1、2013-2014学年山东省滨州市高一下学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 若实数 a， b， c， d满足 a b， c d，则下列不等式成立的是（ ） . A ac bd B a+c b+d C ac bd D 答案： B 试题分析 :选项 A:当 ，则 ，故 A错误； 选项 B： , ，故 B正确； 选项 C:当 ，则 ，故 C错误选项 D:当 ，则 ，故 D错误 ;故选 B. 考点：不等式的性质 . 已知 Sn是数列 an的前 n项和，若 ，则 = _ 答案： . 试题分析 :由题意得 . 考点：数列的通项公式 与 的关系 . 已知 x 0， y 0，且 是 3x与 33y的
2、等比中项，则 + 的最小值是（ ） A 2 B 2 C 4 D 2 答案： C 试题分析 :由题意，得 ，即 ； （当且仅当且 ，即 时取等号） . 考点：基本不等式 . 如图，在三棱锥 SABC 中，底面是边长为 1 的等边三角形，侧棱长均为 2，SO 底面 ABC， O 为垂足，则侧棱 SA 与底面 ABC 所成角的余弦值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析 :由题意得， SO 底面 ABC， O 为垂足，则侧棱 SA与底面 ABC所成角即 ;该三棱锥是正三棱锥， 在底面上的射影 是 的中心 ,也是重心，由重心定理得 ,又因为 ,所以 ,即侧棱 SA与底面 ABC所成角的余弦值为
3、 . 考点：直线与平面所成的角 . 设甲、乙两楼相距 20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲、乙两楼的高分别是（ ） A B C D 答案： A 试题分析 :由图可知，在 中， ,则 ；在中， ,则 ， ；即甲、乙两楼的高分别是 . 考点：解直角三角形 . 把边长为 1的正方形 ABCD沿对角线 BD折起，形成的三棱锥 CABD的主视图与俯视图如图所示，则左视图的面积为（ ） A B C D 答案： D 试题分析 :由三视图可知， ，即 . ,则该三棱锥的左视图是一个等腰直角三角形，且 ,其面积为 . 考点：空间几何体的三视图 . 不等式 x（ 2x） 0
4、的解集为（ ） A x|0x2 B x|x0，或x2 C x|x2 D x|x0 答案： B 试题分析 : ， ， ；即不等式 的解集为 . 考点：解不等式 . 圆 x2+y2=1和圆 x2+y26y+5=0的位置关系是（ ） . A外切 B内切 C外离 D内含 答案： A 试题分析 :圆 x2+y2=1的圆心为 ,半径 ；圆 x2+y26y+5=0，即的圆心 ,半径 ；两圆的圆心距 ，所以两圆外切 . 考点：两圆的位置关系 . 在等差数列 an中，若 a3+a7=10，则等差数列 an的前 9项和 S9等于（ ） . A 45 B 48 C 54 D 108 答案： A 试题分析 : . 考
5、点：等差数列的性质与前 项和公式 . 正方体 ABCDA1B1C1D1中 AB的中点为 M， DD1的中点为 N，则异面直线B1M与 CN所成的角是（ ） . A 0 B 45 C 60 D 90 答案： D 试题分析 :取 的中点 ,连接 .易知 ,所以四边形是平行四边形，则 ,所以 所成的角是异面直线 B1M与 CN所成的角或其补角； , , 即 ,所以异面直线 B1M与 CN所成的角是 . 考点：异面直线所成的角 . 已知直线 ax+2y+2=0与 3xy2=0平行，则系数 a=（ ） . A 3 B 6 C D 答案： B 试题分析 : 可化为 ，其斜率 ； 可化为 ，其斜率 ；因为直
6、线 ax+2y+2=0与 3xy2=0平行，所以，即 ，解得 . 考点：两条直线平行的判定 . 填空题 如图，在四棱锥 SABCD中，底面是边长为 1的正方形， SD 底面 ABCD，且 SD= ，则平面 BSC与底面 ABCD所成锐二面角的大小为 _ 答案： . 试题分析 : ;因为底面是边长为 1的正方形 ,所以;又因为 所以 是平面 BSC 与底面ABCD所成二面角的平面角；在 中， ,则 ,即平面 BSC与底面 ABCD所成锐二面角的大小为 . 考点：二面角 . 若实数 x， y满足不等式组 ，则 z=2x4y的最小值是 _ 答案： -26. 试题分析 :作出可行域与目标函数基准直线
