组数据的平均数和中位数依次为 . 答案：和 72.5 试题分析：由频率分布直方图估计这组数据的平均数时，每组数据取中间的数估算，本题平均数为 ，估计中位数时，看过哪个数据的线（垂直于横轴的直线）把直方图中所有方框矩形的面积等分，这个数就是中位数，实际上每个矩形的面积就是这组数据的频率，如上图，从左向右每个矩形面积依次为 0.1， 0.3， 0.4， 0.2， 0.1 0.3 0.4，第三个矩形还要划分出 0.1出 来，所求数为 ，故估计中位数为 . 考点：频率分布直方图 . 已知向量 , .若 ,则实数 _. 答案： 试题分析：利用向量 平行的充要条件是 得，解得 . 考点：向量平行的坐标表示
11、 . 解答题 已知等差数列 的前 项和为 , . (1)求数列 的通项公式 ; (2)设 ,求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）已知数列 是等差数列，且已知，故我们借助于等差数列的通项公式及前 和公式用基本量法求出首项 和公差 ，然后写出通项公式；（ 2）要认识到数列 是等比数列，故直接利用等比数列的前 和公式求出结论 . 试题： (1)设 的公差为 d, ;则 即 ,解得 , (2) , . 考点： (1)等差数列通项公式；（ 2）等比数列前 n和公式 . 相关部门对跳水运动员进行达标定级考核，动作自选，并规定完成动作成绩在八分及以上的定为达标，成绩在九
12、分及以上的定为一级运动员 . 已知参加此次考核的共有 56名运动员 . （ 1）考核结束后，从参加考核的运动员中随机抽取了 8人，发现这 8人中有 2人没有达标，有 3人为一级运动员，据此请估计此次考核的达标率及被定为一级运动员的人数； （ 2）经过考核，决定从其中的 A、 B、 C、 D、 E五名一级运 动员中任选 2名参加跳水比赛（这五位运动员每位被选中的可能性相同） . 写出所有可能情况，并求运动员 E被选中的概率 . 答案： (1) 达标率为 ，一级运动员约有 21人；（ 2）组合见试题，概率为 . 试题分析：（ 1）这实际上是用样本估算总体的问题，只要读者按比例计算即可；（ 2）这实
13、际上是写出从 5个元素中任取 2个的所有组合的问题，书写时，注意按照一定的顺序，例如先选 A，然后再依次选其他人，写出含有 A的所有组合，然后先选 B，再依次选 B后面的人，写出所 有组合，依此类推写出所有情形，做到不重不漏 .接下来只要找到含有 E的事件的总数，根据古典概型的结论，很快可求出概率 . 试题：（ ）依题意，估计此次考核的达标率为 一级运动员约有 （人） （ ）依题意，从这五人中选 2人的基本事件有：（ A、 B）（ A、 C）（ A、 D）（ A、E） （ B、 C）（ B、 D）（ B、 E）（ C、 D）（ C、 E）（ D、 E），共 10个 其中 “E被选中 ”包含：（
14、 A、 E）（ B、 E）（ C、 E）（ D、 E） 4个基本事件， 因此所求概率 考点： (1)随机抽样；（ 2）古典概型概率问题 . 已知函数 （ 1）求 的单调递增区间； （ 2）在 中，内角 A,B,C的对边分别为 ，已知 ， 成等差数列，且 ，求边 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1)求三角函数的单调区间等问题，我们的目标很明确，就是要把函数化为 的形式，然后根据正弦函数的性质得出结论，本 题中首先把 用两角差的正弦公式展开，再把 降幂把角化为 ，即化为同角的问题，再利用两角和或差的正弦公式，转化为一个三角函数；（ 2）已知，由（ 1）的结论应该很容易 求出
15、角 A， 成等差数列得一个关系， 可以转化为 ，从而 ，这是第二个关系，但其中有三个未知数 ，还需找一个关系式， ，这里我们联想到余弦定理，正好找到第三个关系，从而联立方程组求出边 . 试题：解：（ 1） 令 的单调递增区间为 （ 2）由 ，得 ， ， 来源 :学 +科 +网 Z+X+X+K 由 b,a,c成等差数列得 2a=b+c ， ， 由余弦定理，得 ， 考点：（ 1）三角函数的单调性；（ 2）等差数列，向量的数量积定义，余弦定理 . 在三棱锥 中 , 是边长为 2的正三角形 ,平面 平面, , 分别为 的中点 . (1)证明 : ; (2)求锐二面角 的余弦值 ; 答案：（ 1）见试题
