1、2013-2014学年吉林省实验中学高二上学期模块一理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知空间四边形 ABCD中， G为 CD的中点，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 为 的中点， , =,选 A. 考点：向量的线性运算 . 椭圆 的左右焦点分别为 ，若椭圆 上恰好有 6个不同的点 ，使得 F1F2P为等腰三角形，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 当线段 为等腰三角形底边时，点 与短轴端点重合，满足条件的点 有两个，即 ； 当线段 为底边时， , 点 是以 为圆心， 为半径的圆与椭圆的公共点，且 ，则 ，此时有一种特殊情况：
2、为等边三角形，已经包括在 中，此时 ， ，且 ,满足条件的点 有两个，即 ； 当线段 为底边时， , 点 是以 为圆心， 为半径的圆与椭圆的公共点，且，则 ，此时有一种特殊情况： 为等边三角形，已经包括在 中，此时 ， ，且 ,满足条件的点 有两个，即. 考点：椭圆的标准方程和简单几何性质 . 已知双曲线的方程为 ,过左焦点 作斜率为 的直线交双曲线的右支于点 P,且 y轴平分线段 ,则双曲线的离心率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 过左焦点 所作直线 斜率为 ， = ,设直线 和 轴的交点为点 ，则点 为 的中点，在 中， 是中位线， ， 轴，则 ，在 中， ，解得 ，选 A
3、. 考点： 1、三角形的中位线； 2、双曲线的标准方程及简单几何性质； 3、解直角三角形 . 已知双曲线 的左顶点为 A1，右焦点为 F2， P 为双曲线右支上一点，则 的最小值为（ ） A -2 B C 1 D 0 答案： A 试题分析：由双曲线 ，得左顶点 ，右焦点 ,设右支上一点 ，则 ， =，又 ， ，代入上式，可得 = ，当 时， 最小值为 -2，选 A. 考点： 1、向量的数量积运算； 2、函数的最小值； 3、双曲线的标准方程 . 椭圆 的离心率为 ，则 k的值为（ ） A -21 B 21 C 或 21 D 或 21 答案： C 试题分析： 方程 表示椭圆， 且 ，（ 1）当时，
4、 , ,得 ；（ 2）当 时， ，得 ，综上所述： 或 ，选 C. 考点：椭圆的标准方程和简单几何性质 . 已知对 k R，直线 y-kx-1 0与椭圆 恒有公共点，则实数 m的取值范围是（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 椭圆 ， 且 ，直线 恒过定点，欲使其与椭圆 恒有公共点，只需让 落在椭圆内或者椭圆上，即： ， ，选 C. 考点： 1、过定点的直线系； 2、直线与椭圆的位置关系 . 已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线和直线 的距离之和的最小值是（ ） A B 2 C D 3 答案： B 试题分析：如图所示：设抛物线 上动点 到直线 和直线 的距离分别为 ，抛物线
5、的焦点 ，准线 ，根据抛物线定义，所以 ，由图可知 :当过点 是过点 且垂直于直线的直线和抛物线交点时，距离和最小，最小值是点 到直线 的距离，即：考点： 1、点到直线的距离公式； 2、抛物线的定义 . 一动圆与圆 O： x2 y2 1外切，与圆 C： x2 y2-6x 8 0内切，那么动圆的圆心的轨迹是（ ） A圆 B椭圆 C双曲线的一支 D抛物线 答案： C 试题分析：由 ，可得 ，设动圆圆心为，半径为 ， 圆 与圆 外切， ， 圆 与圆 内切， ,从而 ,根据双曲线的定义，动圆圆心的轨迹是是以 为焦点的双曲线（靠近点 的一支） . 考点： 1、圆与圆的位置关系； 2、双曲线的定义 . 已
6、知动点 P在曲线 上移动，则点 与点 P连线中点的轨迹方程是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设点 与点 连线中点为 ，则点 ，又动点在曲线 上移动，所以将 代入方程 ，可得， 选 C. 考点：代入法求轨迹方程 . 与椭圆 共焦点且过点 P(2， 1)的双曲线方程是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：在椭圆 中， ， ， 焦点为，设所求的双曲线方程为： ，由双曲线的定义可知： ， , ，故双曲线方程为： . 考点：椭圆和双曲线的定义及标准方程 . 椭圆 上一点 M到焦点 F1的距离为 2， N 是 MF1的中点则 |ON|等于（ ） A 2 B 4 C 8 D 答案： B