7、（如图） ,将目标函数化成，当直线向左上方平移时，直线在 轴上的截距 变大，即 变小，当直线经过点 时， 求得最小值；易知 ,即 . 考点：简单的线性规划 . 已知数列 an的通项公式 an= ，若前 n项和为 6，则 n= _ 答案： 试题分析 : ， ； 令 ，解得 . 考点：数列的前 项和 . ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，其中 a=4， b=4 ， A=30， B= _ 答案： . 试题分析 :由正弦定理得 ,解得 ;又因为 ，所以,则 . 考点：正弦定理 . 解答题 已知三角形的三个顶点是 A（ 4， 0）， B（ 6， 6）， C（ 0， 2） （ 1
8、）求 AB边上的高所在直线的方程； （ 2）求 AC 边上的中线所在直线的方程 答案： (1)x+3y6=0;(2)5x4y5=0. 试题分析： 解题思路： (1)因为 AB边上的高所在直线经过点 C（ 0， 2），且与 AB垂直，所以先求出 AB的斜率，再根据垂直求出 CD的斜率，然后写出直线的点斜式方程，化成一般式即可；（ 2）因为 AC 边上的中线所在直 线经过点 B与 CD 的中点，所以先求出 CD的中点坐标，写出直线的两点式方程，化成一般式即可 . 规律总结：求直线方程，要根据题意恰当地设出直线方程的形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再利用直线间的位置关系（平行、垂直、
9、相交）进行求解 . 试题：（ 1） A（ 4， 0）， B（ 6， 6）， C（ 0， 2）， =3， AB边上的高所在直线的斜率 k= ， AB边上的高所在直线的方程为 y2= ，整理，得 x+3y6=0 （ 2） AC 边的中点为（ 2， 1）， AC 边上的中线所在的直线方程为 ， 整理，得 5x4y5=0. 考点： 1.直线方程； 2.中点坐标公式； 3.两直线间的位置关系 . 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 b=3， c=8，角 A为锐角， ABC的面积为 6 （ 1）求角 A的大小； （ 2）求 a的值 答案：（ 1） ；（ 2） 7. 试题分
10、析： 解题思路：（ 1）先利用 求得 ，再结合角 的范围求 ;(2)利用余弦定理直接求边 . 规律总结：解三角形问题，主要涉及三角关系、三边关系、边角关系和面积；所用知识主要有正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等 . 试题：（ 1） S ABC= bcsinA= 38sinA=6 ， sinA= ， A为锐角， A= （ 2）由余弦定理知 a= = =7. 考点： 1.三角形的面积公式； 2.余弦定理 . 已知以点 C（ 1， 2）为圆心的圆与直线 x+y1=0相切 （ 1）求圆 C的标准方程； （ 2）求过圆内一点 P（ 2， ）的最短弦所在直线的方程 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题
11、分析： 解题思路：（ 1）因为圆与直线 x+y1=0相切，所以利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离即为圆的半径，写出圆的标准方程即可；（ 2）先判定过P点的最短弦所在直线 与过 P点的直径垂直，再进行求解 . 规律总结：直线圆的位置关系，主要涉及直线与圆相切、相交、相离，在解决直线圆的位置关系时，要注意结合初中平面几何中的直线与圆的知识 . 试题：（ 1）圆的半径 r= = ，所以圆的方程为（ x1） 2+（ y+2） 2=2 圆的圆心坐标为 C（ 1， 2），则过 P点的直径所在直线的斜率为 ， 由于过 P点的最短弦所在直线与过 P点的直径垂直， 过 P点的最短弦所在直线的斜率为 2，