16、；（ 2） 试题分析：（ 1）要证线线垂直，一般可先证线面垂直，而本题中有 ，是等边三角形，故可以取 中点 为，则有 ， ，这是等腰三角形的常用辅助线的作法；（ 2）关键是作出所求二面角的平面角，由已知及（ 1）中辅助线，可知 平面 ，由于 是 中点，故只要取 中点 ，则有，也即 平面 ，有了平面的垂线，二面角的平面角就容易找到了。 试题： (1)证明 :取 中点 ,连结 , . 且 平面 ,又 平面 , . (2)设 OB与 C E交于点 G，取 OB中点为 M，作 MHC E交 CE于点 H，连结 FM， FG. 平面 平面 且 ， , , , 从而 . , 是二面角 的平面角 . 由 得
17、 , 在 中 , , 故锐二面角 的余弦值为 . 考点：（ 1）两直线垂直；（ 2）二面角 在平面直角坐标系 中，已知圆 和圆. （ 1）若直线 过点 ，且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程； （ 2）设 为平面上的点，满足：存在过点 的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆 相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 的坐标 . 答案： (1) 或 ； (2) . 试题分析：（ 1）涉及到圆的弦长问题，我们一般利用弦心距，弦的一半，相应半径所构成的直角三角形，本题中由弦长为 ，半径为 2，可求得弦心距为 1，此即为圆心到直线的距离，利用点到直
18、线的距离公式，可求得斜率 利用方程思想求 时要注意直线斜率不存在即直线与轴垂直的情形否则可能漏（ 2）由（ 1）的分析可知直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等可得圆心 到直线的距离与圆心 到直线 距离相等，所以我们可设 点坐标为 ，直线 的方程分别为 ， ，利用圆心 到直线 的距离与圆心到直线 距离相等列出关于 的方程，再转化为关于 的方程有无穷解问题，从而得解 试题：（ 1）设直线 的方程为 ，即 由垂径定理得圆心 到直线 的距离 结合点到直线的距离公式得 所求直线 的方程为 或 ，即 或 （ 2）设点 ，直线 的方程分别为 即 由题意可知圆心 到直线 的距离等于 到直线 的距
19、离 即 ，化简得，关于 的方程由无穷多解，则有 ，故 . 考点： (1)点到直线距离公式；（ 2）方程解的个数问题 对于函数 若存在 ,使得 成立 ,则称 为 的不动点 . 已知 (1)当 时 ,求函数的不动点 ; (2)若对任意实数 ,函数 恒有两个相异的不动点 ,求 的取值范围 ; (3)在 (2)的条件下 ,若 图象上 、 两点的横坐标是函数 的不动点 ,且 、两点关于直线 对称 ,求 的最小值 . 答案：（ 1） -1和 3;（ 2） ；（ 3） 试题分析： (1)根据不动点的定义，本题实质是求方程 即 的解；（ 2）函数 恒有两个相异的不动点即方程 恒有两个不等实根，对应的判别式 恒
20、成立；（ 3） 、 两点关于直线 对称， 可用的结论有： 直线 AB与直线 垂直，即斜率互为负倒数； 线段 AB的中点在直线上注意不动点 A、 B所在直线 AB的斜率为 1 试题： (1) 时 , , 函数 的不动点为 -1和 3; (2)即 有两个不等实根 ,转化为 有两个不等实根 ,需有判别式大于 0恒成立 即 , 的取值范围为 ; (3)设 ,则 , 的中点 的坐标为 ,即 两点关于直线对称 , 又因为 在直线 上 , , 的中点 在直线上 , 利用基本不等式可得当且仅当 时 ,b的最小值为 . 考点：（ 1）解方程；（ 2）二次方程有两个不等实根的条件；（ 3）直线的对称点问题及最小值问题
