1、2013-2014学年吉林省实验中学上学期高二模块一文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查： 从某社区 430户高收入家庭， 980户中等收入家庭， 290户低收入家庭中任意选出 170户调查社会购买力的某项指标； 从本年级 12名体育特长生中随机选出 5人调查其学习负担情况； 则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是 （ ） A 用系统抽样， 用简单随机抽样 B 用系统抽样， 用分层抽样 C 用分层抽样， 用系统抽样 D 用分层抽样， 用简单随机抽样 答案： D 试题分析： 1、当总体由差异明显的几部分构成时，应选用分层抽样； 2当总体个体
2、数有限、逐个抽取、不放回、每个个体被抽到的可能性均等，应选用简单分层抽样； 3、当个体数较多，将总体分成均衡的几部分，按照事先确定的规则在各部分抽取，叫系统抽样， 选 D 考点：抽样方法 . 在四边形 中， ， ，将沿 折起，使平面 平面 ，构成三棱锥 ，则在三棱锥 中，下列命题正确的是 ( ) A平面 平面 B平面 平面 C平面 平面 D平面 平面 答案： D 试题分析： 中 , ，则 , ，又, ,又平面 平面 ，且面 面 = ,面 ， 面 ，又 面 ， ,又, 面 ，又 面 ，则平面 平面，选 D. 考点： 1、线面垂直的判定； 2、面面垂直的判定 . 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的
3、数学家曾经在沙滩上研究数学问题他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类如下图中实心点的个数 ， ， ， ， 为梯形数根据图形的构成，记此数列的第 项为 ，则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：分析已知条件，寻求项与项之间的联系，是解题关键，由已知可得 : 累加得： ， ，选 D. 考点： 1、数列的概念； 2、累加法 . 已知正方形 ABCD的边长为 2， H是边 DA的中点 .在正方形 ABCD内部随机取一点 P，则满足 |PH| 的概率为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：基本事件总数无限，所以考虑几何概型，满足 的点在以为圆心， 为
4、半径的圆（落在正方形内部的部分），,所以所求概率值，选 B. 考点：几何概型 . 已知点 ， , ，以线段 为直径作圆 ，则直线与圆 的位置关系是（ ） A相交且过圆心 B相交但不过圆心 C相切 D相离 答案： B 试题分析：依题意圆 的圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离 ， 直线与圆相交且不过圆心，选 B. 考点： 1、直线和圆的位置关系； 2、点到直线的距离公式 . 在下列条件下，可判断平面 与平面 平行的是（ ） A 、 都垂直于平面 B 内不共线的三个点到 的距离相等 C l,m是 内两条直线且 l ,m D l,m是异面直线 ,且 l ,m ,l ,m 答案： D 试题分析：
5、A:垂直于同一个平面的两个平面可以平行也可以相交， A错； B：当内不共线的三点到 的距离相等时，两个平面也可以相交， B错； C：由平面与平面平行的判定定理可知， C错， 选 D. 考点：面面平行的判定 . 圆柱形容器内盛有高度为 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如右图所示），则球的半径是（ ） A 2 B 3 C 4 D答案： A 试题分析：设圆柱的底面半径为 ，则 ， ，放入三个球后，水面升高 ， ，解得 ，选 A 考点：几何体的体积 . 如图，程序 框图的输出结果为 -18，那么判断框 表示的 “条件 ”应该是（ ） A ？ B ？ C
6、 ？ D ？ 答案： C 试题分析：在程序执行过程中 , 的值依次为 ； ； ； ； ； ； ，此时要输出结果，只需 ，选 C 考点：程序框图 . 已知某几何体的三视图如右图，根据图中标出的尺寸 （单位： ），可得这个几何体的表面积为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由三视图中，一个等腰直角三角形，一个等腰三角形，一个正方形，可知该几何体是四棱锥，且顶点在底面的射影在一边的中点，有一侧面与底面垂直，还原几何体为： 由三视图中可知： ,，选 B 考点： 1、几何体的三视图； 2、几何体的表面积 . 在等差数列 中， ，则前 13项之和等于 ( ) A B C D 答案： A 试题分
7、析：在等差数列中，若 ，则 ， ， ， 选 A. 考点：等差数列的前 项和 . 同时抛掷两枚骰子，则两枚骰子向上的点数相同的概率为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：记事件 =“两枚骰子向上的点数相同 ”，同时抛掷两枚骰子共有 36种结果，而事件 包含的结果数有 6种， ,选 C. 考点：古典概型 . 已知数据 是上海普通职工 个人的年收入 ,设个数据的中位数为 ，平均数为 ，方差为 ，如果再加上世界首富的年收入，则这 个数据中，下列说法正确的是 ( ) A年收入平均数大大增加，中位数一定变大，方差可能不变 B年收入平均数大大增加，中位数可能不变，方差变大 C年收入平均数大大增加，
