1、2013-2014学年吉林长春十一中高二上学期期初考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 是假命题，则（ ） A 是真命题， 是假命题 B 、 均为假命题 C 、 至少有一个是假命题 D 、 至少有一个是真命题 答案： C 试题分析：当 、 都是真命题 是真命题，其逆否命题为： 是假命题 、 至少有一个是假命题，可得 C正确 . 考点： 命题真假的判断 . 设正实数 满足 ，则当 取得最大值时，的最大值是（ ） A 0 B 1 CD 3 答案： B 试题分析：正实数 满足 ，则 ，代入，得 ，当且仅当 ，即时取等号，此时 ， 则 ，故选 B. 考点：基本不等式应用 . A、 B是直二面角
2、 的棱 上的两点，分别在 内作垂直于棱 的线段 AC， BD，已知 AB=AC=BD=1，那么 CD的长为（ ） A.1 B.2 C. D. 答案： D 试题分析： 连接， 在 中， ，直二面角中， ，得 ，则 ，于是， ，选 . 考点： 线面垂直性质 . 若直线 被圆 截得的弦长为4，则 的最小值是（ ） A B C 3 D答案： A 试题分析：圆 ，化为标准形式 ，圆心，半径 ，因为直线被圆截得弦长等于直径，所以直线过圆心，所以得 ，即 ， 于是 ，选 A. 考点：直线与圆的位置关系、基本不等式 . 如图， D、 C、 B三点在地面同一直线上， DC= ， 从 C、 D两点测得 A点的仰角
3、分别为 则 A点离地面的高度 AB=（ ） A. B. C. D. 答案： A 试题分析：在 中，由正弦定理得，在 中，选 A. 考点： 正弦定理的应用 . 在各项均为正数的等比数列 中， ，则（ ） A 4 B 6 C 8 D 8- 答案： C 试题分析： ，故，选 C. 考点：等比数列通项性质 . 已知等差数列 的公差 ，前 项和 满足： ，那么数列 中最大的值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设 ，得 ， ，得，所以 ，故 为最大值，选 B. 考点： 等差数列通项公式及前 n项和 . 一名小学生的年龄和身高（单位： cm）的数据如下表： 年龄 6 7 8 9 身高 118
4、126 136 144 由散点图可知，身高 与年龄 之间的线性回归方程为 ，预测该学生 10岁时的身高为（ ） A. 154 B.153 C.152 D.151 答案： B 试题分析： ， ，代入，得 ，所以 ，选 B. 考点： 线性回归方程 . 将一颗骰子抛掷两次分别得到向上的点数 ， ，则直线与圆 相切的概率为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：实验的总结果， 数对共有 36种，直线与圆相切，得，得 ，即 ，则 数对共有 三种，故 ，选 B. 考点： 直线与圆相切条件、古典概率 . 执行如图所示的程序框图， 输出的结果是（ ） A 2 B 4 C 23 D 233 答案： D 试
5、题分析：当 i=1时 , ；当 i=2时 , ；当 i=3时 ,; 当 i=4时 , ，故选 D. 考点： 程序框图应用 . 已知向量 的形状为（ ） A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 答案： D 试题分析： ， ， ，即 与 所成角为锐角，故 为钝角，选 D. 考点： 向量数量积、向量的夹角 . “ ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析： ，则 且 ；反之， 且时， ，故选 B. 考点：充要条件的判断 . 填空题 对于数列 ，若 中最大值 ，则称数列 为数列 的 “凸值数列 ”.如数列 2,1
6、,3,7,5的 “凸值数列 ”为2,2,3,7,7；由此定义，下列说法正确的有 _ 递减数列 的 “凸值数列 ”是常数列； 不存在数列 ，它的 “凸值数列 ”还是 本身； 任意数列 的 “凸值数列 ”是递增数列； “凸值数列 ”为1,3,3,9的所有数列 的个数为 3 答案： 、 试题分析： 递减数列 的 “凸值数列 ”是常数列 ，正确； 因为常数列 的 “凸值数列 ”还是 本身，错误； 任意数列 的 “凸值数列 ”是可能是常数列或者是呈现递增趋势的数列，错误； “凸值数列 ”为 1,3,3,9的所有数列 ，有 1,3,3,9; 1,3,2,9和 1,3,19共 3个，正确 考点： 数列新定义
7、 . 原命题： “设 ”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，真命题的个数是 _ 答案： 试题分析：因为 c=0时，原命题不成立，所以为假命题，可知其逆否命题为假命题；逆命题： “设 ”，因为 ，所以为真命题，可知否命题也是真命题，故真命题个数为 2. 考点： 四种命题的真假判断 . 某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积为 _. 答案： 试题分 析：由三视图知，几何体为四棱台，上底和下底分别是边长为 1和 2的正方形，高为 2，体积可由两个三棱锥的体积差求得，. 考点： 三视图、棱台体积 . 直线 与直线 互相平行，则 =_ 答案： 试题分析：当 时， 与 不平行；当 时，. 考点： 直线
8、平行条件 . 解答题 有 7名奥运会志愿者，其中志愿者 通晓日语， 通晓俄语，通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1名，组成一个小组 （ 1）求 被选中的概率；（ 5 分）；（ 2）求 不全被选中的概率（ 5 分） 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：首先判断出本题属于古典概型问题，利用列举法列出所有基本事件的可能结果，再列出事件 A所包含的结果，利用古典概型公式解。利用列举法求基本事件，要注意按照一定顺序，务必做到不重不漏 . 试题：（ 1）从 7人中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1名，其所有可能结果组成的基本事件空间 , , ， ， ， ， ， ， ， ，由 12各基