7、 试题分析：设椭圆的另一焦点为 ， ， ,连接 , ,在 中， 是 的中位线， , 选B. 考点： 1、椭圆的定义； 2、三角形的中位线 . 抛物线 的焦点坐标为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 抛物线方程为 ， =1, ,又 焦点在 轴的正半轴， 焦点坐标为 ，选 D. 考点：抛物线的标准方程 . 填空题 设抛物线 C： 的焦点为 F，点 M在 C上， |MF| 5，若以 MF为直径的圆过点 (0, 2)，则 C的方程为 答案： 或 试题分析：依题意可知： ，设 ，根据抛物线定义，因为以 为直径的圆过点 ,所以 ,， ， 又 点在抛物线上， ，联立之，可得 ， 2，或 8，代入
8、抛物线方程，可得所求抛物线方程为： 或 . 考点： 1、圆的几何性质； 2、抛物线的方程及简单几何性质 . 已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，点 在双曲线的右支上，且 ，则 答案： 试题分析：设 ， ，由双曲线定义可得，在 中， =， = . 考点： 1、双曲线的标准方程； 2、余弦定理 . 过点 作斜率为 1 的直线 l，交抛物线 于 A、 B两点，则 |AB| 答案： 试题分析：直线 的方程为： ，和抛物线方程 联立 ,消去 可得 :，设点 ，由弦长公式：. 考点： 1、直线的方程； 2、弦长公式 . 过点 作一直线与椭圆 相交于 A、 B两点，若 点恰好为弦的中点，则 所在直线的方程
9、为 答案： 试题分析：设 ，分别代入椭圆 的方程中，可得： ，由 - 可得， ，因为点 是弦 的中点， ， = ，又因为直线过点 （ 1,1），所以直线 的方程为 ，即 . 考点： 1、直线和椭圆的位置关系； 2、直线的方程； 3、弦的中点问题 . 解答题 已知 ABC 的两个顶点 A， B 的坐标分别是（ -5， 0），（ 5， 0），且 AC，BC 所在直 线的斜率之积等于 m（ m0），求顶点 C的轨迹 答案：当 时，点 C的轨迹是椭圆 ，或者圆 ，并除去两点 当 时，点 C的轨迹是双曲线，并除去两点 试题分析：该题考察斜率等基础知识，考察学生基本运算能力，设点 ，用斜率公式表示 ， ，
10、然后先根据已知列方程，其次化简，再根据 讨论轨迹类型 (把不满足条件的点去掉，或把遗漏的点补上 ). 试题：设点 C的坐标为 ，由已知，得 直线 AC 的斜率 ， 直线 BC 的斜率 ， 由题意得 ，所以 即 7分 当 时，点 C的轨迹是椭圆 ，或者圆 ，并除去两点 当 时，点 C的轨迹是双曲线，并除去两点 10分 考点： 1、斜率计算公式； 2、曲线方程的求法 . 已知圆 C: 与直线 l： ，且直线 l被圆 C截得的弦长为 （ ）求 的值； （ ）当 时，求过点 (3， 5)且与圆 C相切的直线方程 . 答案：（ ） 或 ；（ ） 试题分析：该题考察学生直线和圆的位置关系、点到直线的距离等
11、基础知识，考察学生数形结合、逻辑思维，基本的运算能力，（ ）直线被圆所截得的弦长的计算一般放在直角三角形中利用勾股定理处理（圆心、弦的端点、弦的中点为顶点），先求圆心 到直线 l： 的直线，然后根据勾股定理列方程可得 或 ；（ ）当 时， ，先设切线方程为：，进而化为一般式方程 ，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，可求得 试题：（ ）由已知可得圆 C的圆心为 ，半径为 2，则圆心到直线的距离为 ， 由勾股定理 ，解得 或 （ ）当 时，圆的方程为 。设切线的方程为 ，由 ，解得 ， 所以所求切线方程为 . 考点： 1、直线和圆的位置关系 ;2、点到直线的距离公式 . 如图，底面为直角梯形的四
12、棱锥 中， AD BC， 平面 ， ， BC 6 （ ）求证： BD 平面 PAC； （ ）求二面角 的余弦值 答案：（ ）详见；（ ） 试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考察线面垂直和二面角的求法，可以用传统几何法，也可以用空间向量法，突出考察空间想象能力和计算能力，（ ）由 平面 ，得到 ，要证明 平面 ，只需证明，在 中， ,在 中，所以 ,又 ,所以 ，可证 平面 ；（ ）用向量法求解，先求出面 和面 的法向量，再利用夹角公式求夹角 . 试题：（ ）方法一：如图，以 A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 2分 ， ， 又 ， 面 6分 方法
