1、2013-2014学年安徽池州第一中学高二上学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知点 B是点 A（ 3， 4， -2）在 平面上的射影，则等于 ( ) A B C 5 D 答案： C 试题分析：因为点 B是点 A（ 3， 4， -2）在 平面上的射影，所以点 ,由此 ,所以 ,故选 C 考点：本题考查的知识点是四种命题的关系，及其真假性的关系，正确把握四种命题真假性的关系以及判断命题的真假性是解题的关键 椭圆 的左、右焦点分别为 ，弦 AB过 ，若 的内切圆周长为 ， A,B两点的坐标分别为 和 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由椭圆的标准方程可得：
2、，因为 的内切圆周长为 ，所以 的内切圆的半径为 ,则根据三角形内切圆半径 和周长与三角形的面积 的关系有 ,所以 的面积为 ，而的面积又等于 和 之和，即 ，所以 ，则 ，故选 D 考点：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，椭圆的简单性质，三角形内切圆性质，本题的关键是求出 ABF2的面积 ,并考查了数形结合的思想方法 抛物线 上到直线 的距离最近的点的坐标（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设 为抛物线上任一点，则 到直线的距离 ，因为 ，所以 ，则当 时， 取得最小值，最小值为 ，此时 故选 B 考点：本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线的距离公式考查了学生数形结合的数
3、学思想和基本的运算能力 已知 是椭圆的两个焦点，过 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若 为正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 为等边三角形可知，在直角三角形 中，,且 ，又由椭圆的定义可知， ，所以 ，而 ，所以 则其离心率 ，故选 A 考点：本题考查的主要知识点是椭圆的定义的应用，离心率的定义，以及椭圆的几何性质的应用 正方体 ABCDA 1B1C1D1中直线 与平面 夹角的余弦值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：以 D点为原点，以 所在的直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1，则 ，平面 的一个法向
4、量为,设直线 与平面 夹角为 ，则 =,所以 考点：本题考查的知识点是空间向量在立体几何中的应用，要求熟练掌握利用向量方法来求空间中线面所成角的方法 方程 表示的曲线是（ ） A焦点在 轴上的椭圆 B焦点在 轴上的双曲线 C焦点在 轴上的椭圆 D焦点在 轴上的双曲线 答案： D 试题分析：因为 ,所以 ，由此可知方程表示焦点在 轴上的双曲线 考点：本题考查的知识点是三角函数值符号的判断和圆锥曲线的标准方程，正确判断方程中两个分母的正负是解题的关键 已知空间四边形 ，其对角线为 ， 分别是边 的中点，点 在线段 上，且使 ，用向量 表示向量 是 （ ） A B C D 答案： A 以双曲线 的焦
5、点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由双曲线的方程可知，其焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，所以所求椭圆的顶点为 ，焦点坐标为 ， ， ，所以，其标准方程为 ，故选 D 考点：本题考查的知识点是椭圆与双曲线的标准方程，以及几何性质，解题时要注意区分双曲线和椭圆的基本性质 已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴上，抛物线上的点到焦点的距离为 4，则的值为 ( ) A 4 B -2 C 4或 -4 D 12或 -2 答案： C 试题分析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点 到焦点的距离等于它到其准线的距离，则 ， ，又因为点 在 轴下方，可知抛物线的开口向下，其方
6、程为 ，将 代入可得 或 考点：本题考查的重点是抛物线的标准方程，解题的关键是利用抛物线的定义合理转化 给出如下四个命题： 若 “”为假命题，则均为假命题； 命题 “若 ,则 ”的否命题为 “若 ,则 ”； 命题 “任意 ”的否定是 “存在 ”； 在中， “ ”是 “ ”的充要条件 . 其中不正确命题的个数是 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 答案： D 试题分析：对于 ，两个命题中只要有一个是假命题，则 “”即为假命题，所以 错误；对于命题 “若 ”，则 ，其否命题为 “若 ，则 ，所以 正确；全称命题的否定为特称命题，所以 正确；若 A B，当 A不超过 90时，显然可得出 sinA
