1、2013-2014学年四川省成都七中高二上学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列命题正确的是 ( ) A有两个面平行 ,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 . B有两个面平行 ,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 . C有两个面平行 ,其余各面都是四边形 ,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 . D用一个平面去截棱锥 ,底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 . 答案： C 试题分析：有两个面平行 ,其余各面都是四边形的几何体， A错；有两个面平行 , 其余各面都是平行四边形的几何体如图所示， B错；用一个平行于底面的平面去截棱锥 ,底面与截面之间的部分组成的几何
2、体叫棱台， D错；由棱柱的定义，C正确； 考点： 1、棱柱的概念； 2、棱台的概念 . 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E， F，且 EF= ，则下列结论中错误的个数是 ( ) (1) AC BE. (2) 若 P为 AA1上的一点 ,则 P到平面 BEF的距离为 . (3) 三棱锥 A-B EF的体积为定值 . (4) 在空间与 DD1,AC,B1C1都相交的直线有无数条 . (5) 过 CC1的中点与直线 AC1所成角为 40并且与平面 BEF所成角为 50的直线有2条 . A 0 B 1 C 2 D 3 答案： A 试题分析：（ 1）连接
3、 ,由 ，可知 面 ，而面 , ,(1)正确；（ 2）由 面 ，则 点到面的距离等于 到面 的距离 ，（ 2）正确；（ 3）三棱锥中，底面积是定值，高是定值，所以体积是定值，（ 3）正确； (4)在 上任取点 ，过点 和直线 确定面 ，设面 面 = ，则 与直线必有交点 （若 ，则 ,矛盾 ),则直线 就是所画的直线，因为点 的任意性，所以这样的直线有无数条，（ 4）正确；（ 5）设 的中点为 ，过点 与 所成的角是 的直线，是以与 平行的直线为轴的圆锥的母线所在的直线，过点 与面 所成的角是 的直线，是以过点 且与面 垂直的直线为轴的 圆锥的母线，两圆锥交于两条直线，（ 5）正确 . 考点：
4、 1、线面垂直的判定； 2、异面直线所成的角； 3、直线和平面所成的角 . a和 b是两条异面直线 ,下列结论正确的个数是 ( ) (1) 过不在 a、 b上的任一点 ,可作一个平面与 a、 b都平行 . (2) 过不在 a、 b上的任一点 ,可作一条直线与 a、 b都相交 . (3) 过 a可以并且只可以作一个平面与 b平行 . (4) 过不在 a、 b上的任一点 ,可作一条直线与 a、 b都垂直 . A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：（ 1）过点作平面和直线 平行的平面可能正好经过直线 ，（ 1）错；（ 2）过点和直线 确定的平面和 平行时，满足条件的直线不存在，（ 2
5、）错；（ 3）在 上任取一点 ，过点 作 ，过 ， 可确定面 ，则 ，（ 3）正确；（ 4）作面 ，使得 ， ，只需作 ，则，（ 4）正确 . 考点： 1、线面平行的判定； 2、线和线的位置关系； 已知直角三角形 ABC,其三边分为 a、 b、 c(abc).分别以三角形的 a边 ,b边 ,c边所在直线为轴 ,其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体 ,其表面积和体积分别为 S1,S2,S3和 V1,V2,V3.则它们的关系为 ( ) A S1S2S3, V1V2V3 B S1S2S3, V1=V2=V3 C S115 C n=n+1,i=15 D n=n+1,i15 答案： B 试题分析：在