13、二：由 平面 ， ，在 中，,在 中， ，所以,又 , ,所以 ，又 , 面 （ ）设平面 的法向量为 ， 设平面 的法向量为 ， 则 8分 解得 令 ，则 10分 二面角 的余弦值为 12分 考点： 1、线面垂直的判定定理； 2、向量法求二面角的大小 . 已知双曲线 (a 0， b 0)的离心率 ，过点 A(0， -b)和 B(a，0)的直线与原点的距离是 （ ）求双曲线的方程及渐近线方程； （ ）若直线 y kx 5 (k0)与双曲线交于不同的两点 C、 D，且两点都在以 A为圆心的同一个圆上，求 k的值 答案：（ ） , ；（ ） 试题分析：本题主要考察双曲线的标准方程、韦达定理等基础知
14、识，考察学生运算能力、综合分析和解决问题的能力 .（ ）离心率为 ， ， ，直线 的方程为 即，利用点到直线的距离公式得到： ，两式联立，可求出 ， 双曲线方程为 ，渐近线方程为：；（ ） 两点在以 为圆心的同一个圆上， 的中垂线过点 ,将直线 与双曲线 联立，消去 ，可得，设 ，中点为 ，则 ，解得 ，并检验是否满足 ( . 试题：（ ）直线 的方程为： 即 又原点 到直线 的距离 由 得 3分 所求双曲线方程为 4分 （注：也可由面积法求得 ） 渐近线方程为： 5分 （ ）方法 1：由（ 1）可知 （ 0， -1），设 ,由 得： 7分 3 3 3 3 ， 整理得： 0， ， ， ， 又由
15、 -10 25-3 0 （ ）， y y2 ， 10分 7， 已知经过点 A（ -4， 0）的动直线 l与抛物线 G： 相交于 B、 C，当直线 l的斜率是 时， （ ）求抛物线 G的方程； （ ）设线段 BC 的垂直平分线在 y轴上的截距为 b，求 b的取值范围 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：该题考察抛物线的方程、韦达定理、直线和抛物线的位置关系、向量等基础知识，考察数形结合、综合分析和解决问题能力、基本运算能力，（ ）求直线 的方程： ，和抛物线 联立，得设 ，代入 向量式 中，得 ，然后联立可得 ， 抛物线方程为 ；（ ）设直线 的方程：， ，线段 的中点 ，将 与联立，
16、可得 ，因为直线与抛物线交与两点 ，所以 ，可得 或 ，再表示中点 ，进而可求线段 的中垂线方程，令 ，可得其在 轴的截距 ，求其值域即可 . 试题： (1)设 ，由已知 k1 时， l方程为 即 x 2y-4 由 得 又 5分 由 p 0得 ，即抛物线方程为： (2)设 l： ， BC 中点坐标为 由 得： x0 2k， y0 k(x0 4) 2k2 4k BC 的中垂线方程为 y 2k2 4k (x 2k) BC 的中垂线在 y轴上的截距为： b 2k2 4k 2 2(k 1)2 对于方程 由 16k2 64k 0得： 或 12分 考点： 1、抛物线的标准方程； 2、韦达定理； 3、直线方
17、程 . 在平面直角坐标系 中，动点 到两点 ， 的距离之和等于 4，设点 的轨迹为曲线 C，直线过点 且与曲线 C交于 A， B两点 （ ）求曲线 C的轨迹方程； （ ）是否存在 AOB面积的最大值，若存在，求出 AOB的面积；若不存在，请说明理由 . 答案：（ ） ；（ ）存在；最大值为 试题分析：该题考察曲线方程的求法、直线和椭圆的位置关系、函数的最大值，考察数形结合、综合分析问题和解决问题的能力 .（ ）由已知曲线 是以为焦点的椭圆，且 ，故曲线 的方程为；（ ）设过点 的直线方程为： ，将它与椭圆：联立，可得 ，设 ，然后根据韦达定理代入，可得关于 的函数，再求其最大值即可 . 试题：（ ）由椭圆定义可知，点 的轨迹 C是以 ， 为焦点，长半轴长为 2的椭圆 故曲线 的方程为 4分 （ ）存在 面积的最大值 . 因为直线过点 ，可设 直线的方程为 或 （舍） 则 整理得 7分 由 设 解得 ， 则 因为 10分 设 ， ， 则 在区间 上为增函数 所以 所以 ，当且仅当 时取等号，即 所以 的最大值为 12分 考点： 1、曲线的方程的求法； 2、直线和椭圆的位置关系； 3、函数的最大值 .
