1、2013-2014学年云南省玉溪一中高二下学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 是虚数单位， ，则 =( ) A B C D 答案： C 试题分析： 考点：复数的四则运算法则和复数的模 . 函数 在定义域 R内可导，若 ，若 则 的大小关系是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：当 时， ， 在区间 上时增函数，由题意知， ， 考点：函数的单调性与导数的关系 . 函数 的图像恒过定点 A,若点 A在直线上，其中 的最小值为（ ） A 6 B 8 C 4 D 10 答案： B 试题分析：函数 ，当 时， ，因此点 ，即 ，其中 考点：对数函数过定点和用基本不等式求最值
2、 . 已知双曲线 ，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为 1： 2的两部分，则双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意知圆的圆心 半径 圆的方程 ，渐近线方程 即 渐近线分弧长为 1： 2，劣弧所对角为 由余弦定理得弦长，圆心 到直线 的距离 化简得考点：双曲线性质的综合应用 . 设锐角 的三内角 、 、 所对边的边长分别为 、 、 ，且 ， ,则 的取值范围为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由正弦定理得 ，由于三角形是锐角三角形 ， 考点：正弦定理的应用 . 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ） A B C
3、D 答案： A 试题分析：条件成立，第一次执行循环体 ，条件成立，第二次执行循环体 条件成立，第三次执行循环体 ；条件不成立，退出循环，输出. 考点：程序框图的识别和应用 . 过 所在平面 外一点 ，作 ,垂足为 ,连接 .若则点 （ ） A垂心 B外心 C内心 D重心 答案： B 试题分析：由于 ， 点 外心 考点：三角形外心的概念 . 若 展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由于展开式中只有第六项的二项式系数最大，第六项为中间项，共有 11项， ，当 时，常数项是 . 考点：二项式系数的性质 . 已知等差数列 的公差和首项都
4、不等于 0，且 ， ， 成 等比数列，则( ) A 2 B 3 C 5 D 7 答案： A 试题分析：设等差数列的公差为 ， 由于成等差数列， 整理的 由于考点：等差数列和等比数列的性质 . 已知向量 满足 ,则向量 夹角的余弦值为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： , , 考点：向量夹角公式的应用 . 函数 处的切线方程是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： ,切线的斜率 ，因此直线的点斜式方程 ，化简得 . 考点：利用导数的几何意义求切线方程 . .“ ”是 “ ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B
5、 试题分析： 时， 不一定大于 0，如 ，对数没意义， 不能推出若 则 ，可以推出 ， “ ”是 “ ”的必要不充分条件 . 考点：理解充分条件与必要条件 . 填空题 如图，已知球 的面上有四点 ， 平面, , ,则球 的表面积为 答案： 试题分析：把几何体看成长方体一部分，由于 ， ，因此为球的直径 半径 ，因此球的表面积 考点：球的表面积公式的应用 . .已知曲线 C的极坐标方程是 ，以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 (t为参数 )，则直线 被曲线 C截得的线段长为 答案： 试题分析：曲线 的方程 ，直线 的参数方程消去 得 即圆心到直线的距离 ，因
6、此截得弦长 考点：参数方程的应用和直线和圆相交求弦长 . 已知变量 ， 满足约束条件 则 的最大值为 答案： 试题分析：把函数 转化为 表示斜率为 截距为 平行直线系，当截距最大时， 最大，由题意知当直线过 和 两条直线交点 时 考点：线性规划的应用 . 已知 ,且 是第二象限角 ,那么 = 答案： 试题分析：由诱导公式得 ， ，由于 是第二象限角 考点：三角函数的诱导公式和倍角公式的应用 . 解答题 已知关于 的 不等式 (1)当 时，求此不等式的解集； (2)若此不等式的解集为 R，求实数 的取值范围 答案：（ 1） （ 2) 试题分析： (1)理解绝对值的几何意义， 表示的是数轴的上点
7、到原点的距离 ,由于到 1、 2的距离之和大于 2，因此 不再 1和 2之间，在 1左边和 2的右边找 .(2)对 分类讨论，分 三部分进行讨论； (3) 的应用 .(4)掌握一般不等式的解法： ， . 试题：解：（ 1）当 时，不等式为 ， 由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点 到 1、 2的距离之和大于 2 不等式的解集为 . 原不等式解集为 R等价于 , 又 ， . 考点： (1)考察绝对值不等式的意义；（ 2）绝对值不等式 的应用 . 已知数列 是等差数列， ，数列 的前 项和为 ，且 （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）记 ，若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围
8、 答案： (1) (2) 试题分析： (1)根据等差数列的首项和公差求通项公式；（ 2）由 推 时，别漏掉这种情况，大部分学生好遗忘 ;利用作差法判断数列的单调性 ;对于恒成立的问题，常用到以下两个结论： （ 1） ，（ 2） 试题：解答： ( )由已知得 ，解得 所以 4分 （ ） ，（ 1） 当 时， ， 当 时， （ 2） （ 1） -（ 2）得 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列 （ ）由（ ）知， ，所以 - 所以当 时， 取到最大值 ，所以 ，即 12分 考点： (1)等差数列的通项公式，（ 2）等比数列的判断；（ 3）判断数列的单调性 . 设有关于 的一元二次方程 (1)若