8、中位数可能不变，方差也不变 D年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变 答案： B 试题分析：平均数反映了数据的集中趋势所处的水平，它受样本中每个数据的影响， “越离群 ”的数据，对平均数的影响也大，而中位数不受少数几个极端值的影响，方差反映数据集中与分散程度，数据的集中程度也会受到 的影响，而更加分散，则方差越大，根据平均数、中位数、方差的意义，易得答案： B. 考点：用样本的数字特征估计总体的数字特征 . 填空题 已知棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E是 A1B1的中点，求直线 AE与平面 ABC1D1所成角的正弦值 答案： 试题分析：求直线和平面所成的角，一
9、般先确定斜足，然后在直线上取一点（除斜足），作平面的垂线，再连接垂足和斜足 (即得直线在平面内的射影 ),最后解由垂线、斜线、射影组成的直角三角形，如果直线在平面内的射影不易确定，可平移直线，一直到容易确定射影为止，如图所示，取 中点 ，连接，则 ，连接 , , , 面 ，垂足为 ，连接 ，则就是直线 与平面 ABC1D1所成角 ,在 中，. 考点： 1、直线和平面垂直； 2、直线和平面所成的角 . 已知等比数列 的前 n项和为 ，若 ，则_. 答案： 试题分析：利用等比数列前 项公式 展开时，需讨论公比 是否为 1， ， , , ,联立得= =33 考点：等比数列前 项和 . 已知直线 与
10、垂直，则 的值是 . 答案： 或 试题分析：两条直线垂直等价条件为 ， ，解得 或 . 考点：两条直线的位置关系 . 某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10组，每组罚球 40个命中个数的茎叶图如图则罚球命中率较高的是 . 答案：甲 试题分析：甲的进球集中在 20和 30之间，而乙的进球集中在 10和 20之间，也就是说甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方，从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高 . 考点：茎叶图 . 解答题 已知 为等差数列，且 , 为 的前 项和 . （ ）求数列 的通项公式 及 ； （ II）设 ，求数列 的通项
11、公式 及其前 项和 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ ）确定等差数列需要两个独立的条件，由 ，可得 ，代入 ， 中可得；（ ）由（ ）可得 ，求数列前 项和，要根据通项公式的具体形式，选择适合的求和方法，常用的数列求和法有 裂项相消法； 错误相减法； 分组求和法； 奇偶项分析法等，该题 = ，利用裂项相消法 . 试题：（ ）设数列 的公差为 d，由题意得 ， 解得 ， 2 分 所以 ， 4分 ， 6分 （ ） = ， 8分 = . 10分 . 考点： 1、等差数列的通项公式和前 项和； 2、裂项相消法求数列前 项和 . 某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关
12、系进行研究，于是他在 4月份的 30天中随机挑选了 5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每 100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料： 日 期 4月 1日 4月 7日 4月 15日 4月 21日 4月 30日 温差 10 11 13 12 8 发芽数 颗 23 25 30 26 16 （ ）从这 5天中任选 2天，若选取的是 4月 1日与 4月 30日的两组数据，请根据这 5天中的另三天的数据，求出 关于 的线性回归方程 ； （ ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（ ）中所得的线性回归方程是否可靠？ （参考公式：
13、 ， ） （参考数据： ， ） 答案：（ ） ；（ ）可靠 试题分析：（ ）求线性回归方程的步骤： 根据样本数据求出 ； 求出， ； 利用公式求出 ， ，写出回归直线方程；（ ）回归直线是离散点 “最贴近 ”的一条直线，但它不是准确的，可以利用回归直线方程进行预测：把预报因子 (即自变量 x)代入回归直线方程对预报量（即因变量 y）进行估计，该题只要预报量与真实值的绝对值均 2，就认为是可靠 . 试题：（ ）由数据 ， 4分 ， ， 又 ， ， 6分 -7分 所以 关于 的线性回归方程为 8分 （ ）当 时， ， |22-23| ，当 时， |17-16| -10分 所以得到的线性回归方程是可
