1、2013-2014学年北京市西城区高二第一学期期末文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 圆 的半径为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由圆 ，通过配方可得 .所以圆的半径为.故选 B.本小题关键知识点是通过二次方的配方，把圆的一般方程化为圆的标准方程，从而得到圆心的坐标和圆的半径，属于基础题型 . 考点： 1.圆的一般方程 .2.圆的标准方程 .3.配方公式 . 已知椭圆 ， 为坐标原点 .若 为椭圆上一点，且在 轴右侧，为 轴上一点， ，则点 横坐标的最小值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设 .所以 .又根据 .所以直线 OM斜率与直线 MN的斜率的乘积为 -1
2、.即 ，又因为.解得 .所以 .当且仅当即 时 .故选 B. 考点： 1.直线垂直关系 .2.基本不等式的应用 .3.解方程的思想 . 某几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据题意可得该三视图是一个倒着放的三棱柱 .三棱柱的底面是一个直角边为 2的等腰直角三角形，高为 2.所以由棱柱的体积公式 ，可得.故选 C.本小题的关键是通过三视图画出相应的直观图 . 考点： 1.三视图的知识 .2.棱柱的体积的计算 . 如图，在正方体 中，下列结论不正确的是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 平面 , 平面 .所以 正确，所以 A选项正
3、确；由于 平面 .所以 正确，即 A选项正确；因为三角形 为等边三角形，所以 正确即 D选项正确 .由于 与是异面直线 .综上选 C. 考点： 1.线线垂直 .2.线面垂直 .3.异面直线所成的角 . 若 ，则方程 表示（ ） A焦点在 轴上的椭圆 B焦点在 轴上的椭圆 C焦点在 轴上的双曲线 D焦点在 轴上的双曲线 答案： B 试题分析：因为椭圆的标准方程为 ，又 ，所以可得.即椭圆的长轴在 y轴上，所以椭圆的焦点在 y轴上，故选 B.本小题关键椭圆的焦点在那个轴上的问题，首先是化为标准方程后根据.确定在那个轴上 . 考点： 1.椭圆的标准方程 .2.椭圆的性质 . “ ”是 “方程 表示圆
4、 ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：因为若 则当 时方程 不能表示一个圆 .所以充分性不成立；当方程 表示 圆时，即 .即有 成立 .所以必要性成立 .综上 “ ”是 “方程 表示圆 ”的必要不从分条件 .故选B. 考点： 1.圆的方程 .2.充分必要条件 . 关于直线 以及平面 ,下列命题中正确的是 ( ) A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 答案： D 试题分析：若 ，则直线 与 三种位置关系都有，所以 A选项不正确；若 ，则直线 与平面 M可能是平行，也可能是相交，所以 B选项不正确；若 ，则直
5、线 可能与平面 M平行或相交，所以 C选项不正确 .D选项是面面垂直的判定定理 .综上故选 D. 考点： 1.线面平行与垂直的判定 .2.面面垂直的判定 . 命题 “ , ”的否定为 ( ) A ， B ， C ， D ， 答案： A 试题分析：由于含全称量词的否定，要把全称量词改为特称量词，所以命题“ , ”的否定把全称改为特称，结论的 “ ”为 “”即 ， .故选 A.本小题关键是考查全称命题与特称命题的否定的互相转化 . 考点：全称命题改为特称命题 . 已知 为椭圆 上一点 , 为椭圆的两个焦点，且 , 则( ) A B C D 答案： C 试题分析：由于椭圆 的长半轴的长 ，所以长轴