9、是从 0,1,2,3四个数中任取的一个数， 是从 0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率； (2)若 是从区间 0,3任取的一个数， 是从区间 0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）古典概型的概率问题，关键是正确找出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，然后利用古典概型的概率计算公式计算；（ 2)当基本事件总数较少时，用列举法把所有的基本事件一一列举出来，要做到不重不漏，有时可借助列表，树状图列举，当基本事件总数较多时，注意去分排列与组合；（ 3）注意判断是古典概型还是几何概型，基本事件前者是有限的，后者是无限的，两者都是等可
10、能性 .(4)在几何概型中注意区域是线段，平面图形，立体图形 . 试题：解：设事件 A为 “方程 x2 2ax b2 0有实根 ” 当 a0， b0时，方程 x2 2ax b2 0有实根的充要条件为 ab. (1)基本事件共有 12个： (0,0)， (0,1)， (0,2)， (1,0)， (1,1)， (1,2)， (2,0)， (2,1)， (2,2)，(3,0)， (3,1)， (3,2)其中第一个数表示 a的取值，第二个数表示 b的取值事件 A中包含 9个基本事件，事件 A发生的概率为 P(A) .6分 (2)试验的 全部结果所构成的区域为 (a， b)|0a3,0b2，构成事件 A
11、的区域为 (a，b)|0a3,0b2， ab，所以所求的概率为 P(A) 12分 考点：（ 1）古典概型的概率； （ 2）几何概型的概率 . 如图是多面体 和它的三视图 (1)若点 是线段 上的一点，且 ,求证： ; (2)求二面角 的余弦值 答案： (1)证明见； (2) 试题分析： (1)利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算 .其中灵活建系是解题的关键 .(2)证明线面垂直，需证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（ 3)把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值 ;(4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要
12、充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化 .同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备 . 试题：解： (1)由题意知 AA1， AB， AC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0， 0， 0)， A1(0， 0， 2)， B(-2， 0， 0)， C(0， -2， 0)， C1(-1， -1， 2)，则 (-1， 1， 2)， (-1， -1， 0)， (0， -2， -2) (1分 ) 设 E(x， y， z)，则 (x， y 2， z)， (-1-x， -1-y， 2-z) (3分 ) 2 ，得 E( =
13、设平面 C1A1C的法向量为 m (x， y， z)，则由 ， 得 ，取 x 1，则 y -1， z 1.故 m (1， -1， 1)， = ， BE 平面 A1CC1.(6分 ) (2)由（ 1）知，平面 C1A1C的法向量为 m (1， -1， 1) 而平面 A1CA的一个法向量为 n (1， 0， 0)，则 cos m， n ，故二面角 的余弦值 .(12分 ) 考点：利用空间向量证明垂直和夹角问题 . 已知椭圆 C的对称中心为原点 O，焦点在 x轴上，左右焦点分别为 和 ，且| |=2， 点（ 1， ）在该椭圆上 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）过 的直线 与椭圆 C相交于 A，
14、B两点，若 A B的面积为 ，求以 为圆心且与直线 相切圆的方程 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）设椭 圆的方程，用待定系数法求出 的值；（ 2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程 .第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程 .第三步：求解判别式 ：计算一元二次方程根 .第四步：写出根与系数的关系 .第五步：根据题设条件求解问题中结论 . 试题：解：（ 1）椭圆 C的方程是 4分 （ 2）当直线 轴时，可得 的面积为 3，不合题意。
15、当直线 与 轴不垂直时，设其方程为 ，代入椭圆方程得 : 则 ，可得 又圆 的半径 ， 的面积 = ，化简得： ，得 k=1， r = ，圆的方程为 （ 12分） 考点： (1)椭圆的方程； （ 2）直线与椭圆的综合问题 . 已知函数 ， 为常数 （ 1）若 ，求函数 在 上的值域；（ 为自然对数的底数， ） （ 2）若函数 在 上为单调减函数，求实数 的取值范围 . 答案： (1) ;(2) 试题分析： (1)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值 .求函数的最值时，要先求函数 在区间 内使 的点，再计算函数 在区间内所有使 的点和区间端点处的函数值，最后比较即得 .(2)第二问关键是分离参数，把所求问题转化为求函数的最小值问题 .(3)若可导函数 在指定的区间 上单调递增（减），求参数问题，可转化为 恒成立，从而构建不等式，要注意 “=”是否可以取到 . 试题：解：（ 1）由题意 ， 当 时， 在 为减函数， 为增函数 4分 又 比较可得 的值域为 6分 （ 2）由题意得 在 恒成立 恒成立 8分 设 当 时 恒成立 即实数 的取值范围是 12分 考点： (1)利用导数求函数的最值；（ 2)利用导数研究函数的单调性 .