9、本事件组成，由于每个基本事件被抽取的机会均等，这些基本事件的发生时等可能的 . 用 表示 “ 被抽中 ”这一事件， 则 , , , ,事件 由 4个基本事件组成， 因而 . （ 5分） （ 2）用 表示 “ 不全被选中 ”这一事件，则其对立事件 表示 “ 全被选中 ”这一事件， 由于 = , , ,事件 由 3各基本事件组成，因而 , 由对立事件的概率公式得 . （ 10分） 考点：古典概型、对立事件概率 . 为了估计某校的某次数学考试情况，现从该校参加考试的 600名学生中随机抽出 60名学生，其成绩（百分制）均在 上，将这些成绩分成六段， ， ，后得到如图所示部分频率分布直方图 （ 1）求
10、抽出的 60名学生中分数在 内的人数；（ 5分） （ 2）若规定成绩不小于 85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校优秀人数（ 5分） 答案： (1)15；（ 2） 135 试题分析：（ 1）先求出成绩在 内的频率，再代入公式求解；（ 2）先估计该校优秀人数为不小于 85分的频率，再乘以总体容量即可。特别的，即阴影部分面积表示频率 . 试题：解：（ 1）在频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率，频率和等于 1，所以成绩在 内的频率为 1-（ 0.005+0.01+0.02+0.035+0.005）10=0.25 所以在 内的人数为 600.25=15（人） .（ 5分） （ 2）估
11、计该校优秀人数为不小于 85分的频率再乘以总体容量 600，即.（ 10分） 考点：统计、频率 . 已知函数 （ 1）求函数 的最小正周期和单调递减区间；（ 6分）； （ 2）在 中， 分别是角 A、 B、 C的对边，若 ,求面积的最大值（ 6分） 答案：（ 1） ， ；（ 2） 试题分析：（ 1）一般的，求三角函数的最值、周期、单调区间、对称性等性质问题，都要将三角函数 化为 形式，再求解；（ 2）由利用三角函数求性质出角 C，再利用余弦定理结合基本不等式，求出ab的最大值，代入面积公式可得 . 试题：（ 1）函数 = = = 所以函数 的最小正周期为 , 由 得 , 即单调递减区间为 ;(
12、6分 ) （ 2）由 得 , 由于 C是 的内角，所以 ，故 , 由余弦定理得 , 所以 （当且仅当 时取等号） 所以 面积的最大值为 , （ 12分） 考点： 1、三角函数及求值； 2、余弦定理 . 如图， AB是圆的直径， PA垂直圆所在的平面， C是圆周上的一点 （ 1）求证：平面 PAC 平面 PBC； (6分 ) （ 2）若 AB 2， AC 1， PA 1，求二面角 C-PB-A的余弦值（ 6分） 答案： (1)答案：见详解；（ 2） 试题分析：（ 1）通过线面垂直即 BC 平面 PAC，可得平面 PAC 平面 PBC；（ 2）建立空间坐标系，求出两平面的法向量求解或利用线面垂直性
13、质，做出二面角平面角，再求解 . 试题： (1)证明 由 AB是圆的直径，得 AC BC， 由 PA 平面 ABC， BC 平面 ABC，得 PA BC. 又 PAAC A， PA 平面 PAC， AC 平面 PAC， 所以 BC 平面 PAC. 因为 BC 平面 PBC， 所以平面 PBC 平面 PAC.（ 5分） (2)解 方法一 过 C作 CM AP，则 CM 平面 ABC. 如图，以点 C为坐标原点，分别以直线 CB、 CA、 CM为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系 因为 AB 2， AC 1，所以 BC . 因为 PA 1，所以 A(0,1,0)， B( ， 0,0)， P(
14、0,1,1) 故 C ( ， 0,0)， C (0,1,1) 设平面 BCP的法向量为 n1 (x， y， z)，则 所以 不妨令 y 1，则 n1 (0,1， -1) 因为 A (0,0,1)， A ( ， -1,0)， 设平面 ABP的法向量为 n2 (x， y， z)， 则 所以 不妨令 x 1，则 n2 (1， ， 0) 于是 cos n1， n2 . 所以由题意可知二面角 C-PB-A的余弦值为 .(10分 ) 方法二 过 C作 CM AB于 M，因为 PA 平面 ABC， CM 平面 ABC， 所以 PA CM，又 PAAB A，故 CM 平面 PAB. 过 M作 MN PB于 N
15、，连接 NC， 由三垂线定理得 CN PB， 所以 CNM为二面角 C-PB-A的平面角 在 Rt ABC中，由 AB 2， AC 1， 得 BC ， CM ， BM ， 在 R t PAB中，由 AB 2， PA 1，得 PB . 因为 Rt BNM Rt BAP， 所以 ，故 MN . 又在 Rt CNM中， CN ，故 cos CNM . 所以二面角 C-PB-A的余弦值为 .（ 10分） 考点： 1、面面垂直； 2、二面角 . 设函数 解不等式 ；（ 4分） 事实上：对于 有 成立，当且仅当 时取等号 .由此结论证明 :.（ 6分） 答案：（ 1） ；（ 2）答案：见详解 试题分析：（ 1）将函数 代入 ，可得指数不等式，利用分解因式法解不等式即可；（ 2）利用 时， ，得 ，将 替换为 ，进行倒数代换即可 . 试题：（ 1）由 ，得 即 ， 所以 ，所以 ; （ 4分） （ 2）由已知当 时， ，而此时 ，所以 , 所以. （ 6分） 考点： 1、不等式解法； 2、不等式证明 .