12、 过 P点的最短弦所在直线的方程 y+ =2（ x2），即 4x2y13=0. 考点： 1.圆的标准方程； 2.直线与圆的位置关系 . 某企业要建造一个容积为 18m3，深为 2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为 200元和 150元，怎样设计该水池可使得能总造价最低？最低总造价为多少？ 答案：将水池的地面设计成边长为 3m的正方形时总造价最低，最低总造价为 5400元 . 试题分析： 解题思路：设出未知量，根据容积为 18，得出未知量间的关系，列出函数表达式，利用基本不等式进行求最值 . 规律总结：解决数学应用题的步骤： 审题，设出有关量，注明自变量的取值范围； 列出
13、函数表达式； 求函数的最值； 作答 . 试题： 设底面的长为 xm，宽为 ym，水池总造价为 z元， 则由容积为 18m3，可得： 2xy=16，因此 xy=9， z=2009+150（ 22x+22y） =1800+600（ x+y） 1800+600 2 =5400 当且仅当 x=y=3时，取等号 所以，将水池的地面设计成边长为 3m的正方形时总造价最低，最低总造价为5400元 . 考点：基本不等式 . 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中， AA1 底面 ABC，且 ABC 为正三角形，AA1=AB=6， D为 AC 的中点 （ 1）求证：直线 AB1 平面 BC1D； （ 2）求证 ：
14、平面 BC1D 平面 ACC1A； （ 3）求三棱锥 CBC1D的体积 答案：（ 1）证明见；（ 2）证明见；（ 3） . 试题分析： 解题思路：（ 1）构造三角形的中位线，得出线线平行，再利用线面平行的判定定理进行证明；（ 2）利用线面垂直的性质及等边三角形的三线合一得出线线垂直，进而利用面面垂直的判定定理进行证明；（ 3）合理转化三棱锥的顶点求体积 . 规律总结：证明空间中的线线、线面、面面的平行、垂直关系，关键合理选择性质定理或判定定理，进行三者之间的相互转化，线线关系是关键；求几何体的体积，要合理选择顶点与底面，以便容易求得高与面积 . 试题：（ 1）证明：连接 B1C交 BC1于点
15、O，连接 OD，则点 O 为 B1C的中点 D为 AC 中点，得 DO 为 AB1C中位线， A1B OD 直线 AB1 平面 BC1D； （ 2）证明： AA1 底面 ABC， AA1 BD， 底面 ABC正三角形， D是 AC 的中点 BD AC AA1AC=A， BD 平面 ACC1A1， , ; （ 3）由（ 2）知， ABC中， BD AC， BD=BCsin60=3 ， S BCD= = ， VCBC1D=VC1BCD= 6=9 . 考点： 1.空间中的平行与垂直的判定； 2.空间几何体的体积 . 已知单调递增的等比数列 an满足 a1+a2+a3=14，且 a2+1是 a1， a
16、3的等差中项 （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）若 bn=anlog2an，求数列 bn的前 n项和 Sn； （ 3）若存在 n N*，使得 Sn+128n3成立，求实数 的最小值 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析： 解题思路：（ 1）设出等比数列的首项与公比，列出关于 的方程组，解得即可；（ 2）由（ 1）得出 ，利用错位相减法求和；（ 3）先进行变量分离，转化为求关于 的函数的最值问题 . 规律总结：涉及等差数列或等比数列的通项问题，往往列出关于基本量的方程组，进而求出基本量，数列求和的方法主要有：倒序相加法、裂项抵消法、分组求和法、错位相减法 . 注意点：存在
17、 n N*，使得 成立，只需 ，而不是最大值 . 试题：（ 1）设等比数列 的公比为 q， a1+a2+a3=14，且 a2+1是 a1， a3的等差中项， ， 解得 q=2， a1=2，或 q= ， a1=8（舍） an=2n （ 2） bn=anlog2an=n 2n， ， 2Sn=122+223+324+n2 n+1， ，得 = ， （ 3）由（ 2）知 ， 原问题等价于：存在 n N*，使得 成立， 令 f（ n） = ，只需 f（ n） min即可， f（ n+1） f（ n） = = ， f（ n+1） f（ n）的正负取决于 n22n1=（ n1） 22的正负， f（ 1） f（ 2） f（ 3）， f（ 3） f（ 4） f（ n） min=f（ 3） = ，即 ， 的最小值是 . 考点： 1.数列的通项公式； 2.数列的前 项和 .