6、程序执行过程中， 依次分别为 ； ； ， ，； ，选 B. 考点：程序框图 . 已知两个平面垂直 ,下列命题 : (1) 一个平面内已知直线必垂直 于另一个平面的任意直线 . (2) 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线 . (3) 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 . (4) 过一个平面内任意一点作交线的垂线 ,则此垂线必垂直于另一个平面 . 其中正确命题的个数是 ( ) A 3 B 2 C 1 D 0 答案： C 试题分析： (1) 当两个平面垂直时，一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面的任意直线，（ 1）错；（ 2）当一个平面内的已知直线垂直于交线时，它必垂
7、直于另一个平面内的任意一条直线；当一个平面内的已知直线不垂直于交线时，它必然垂直于另一个平面内的和交线垂直的无数条直线，（ 2）正确；（ 3）一个平面内的垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，（ 3）错；（ 4）过一个平面内任意一点在已知平面内作交线的垂线 ,则此垂线必垂直于另一个平面，（ 4）错 . 考点：线面垂直的性质定理 . 如图，在正方形 SG1G2G3中， E， F分别是 G1G2及 G2G3的中点， D是 EF的中点，现在沿 SE， SF及 EF把这个正方形折成一个四面体，使 G1， G2， G3三点重合，重合后的点记为 G，则在四面体 S-EFG中必有 ( ) A SG EF G所
8、在平面 B SD EFG所在平面 C GF SEF所在平面 D GD SEF所在平面 答案： A 试题分析：由已知 且 ， 面 ， A正确；若 面 ，则 ，由（ 1）知 ，在 中，这是不可能的， B错；若 面 ，则 ,由（ 1）知， ，在中是不可能的， C错；若 面 ，则 ，由（ 1）知，在 中，这是不可能的， D错 . 考点：线面垂直的判定定理和性质定理 . 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由三视图可知，该几何体是半个圆锥，且母线为 2，底面圆的半径为 1，则该几何体的表面积为 . 考点： 1、三视图； 2、几
9、何体的表面积 . 若直线 a不平行于平面 ,则下列结论成立的是 ( ) A内的所有直线都与直线 a异面 B内不存在与 a平行的直线 C 内的直线都与 a相交 D直线 a与平面 有公共点 答案： D 试题分析：直线 不平行于 ，包括两种情况： 或 ，当 时，内的所有直线都与直线 共面， A错；当 时， 内必然有直线与直线平行， B错；从而 C也错；当 ，直线和平面有无数个公共点，当，直线 与平面 有唯一公共点， D正确 . 考点：直线和平面的位置关系 . 下列命题中正确的个数是 ( ) (1) 角的水平放置的直观图一定是角 . (2) 相等的角在直观图中仍然相等 . (3) 相等的线段在直观图中
10、仍然相等 . (4) 若两条线段平行 ,则在直观图中对应的两条线段仍然平行 . A 1 B 2 C 3 D 4 答案： B 试题分析：水平放置的平面图形不会改变形状，（ 1）正确；利用斜二测画法画直观图， 或 ，所以直角可以变为 或者 ，（ 2）错；因为平行于 轴的线段长度不变，平行于 轴的长度变为原来的一半，所以（ 3）错；平行性不会改变，所以（ 4）正确 . 考点：斜二测画法 . 填空题 下面是空间线面位置关系中传递性的部分相关命题： 与两条平行线中一条平行的平面必与另一条直线平行； 与两条平行线中一条垂直的平面 必与另一条直线垂直； 与两条垂直直线中一条平行的平面必与另一条直线垂直； 与
11、两条垂直直线中一条垂直的平面必与另一条直线平行； 与两个平行平面中一个平行的直线必与另一个平面平行； 与两个平行平面中一个垂直的直线必与另一个平面垂直； 与两个垂直平面中一个平行的直线必与另一个平面垂直； 与两个垂直平面中一个垂直的直线必与另一个平面平行 . 其中正确的命题个数有 _个 . 答案： 试题分析： 另一条直线可能在平面内， 错； 线面垂直的性质， 正确； 与另一条直线可平行可相交， 错； 另一条直线可能在平面内， 错； 直线可能在另一个平面内， 错； 面面平行的性质， 正确； 直线与另一个平面的位置关系不确定， 错； 直线可能在 另一个平面内， 错 . 考点：空间直线和平面的位置关