7、 sinB，当 A是钝角时，由于 ，可得 sin（ -A） =sinA sinB，即 A B 是 sinA sinB 的充分条件，当 sinA sinB 时，亦可得 A B，由此知 A B的充要条件为 sinA sinB，所以 正确，综上不正确命题的个数为 1 考点：本题的考点是命题的真假判断与应用，命题之间的关系，并考查了充要条件的判断 填空题 将边长为 2，锐角为的菱形沿较短对角线折成二面角，点分别为的中点，给出下列四个命题： ； 与异面直线、都垂直； 当二面角是直二面角时， =； 垂直于截面 . 其中正确的是 （将正确命题的序号全填上） . 答案： 试题分析：如图：由题意得， EF 与
8、AB是异面直线，故 不正确 由等腰三角形中线性质得 ,所以 ,又, 所以 ,在等腰三角形 AFC 中， EF AC 即直线 EF 是异面直线 AC 与 BD的公垂线，故 正确 当二面角 ABDC是直二面角时，则 CFA=90， 由于 FA=FC= ，且 AC= ， EF 是等腰三角形 FAC 的底边上的中线， EF AC， EF= = 当二面角 ABDC是直二面角时，即 AC 与 BD间的距离为 ，故 正确 由 DB 面 ACF 得， DB AC，又 EF AC， AC 面 EBD，故 正确 故答案：为 考点：本题考查棱锥的结构特征，注意在翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化；位于折
9、线同侧的元素关系不变，位于折线两侧的元素关系会发生变化 在平面直角坐标系中，设 A（ -2， 3）， B（ 3， -2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时则的大小为 答案： 试题分析 ：作 轴，垂足为点 ,作 轴，垂足为点 ,再作 , 连接 , 而 轴， 轴，, 就是二面角的平面角，而 ，所以 为直角三角形， ,所以 , ,由余弦定理可得， , 考点：本题主要考查了空间中二面角的平面角求解方法，数形结合的思想方法，同时考查了余弦定理的应用，找到二面角的平面角是解决此类题的关键 已知双曲线的焦点在 轴上，离心率为 2， 为左、右焦点， P为双曲线上一点，且 ， ，则双曲线的标准方程为
10、_ 答案： 试题分析：设双曲线的方程为 ，由双曲线的离心率 ，可得 ，因为 是双曲线上的一点，不妨设 在双曲线的右支上，则 ， ，由余弦定理得，可化为 ，因为，所以 ； ，则 ， ，此时双曲线的标准方程为 考点：本题主要考查双曲线、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力 已知平行六面体中， 则 答案： 试题分析：因为在平行六面体中， ，所以,则 考点：本题考查的知识点是点、线、面间的距离计算，考查空间两点之间的距离运算，根据已知条件，构造向量，将空间两点之间的距离转化为向量模的运算，是解答本题的关键 设满足约束条件：；则的取值范围
11、为 答案： 试题分析： 满足的约束条件表示的平面区域如下图阴影部分所示 : 目标函数可化为 ，作出直线 ，将其平移，由上图可知，当把直线平移到经过点 时，可使 取得最小值可解得 点的坐标为 ，此时 取得最小值，最小值为 ；当把直线平移到经过点 时，可使 取得最大值可解得 点的坐标为 ，此时 取得最大值，最大值 为 ，所以目标函数 的取值范围是 考点：本题主要考查了简单的线性规划问题，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题 解答题 已知命题 ：方程 无实根，命题 ：方程是焦点在 轴上的椭圆若 与 同时为假命题，求 的取值范围 答案： 试题分析：对于命题 ,方程 无实
12、根 ,等价于 ，对于命题，方程 是焦点在 轴上的椭圆，等价于 ，因为 与同时为假命题，所以 为真命题， 为假命题，从而得到 的取值范围 试题 :因为 与 同时为假命题，所以 为真命题， 为假命题由命题 ,方程 无实根是真命题，则 ，即 ，解得；由命题 ，方程 是焦点在 轴上的椭圆为假命题，则，即 ，综上所述， 的取值范围是 考点：本题考查了圆锥曲线的标准方程的掌握 ,以及对于复合命题真假性关系的判断 . 如图在棱长为 1的正方体 中， M,N 分别是线段 和 BD上的点，且 AM=BN= （ 1）求 | |的最小值； （ 2）当 | |达到最小值时， 与 ， 是否都垂直，如果都垂直给出证明；如
13、果不是都垂直，说明理由 答案： (1) ；（ 2）垂直，详见 试题分析： (1)作 ，连 .易知 ,再由余弦定理可得： ，则 ，根据二次函数的知识即可得到其最小值；建立空间直角坐标系，利用空间向量方法，写出， ， 的坐标，利用数量积即可求证它们是否垂直 试题：（ 1）作 ，连 .易知 在 ，由余弦定理可得： 在 ， 。当 时， 最小值 = (2)以点 为坐标原点 ,以 所在的直线分别为 轴建立直角坐标系 ,由 (1)可知 , ,所以点 , , , , , 则 , , , , 即当 | |达到最小值时， 与 ， 是否都垂直 . 考点：本题主要考查了立体几何中的向量方法，以及运算能力和推理论证能力
14、，属于基础题 . 已知数列 的前 项的和为 ， ，求证：数列 为等差数列的充要条件是 答案：详见 试题分析：从两个方面来证明此题：若数列 为等差数列，则其前 项和是关于 的二次函数，且常数项为 ,即 ；若 的前 项和中 ，可根据其前 项和 求出通项公式，从而可以证明其为等差数列 试题：证：若数列 为等差数列，则其前 项和， 是关于 的二次函数，且常数项为 ，而 的前 项和 ，所以 ； 反过来，当数列 的前 项和 中 ，则 ，当时， ， 时， ，因为 也符合，所以数列 的通项公式为 ， ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列 综上所述，数列 为等差数列的充要条件是 考点：本题主要考查了等差