6、.又因为根据椭圆的定义可得 .所以 .故选 C.本小题关键是考查椭圆的定义，属于较基础的题型 . 考点： 1.椭圆的定义 .2.椭圆的标准方程 . 双曲线 的实轴长为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由双曲线 对应的标准方程 的 .所以 .又因为双曲线的长轴为 ，故选 C.本小题关键是考查双曲线的标准方程，以及双曲线实轴长为 ，这也是易错点，值得注意 . 考点： 1.双曲线的标准方程 .2.实轴的概念 . 填空题 已知正方体 ，点 、 、 分别是棱 、 和 上的动点，观察直线 与 ， 与 给出下列结论： 对于任意点 ，存在点 ，使得 ； 对于任意点 ，存在点 ，使得 ； 对于任意
7、点 ，存在点 ，使得 ； 对于任意点 ，存在点 ，使得 其中，所有正确结论的序号是 _. 答案： 试题分析：因为对任意的 E点，则直线 CE所形成的轨迹都在平面 上，所以要使得 ，即要存在 平面 ，显然是不成立的，所以 不正确；因为对于任意点 ，由 形成的轨迹在平面 上，所以要存在 只需要 即可，这显然可以成立，所以 正确 .同理 只要G点移到 点即可成立，所以 正确 .与 类似 不成立 .故填 . 考点： 1.线面垂直的判定 .2.线线垂直的判定 .3.线动成面的思维 . 已知一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，若此正方体的棱长为 ，那么这个球的表面积为 _. 答案： 试题分析：由于正方体
8、的八个顶点都在球的表面上，所以正方体的体对角线就是球的直径，由于正方体的棱长为 ，所以体对角线 ，与正方体的棱长 的关系为 .所以 ，及球的直径 .由球的表面积公式.可得 .故填 . 考点： 1.球内接正方体中的等量关系 .2.球的表面积公式 .3.空间的想象能力 . 双曲线 的离心率等于 _；渐近线方程为 _. 答案： ; 试题分析：由于双曲线 ，所以 ，所以所以离心率 .故填 2.由于双曲线的焦点在 x轴上，所以渐近线的方程为 .故填 . 考点： 1.双曲线的性质 .2.双曲线中三个基本量的关系 . 若圆 与圆 外切，则 的值为 _. 答案： 试题分析：因为两圆外切的判断是圆心距等于两圆的
9、半径 .所以由，所以 .又因为两圆的半径分别为 1和 r.所以 1+r=3,所以解得 r=2.故填 2.本小题关键是要理解两圆相切所具备的条件 . 考点： 1.圆的标准方程 .2.两圆 相切的判定 .3.两点间的距离公式 . 命题 “若 ，则 ”的否命题是： _. 答案：若 ，则 试题分析：命题的否命题是将命题的题设与结论都否定，所以若 ，则的否命题是 “若 ，则 ”.故填若 ，则 .本题的关键是命题的四种形式间的关系，这些题型都要要分清命题的题设与结论，才能正确解题 . 考点： 1.命题的否命题的表示形式 .2.大于的否定是小于等于 . 已知抛物线的准线为 ，则其标准方程为 _. 答案： 试
10、题分析：因为抛物线的准线为 ，所以抛物线的对称轴是 x轴，开口向右，所以假设抛物线的方程为 .依题意可得 .所以抛物线的标准方程为 ，故填 .本小题关键是确立抛物线的方程的形式 . 考点： 1.抛物线的标准方程 .2.抛物线的图像 . 解答题 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 平面 ， 为 中点 . （ 1）证明： /平面 ； （ 2）证明： 平面 . 答案：（ 1）参考；（ 2）参考 试题分析：（ 1）直线与平面平行的证明，根据判断定理要在平面内找一条直线与与该直线平行 .所以要证 /平面 ，找到直线 即可 . （ 2）要证直线与平面垂直根据判断定理要在平面内找到两条相交的直线与该直线垂直