12、系 . 已知圆台的上底半径为 2cm,下底半径为 4cm，圆台的高为 cm,则侧面展开图所在扇形的圆心角 =_. 答案： 试题分析：因为圆台的上底半径为 2cm,下底半径为 4cm，圆台的高为 cm，所以圆台的母线长为 3cm； 设侧面展开图所在扇形的圆心角为 ，则 ， = . 考点：圆台的侧面展开图 . 已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为 2,这个球的表面积为 12,则这个正四棱柱的体积为 . 答案： 试题分析：设球半径为 ，正四棱柱底面边长为 ， ，所以体对角线长为 ， ， 体积为 8. 考点： 1、球的表面积； 2、球的内接正四棱柱的体积 . 如图 ,正方体 ABCD A1B1C1
13、D1的棱长为 4,M为 BD1的中点 ,N在 A1C1上 ,且|A1N|=3|NC1|,则 MN的长为 . 答案： 试题分析：取 的中点 ，连接 ，则 面 ,所以 ，在 中， . 考点： 1、线面垂直的性质； 2、勾股定理 . 解答题 (1)如图 ,ABC在平面外 ,AB=P,BC=Q,AC=R,求证 :P,Q,R三点共线 . (2)如图 ,空间四边形 ABCD中 ,E,F分别是 AB和 CB上的点 ,G,H分别是 CD和AD上的点 , 且 EH与 FG相交于点 K. 求证 :EH,BD,FG三条直线相交于同一点 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）由公理 可知，两个平
14、面只要有一个公共点，则它们就有无数个公共点，且这些公共点共线，所以要证明三点共线，只需证明这三个点同时是两个平面的公共点；（ 2）要证明三条直线交于一点，只需证明其中的两条直线交于一点，再证明第三条直线也过交点，而证明点在一条直线上，只要说明直线是两个平面的交线，点是两个平面的公共点即可 . 试题： (1) , 面 面 ,且 面 ，同理可证：面 , 面 ； 面 ， 面 ， 三点共线 . (2) 面 , 面 , 面 , 面 ,又面 面 = , 三条直线交于一点 . 考点：平面的基本性质 . 如图，四边形 ABCD为正方形， PD 平面 ABCD， PD QA， QA AB2(1)PD. (1)证
15、明：平面 PQC 平面 DCQ； (2)求二面角 DPQC 的余弦值 . 答案： (1)详见；（ 2） 试题分析：（ 1）要证明两个平面垂直，一种方法是只需在一个平面内找另一个平面的一条垂线：另一种方法是可利用若 ，则 ，由题可知面 ，则 ，再证明 ,则 面 ，从而平面 平面 ；（ 2）求二面角大小，可建立适当的空间直角坐标系（需在图中找两两相交且垂直的三条直线，先求两个半平面的法向量的夹角，从而可确定二面角的大小 . 试题： (1) 面 ， ，又 ,所以面 ， ，在直角梯形 中，设 ，则，所以 ，又 ,所以 面，又 面 ， 平面 平面 ； （ 2）法一）由（ 1）知 两两垂直，故以 为坐标原
16、点，的方向分别为 轴，建立空间直角坐标系 设 ，则 ,设面 的法向量 ，则则 ，令 ， ，面 的法向量，设 的夹角为 ，所以 ，所以二面角 的余弦值为 . 法二）由（ 1）知 面 ， 就是二面角 的平面角，在 中 ，所以 . 考点： 1、面面垂直的判定； 2、二面角的求法 . 如图，直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD为平行四边形，其中 AB， BD BC 1， AA1 2， E为 DC的中点， F是棱 DD1上的动点 (1)求异面直线 AD1与 BE所成角的正切值； (2)当 DF为何值时， EF与 BC1所成的角为 90？ 答案： (1)3；（ 2） 试题分析：（ 1）求异
17、面直线所成的角，应该先找后求，异面直线所成的角是指将两条异面直线经过平行移动后，移到相交位置时，所成的锐角或直角，故平移直线是找异面直线所成角的关键，通常平移办法有中位线平移、平行四边形平移、比例线段平移，找到所求的角后，然后借助平面图形去求；（ 2）直线和直线 垂直，通常采取的办法是，先证明线面垂直，进而证明线线 垂直，而证明线面垂直，又需要两个线线垂直关系，所以需从图里尽可能挖掘隐藏的垂直关系 . 试题： (1)连接 1.在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， , , 四边形 是平行四边形，所以 , 就是异面直线AD1与 BE所成角或者是其补角，因为 是边 的中点，所以,又在直四棱柱