14、靠的 12分 考点：线性回归方程和应用 . 某高校在 2013年的自主招生考试成绩中随机抽取 40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第 1组 ，第 2组 ，第 3组 ，第 4组，第 5组 ，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含 85分）的学生为 “优秀 ”，成绩小于 85分的学生为 “良好 ”，且只有成绩为 “优秀 ”的学生才能获得面试资格 （ ）求出第 4组的频率，并补全频率分布直方图； （ ）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数； （ ）如果用分层抽样的方法从 “优秀 ”和 “良好 ” 的学生中共选出 5人，再从这5人中选 2人，那么至少有一人是 “优秀 ”的概率
15、是多少？ 答案：（ ） 0.2，图详见；（ ） ；（ ） 试题分析：在频率分布直方图中需要掌握 ：每个小矩形的面积代表落在这个组内数据的频率，所有小矩形的面积和等于 1， 利用频率分布直方图可以估计总体的数字特征 :众数、中位数、平均数，其中众数是最高矩形的中点横坐标；中位数是两边矩形的面积和各为 的分界点；平均数等于每个小矩形面积乘以中点横坐标的累加值， 落在每个小矩形内的数据是用其中点横坐标刻画的，（ ）根据频率和等于 1，可计算第四组的频率，然后除以组距，就是这个组的高，即可补全频率分布直方图；（ ）设样本的中位数为 ，则，可计算 的值；（ ）根据分层抽样可计算出抽取的 5人中，优秀 3
16、人，良好 2人，从中选 2人，共有 10种结果，其中“全为良好 ”包括 1种结果， . 试题：（ ）其它组的频率为（ 0 01+0 07+0 06+0 02） 5=0 8， 所以第四组的频率为 0 2， -2分 频率 /组距是 0.04 频率分布图如图： 4分 （ ）设样本的中位数为 ，则 5分 解得 所以样本中位数的估计值为 6分 （ ）依题意良好的人数为 人，优秀的人数为 人抽取比例为 1/8，所以采用分层抽样的方法抽取的 5人中有优秀 3人，良好 2人 8分 法 1：记从这 5人中选 2人至少有 1人是优秀为事件 M 将考试成绩优秀的三名学生记为 A,B， C， 考试成绩良好的两名学生记
17、为 a,b 从这 5人中任选 2人的所有基本事件包括： AB,AC,BC， Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb,ab 共 10个基本事件 9分 事件 M含的情况是： AB,AC,BC， Aa,Ab,Ba,Bb， Ca,Cb，共 9个 10分 所以 12分 法 2： P= 考点： 1、频率分布直方图和应用； 2、古典概型 . 如图，在四棱锥 PABCD 中 ,PA 平面 ABCD，四边形 ABCD为正方形，PA AB 4， G为 PD的中点， E是 AB的中点 . （ ）求证： AG 平面 PEC； （ ）求点 G到平面 PEC的距离 答案：（ ）详见；（ ） 试题分析：（ ）要证明一条直线和一
18、个平面平行，只需在面内找一条直线与之平行，如果找不到，可将这条直线平移到平面内，取 中点 ，连接,则 是 的中位线，则有 , ，又 , 可证四边形 是平行四边形，从而 ，可证 面； （ ）点到平面的距离指的是点到平面垂线段的长度，如果垂足不好确定，可考虑四面体的等体积转换，由（ ）知 面 ， 点 和点 到面的距离相等，设点 到平面 的距离为 由 ，可求 . 试题：（ ）证明：取 PC的中点 F,连接 GF,则 又 ,且 , ,四边形 GAEF是平行四边形 -4分 又 ， 面 . 6分 （ ）由 面 ,知点 和点 到面 的距离相等 ,设点 到平面的距离为 ， ， 9分 又 ， , 10分 又 ，
19、 ， 即 ， ， G点到平面 PEC的距离为 12分 考点： 1、线和面平行的判定； 2、点到面的距离 . 已知动点 M 到定点 与到定点 的距离之比为 3. （ ）求动点 M的轨迹 C的方程，并指明曲线 C的轨迹； （ ）设直线 ,若曲线 C上恰有两个点到直线 的距离为 1， 求实数 的取值范围。 答案：（ ） ,以 为圆心， 为半径的圆； （ ） 试题分析：（ ）设点 ，由已知得 ，化简，得动点的轨迹方程，并说明轨迹类型；（ ）平面内到定直线的距离等于 1的点在两条与已知直线平行，且距离等于 1的平行线上， 只需让曲线 与这两条平行线有两个公共点即可，当由图得圆心 到直线 的距离 时，圆上有一个点到直线的距离等于 1，直线向上移时圆上有两个点到直线距离等于 1，当，圆上有 1 个点到直线距离等于 1，继续向上移动时圆上无满足条件的点， 满足 ，即 ，解不等式可得 的取值范围 . 试题：（ ） 解 ;设点 ，由已知可得 2分 整理得： 即为 M的轨迹方程 4分 曲线 C的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆 6分 （ ）设圆心到直线 的距离为 ，当 时，符合题意 8分 ，即 ， 当 时， 9分 当 时， 10分 的取值范围是： 12分 考点： 1、点到直线的距离； 2、曲线的轨迹方程 .