11、即可 .通过分析直线 AE PD由题意可得；另外直线 CD垂直平面 PAD，所以有可得直线 CD垂直直线 AE.又由于直线 CD与直线 PD相交，所以可证得结论 . 试题：证明：（ 1）因为底面 为矩形， 所以 .又因为 平面 ， 平面 ， 所以 /平面 . （ 2）因为 ， 为 中点， 所以 ，因为 平面 ， 所以 .又底面 为矩形， 所以 . 所以 平面 . 所以 . 所以 平面 . 考点： 1.线面平行的判断 .2.线面垂直的判断 .3.线面关系与线线关系的相互转化 .4.空间图像感 . 已知圆 经过坐标原点 和点 ，且圆心在 轴上 . （ 1）求圆 的方程； （ 2）设直线 经过点 ，
12、且 与圆 相交所得弦长为 ，求直线 的方程 . 答案：（ 1） ；（ 2） 或 试题分析：（ 1）本题求圆的方程，已知圆上两点即圆心的纵坐标，所以需要求出圆的半径和圆心的横坐标两个值即可确定圆的方程，通过列解方程即可求出相应的量，该题的半径的长刚好就是圆心的横坐标的值，这个条件要用上 . （ 2）该小题是直线与圆的位置关系问题，特别要先判断直线的斜率不存在的时候的情况，通过画图可知符合条件，其次是斜率存在时，通过重点三角形（弦心距，半弦长，半径）的关系可以求出弦心距的长，从而再用圆心到直线的距离公式求出直线的斜率，又过已知点即可写出直线方程 . 试题：（ 1）设圆 的圆心坐标为 ， 依题意，有
13、 ， 即 ，解得 ，所以圆 的方程为 . （ 2）依题意，圆 的圆心到直线 的距离为 ， 所以直线 符合题意 . 另，设直线 方程为 ，即 ， 则 ， 解得 ， 所以直线 的方程为 ，即 . 综上，直线 的方程为 或 . 考点： 1.直线与圆的关系 .2.圆的标准方程 .3.分类归纳思想 .4.运算能力的锻炼 . 在斜三棱柱 中，侧面 平面 ， ， 为中点 . （ 1）求证： ； （ 2）求证： 平面 ； （ 3）若 ， ，求三棱锥 的体积 . 答案：（ 1）参考；（ 2）参考；（ 3） 试题分析：（ 1）要证明线面垂直，根据线面垂直的判断定理，需要证明直线垂直平面内的两条相交直线，或者用面面
14、垂直的性质定理，转化为线面垂直在转到线线垂直的结论，本小题是根据题意，利用第二种方法证明 . （ 2）线面平面平行的证明，关键是在平面内找到一条直线与要 证明的直线平行，根据 D点是中点，利用中位线的知识可得到直线的平行，所以把直线交点与点 D连结即可 .线面平行还有一种就是转化为面面平行 .线面平行的证明就是这两种判断的相互转化 . （ 3）根据体积公式，以及题意很容易确定高以及底面的面积，即可求出体积 . 试题：（ 1）证明：因为 ， 所以 ， 又 侧面 平面 ， 且 平面 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ， 所以 . （ 2）证明：设 与 的交点为 ，连接 , 在 中， 分
15、别为 ， 的中点， 所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （ 3）解：由（ 1）知， 平面 ， 所以三棱锥 的体积为 . 又 ， ， 所以 ， 所以 . 三棱锥 的体积等于 . 考点： 1.线线垂直的判断 .2.线面垂直的判定 .3.线面平行的判断 .4.棱锥的体积公式 .5.空间想象能力 . 已知椭圆 的离心率为 ，左右焦点分别为 ，且 . （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）过点 的直线与椭圆 相交于 两点，且 ，求 的面积 . 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）因为要求椭圆的方程，必须求出两个关于椭圆的三个基本量的等式，依题意可得，离心率，焦距的长即可求出相应的