18、ABCD-A1B1C1D1中， , 面 ,所以 ,在 Rt BEC1中， BE ， EC1 ，所以 tan EBC1 =3； （ 2）当 DF 时， EF与 BC1所成的角为 9 0，由 (1)知， 面 ， , 当 时， 面 ，从而 ，在矩形中，又 DE EC ， CC1 AA1 2. 当 DF= 时，因为 ， , 所以 DEF CC1E，所以 DEF CEC1 90， 所以 FEC1 90，即 FE EC1.又 EBEC1 E，所以 EF 平面 BEC1， 所以 EF BC1，即 EF与 BC1所成的角等于 90. 考点： 1、异面直线所成的角； 2、直线和平面垂直 . 如图 ,在斜三棱柱
19、ABC-A1B1C1中 ,侧面 AA1B1B 底面 ABC,侧棱 AA1与底面ABC成 60的 角 ,AA1=2.底面 ABC是边长为 2的正三角形 ,其重心为 G点 ,E是线段 BC1上一点 ,且 BE=3(1)BC1. (1)求证 :GE 侧面 AA1B1B; (2)求平面 B1GE与底面 ABC所成锐二面角的正切值 ; (3)求点 B到平面 B1GE的距离 . 答案：（ 1）详见；（ 2） ；（ 3） 试题分析：（ 1）证明直线和平面平行的方法一般有两种，其一是利用线面平行的判定定理，在平面内找一条直线和平面外的直线平行，其二是利用面面平行的性质定理，先证明面面平行，其次说明线和面平行，
20、延长 交 于点 ，则 是中点，所以 三点共线，根据线段成比例，可证明 ，从而可证明 GE 侧面 AA1B1B；（ 2）以 为坐标原点， 的方向为轴，建立坐标系，再求半平面的法向量，再求其夹角，进而可得二面角的余弦值，再转换为正切值；（ 3）点到面的距离是点到平面垂线段的长度，如果垂足不好确定，可考虑 等体积转换，点 到面 的距离就是点 到面的距离，设为 ，利用 ，可求 . 试题： (1)延长 B1E交 BC于点 F, FEB,BE= EC1, BF= B1C1=BC, 从而点 F为 BC的中点， G为 ABC的重心 , A、 G、 F三点共线 .且, 又 GE 侧面 AA1B1B, GE/侧面
21、 AA1B1B； （ 2）取 中点 ，则 面 ，以 为坐标原点， 的方向为轴，建立坐标系，则 , , , , , . G为 ABC的重心 , . , , 设平面 B1GE的法向量为 ,则由 得 可取 又底面 ABC的一个法向量为， 设平面 B1GE与底面 ABC所成锐二面角的大小为 ,则，由于 为锐角 ,所以 ,进而 ， 故平面 B1GE与底面 ABC成锐二面角的正切值为 ； （ 3）由题意点 到面 的距离就是点 到面 的距离，设为 ，易求得 , ,又 ， ， ， 考点： 1、直线和平面平行的判定； 2、二面角的求法； 3、点到面的距离 . 如图所示，在三棱锥 ABCD 中，侧面 ABD、 A
22、CD 是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且 AD ， BD CD 1，另一个侧面 ABC是正三角形 . (1)当正视图方向与向量 的方向相同时，画出三棱锥 ABCD 的三视图 ;(要求标出尺寸 ) (2)求二面角 BACD 的余弦值 ; (3)在线段 AC上是否存在一点 E，使 ED与平面 BCD成 30角？ 若存在，确定点 E的位置；若不存在，说明理由 . 答案：（ 1）详见；（ 2） ；（ 3）存在且 试题分析： (1)画三视图时要注意：正视图看到的是几何体的长和高，侧视图看到的是几何体的宽和高，俯视图看到的是几何体的长和宽 ,同时要想象自己身处教室，前面、右面、地面有墙，将几何体正投
23、影到这三个方向；（ 2）建立适当的空间直角坐标系，需选择两两垂直的三条直线， 然后把涉及到的点用坐标表示，如图所示建立坐标系，则 ，求出面 和面 的法向量，然后求法向量的夹角，进而求出二面角的余弦值；（ 3）利用空间直角坐标系求直线和平面所成的角，先求平面的法向量和直线方向向量夹角的余弦值，即直线和平面所成角的正弦值，该题利用三点共线，可设出点，然后计算 和平面 法向量，根据它们夹角余弦值等于列式，求 . 试题： (1) 三棱锥 ABCD 的三视图如右图所示： (2)以 为坐标原点，分别以 和过点 垂直于面 的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 设平面ABC的法向量为 ，则 且 ， ，令 则 ，则 ，同理，可求得平面 ACD的一个法向量为 ，所以 =.所以二面角 BACD 的余弦值 ； （ 3）设 ，由 ，得 ，面 的一个法向量， ，所以 ，解得，所以存在 ，即 时， ED与平面 BCD成 30角 . 考点： 1、三视图； 2、二面角的求法； 3、直线和平面所成的角 .