15、数列的前 项和公式以及充分必要条件的关系 矩形 的中心在坐标原点，边 与 轴平行， =8， =6.分别是矩形四条边的中点， 是线段 的四等分点 , 是线段 的四等分点 .设直线 与 , 与 , 与 的交点依次为. （ 1）以 为长轴，以 为短轴的椭圆 Q 的方程； （ 2）根据条件可判定点 都在（ 1）中的椭圆 Q 上，请以点 L为例，给出证明（即证明点 L在椭圆 Q 上） . （ 3）设线段 的 （ 等分点从左向右依次为 ，线段 的 等分点从上向下依次为 ，那么直线与哪条直线的交点一定在椭圆 Q 上？（写出结果即可，此问不要求证明） 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3） 试题分析：根据长
16、轴长 ,短轴长 ,可求出椭圆的方程；根据点 的坐标可写出直线 的方程，同理也可写出直线 的方程，再求出它们的交点 的坐标，验证 在椭圆上即可得证；类比（ 2）的结论，即可得到直线 与直线 的交点一定在椭圆 Q 上 试题： 根据题意可知，椭圆的焦点在 轴上，可设其标准方程为 ， 因为长轴长 ,短轴长 ，所以 ， 所以所求的椭圆的标准方程为： 由题意知， 可得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ， 联立可解得其交点 ，将 的坐标代入椭圆方程 成立，即点 在椭圆上得证 另法：设直线 、 交点 ， 由 三点共线得： 由 三点共线得： 相乘，整理可得 ，即 所以 L在椭圆上 （ 3）类比（ 2）的结论，即
17、可得到直线 与直线的交点一定在椭圆 Q 上 考点：本题考查了直线的方程，椭圆的方程的求解方法，以及直线与圆锥曲线的位置关系 如图，四面体 中， 、 分别是 、 的中点，（ ）求证： 平面 ； （ ）求二面角 的正切值； （ ）求点 到平面 的距离 答案：（ ）详见；（ ） ；（ ） 试题分析：（ 1）由题意可知， 为等腰三角形， 是 边上的中线，所以 ，再由已知条件算出 的三条边长，由此根据勾股定理，可证 ,从而得证 平面 ；（ 2）作 于 F，连 AF，由（ 1）知， 故 ，所以 ,则 是二面角的平面角，利用平面几何知识即可算出其正切值；（ 3）设点 E到平面 ACD的距离为 因为 ,所以
18、,从而求出也可以点 为原点，建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，利用利用空间向量方法，求解各个小题，详见 试题：（ ）证明：连结 OC 在 中，由已知可得 而 即 平面 （ ）解： 作 于 F，连 AF 由（ 1）知， 故 , 是二面角 的平面角， 易知 , . 即所求二面角 的正切值为 （ ）解：设点 E到平面 ACD的距离为 在 中， 而 点 E到平面 ACD的距离为 方法二：（ ）同方法一 . （ ）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 （ ）解：设平面 ACD的法向量为 则 令 得 是平面 ACD的一个法向量，又 点 E到平面 ACD的距离 考点：本题考查的知识点是空间直线
19、与平面垂直的判定，空间点到平面的距离，二面角的平面角，其中（ I）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的转化，（ II）（ III）的关键是建立空间坐标系，利用向量法解决空间距离和夹角问题 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左焦点为，且椭圆 的离心率 . (1)求椭圆 的方程； (2)设椭圆 的上下顶点分别为 , 是椭圆 上异于 的任一点 ,直线分别交 轴于点 ,证明 : 为定值 ,并求出该定值； (3)在椭圆 上，是否存在点 ，使得直线 与圆相交于不同的两点 ，且 的面积最大？若存在，求出点 的坐标及对应的 的面积；若不存在，请说明理由 . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）存在点
20、 满足题意，点 的坐标为 ， 的面积为 试题分析：（ 1）由题目给出的条件直接列关于 的方程组求解 的值，则椭圆方程可求；（ 2）由椭圆方程求出椭圆上下顶点的坐标，设出椭圆上的动点 ，由直线方程的两点式写出直线 的方程，取 后得到 和的长度，结合点 在椭圆上整体化简运算可证出 为定值；（ 3）假设存在点 ，使得直线 与圆 ，相交于不同的两点，且 的面积最大，由点 在椭圆上得到关于 和 的关系式 ，由点到直线的距离公式求出原点 到直线的距离，由圆中的半径，半弦长和弦心距之间的关系求出弦长，写出 的面积后利用基本不等式求面积的最大值，利用不等式中等号成立的条件得到关于 和 的另一关系式，联立后可求
21、解的坐标 试题： （ 1）由题意： ，解得： 所以椭圆 (2) 由（ 1）可知 ,设 , 直线 : ,令 ,得 ; 直线 : ,令 ,得 ; 则 , 而 ,所以 , 所以 (3)假设存在点 满足题意，则 ，即 设圆心到直线 的距离为 ，则 ，且 所以 所以 因为 ，所以 ，所以 所以 当且仅当 ，即 时， 取得最大值 由 ，解得 所以存在点 满足题意，点 的坐标为 此时 的面积为 考点：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线和圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法