16、的大小，从而可求出椭圆的方程 . （ 2）要求三角形的面积通过求出弦长和焦点到直线的距离，从而根据三角形的面积可得三角形的面积 .弦长公式的计算需要具备解方程的能力，应用韦达定理，弦长公式，化简等式的能力；运用点到直线的距离公式计算三角形的高 . 试题：（ 1）由已知 ，所以 . 因为椭圆 的离心率为 ，所以 . 所以 . 所以 ， 故椭圆 C的方程为 . （ 2）若直线 的方程为 ，则 ，不符合题意 . 设直线 的方程为 ， 由 消去 y得 ， 显然 成立，设 ， 则 . 由已知 ，解得 .当 ，直线 的方程为，即 ， 点 到直线 的距离 .所以 的面 积 . 当 ， 的面积也等于 . 综上
17、， 的面积等于 . 考点： 1.直线与圆的位置关系 .2.待定系数求椭圆的方程 .3.解方程的能力 .4.三角形的面积公式 . 如图，四棱锥 中，底面 为梯形， ， ，平面 平面 ， （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： ； （ 3）是否存在点 ，到四棱锥 各顶点的距离都相等？并说明理由 . 答案：（ 1）参考；（ 2）参考；（ 3）存在 试题分析：（ 1）线面平面平行的证明，关键是在平面内找到一条直线与要证明的直线平行，根据 ，再根据直线 BC，直线 AD的位置关系，即可得线面平行 .线面平行还有一种就是转化为面面平行 .线面平行的证明就是这两种判断的相互转化 . （ 2）要证线线垂直转
18、化为线面垂直，由题意可知，通过证明直线 AC垂直于平面 PAB，由面面垂直可知，只需证明直线 AC垂直于 AB，在三角形 ABC中，由所给条件即可得到 AC垂直于 AB. （ 3）由（ 2）可知直线 PB垂直于平面 PAC.所以可得直线 PB垂直于直线 PC.通过三角形的 BCD全等于三角形 CBA，所以可得直线 BD垂直于 DC.所以 BC是的斜边，即 BC的中点就是所要找的 Q点 . 试题：（ 1）证明：底面 为梯形， ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （ 2）证明：设 的中点为 ，连结 ，在梯形 中， 因为 ， ， 所以 为等边三角形， ， 又 ， 所以 四边形 为菱形 . 因
19、为 ， ， 所以 ， 所以 ， ， 又平面 平面 ， 是交线， 所以 平面 ， 所以 ，即 . （ 3）解：因为 ， ，所以 平面 . 所以， ， 所以 为直角三角形， . 连结 ，由（ 2）知 ， 所以 ， 所以 为直角三角形， . 所以点 是三个直角三角形： 、 和 的共同的斜边 的中点， 所以 ， 所以存在点 （即点 ）到四棱锥 各顶点的距离都相等 . 考点： 1.线面平行的判定 .2.线线垂直的判定 .3.直角三形的性质 .4.归纳推理论证的能力 . 已知抛物线 ，点 ，过 的直线 交抛物线 于 两点 . （ 1）若 ，抛物线 的焦点与 中点的连线垂直于 轴，求直线 的方程； （ 2）
20、设 为小于零的常数，点 关于 轴的对称点为 ，求证：直线 过定点 答案：（ 1） ；（ 2）参考 试题分析：（ 1）由题意可得通过假设直线方程联立抛物线方程，消去 y可得一个一元二次方程，通过韦达定理写出根与系数的关系 .由中点的横坐标等于抛物线的焦点坐标的横坐标可解出直线的斜率 k的值 .即可求出直线方程 . （ 2）由直线方程与抛物线的方程联立可得，关于点 A,B的坐标关系，从而得到的坐标，写出直线 B的方程 .由于其中含有 A,B的坐标值，通过整理成为的形式即可知道，直线恒过定点 . 试题：（ 1）解：由已知，抛物线 的焦点坐标为 . 设过点 的直线 的方程为 ， 由 得 . 设 ， ，则 . 因为 与 中点的连线垂直于 轴，所以 ，即 . 解得 ， . 所以，直线 的方程为 . （ 2）证明：设直线 的方程为 . 由 得 ， 则 ，且 ，即 ，且 . . 因为 关于 轴对称，所以 ，直线 ， 又 ， ，所以 ， 所以 . 因为 ，又 同号， ， 所以 ， 所以直线 的方程为 ， 所以，直线 恒过定点 . 考点： 1.直线与抛物线的关系 .2.对称性的问题 .3.解方程的能力 .4.过定点的问题 .
