1、2013-2014学年山西省忻州市高一下学期期中联考数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， ，若 , 则集合 P的子集的个数为（ ） A 2个 B 4个 C 6个 D 8个 答案： B 试题分析： ，集合 的子集有： 共 4个。故 B正确。 考点： 1集合的运算， 2集合的子集。 函数 的图象与函数 的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A 4 B 6 C 8 D 10 答案： C 试题分析：由数形结合可知，两函数图像在直线 两侧各有 4个交点，其两两关于 对称。不妨令 。则所有交点横坐标之和为 。故 C正确。 考点： 1函数图像； 2余弦函数的周期； 3数形结合思想。 函数 的部分图象
2、如图，其中 两点之间的距离为 5，则 （ ） A 2 B C D -2 答案： A 试题分析：由图知 ，解得 ， ，解得 。由图知 ，即 ，得 ，因为 ，则 。综上可得 。所以 。故 A正确。 考点：三角函数式及其图像。 已知 ，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形， 则 的面积是（ ） A B 2 C D 4 答案： D 试题分析： 因为 ，所以 。设 中点为 ，则，则 。在直角三角形 中斜边，所以 。故 D正确。 考点： 1向量加法法则； 2向量的模长。 已知向量 ，点 P在 轴上， 取最小值时 P点坐标是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：依题意设 ，则 , ，所以，当 时 取
3、得最小值 1。此时 。故 D正确。 考点： 1向量的数量积； 2二次函数的最值问题。 阅读如图所示的程序框图，若要使输入的 值与输出的 值相等，则满足条件的 有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： C 试题分析：当 ，输出 ，解 得 或 ；当 时，输出 ，解 得 ；当 时，输出 ，解 得（舍）。综上可得满足条件的 的值为 0或 1或 3，共 3个。故 C正确。 考点：算法程序框图。 已知函数 ，则函数 的图像（ ） A关于点 对称 B关于点 对称 C关于直线 对称 D关于直线 对称 答案： B 试题分析：时， ，则此函数的对称轴为 ；时， ，则此函数的对称中心为。分析可知 B
4、正确。 考点： 1两角和差公式； 2余弦函数图像的性质。 在区间 上任取一个实数 ，则事件 “ ”发生的概率是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 时， ，当 时结合正弦函数图像分析可知，解得 。则所求概率为 。故 D正确。 考点： 1几何概型概率； 2三角函数图像。 则（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ， ，即 。所以 。故 B正确。 考点： 1指数函数的值域与单调性； 2对数函数的单调性。 若向量 、 满足 ， ，且 ，则 与 的夹角为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设 与 的夹角为 。因为 ，所以 。因为，所以 。因为，所以 。故 C正确。 考点
5、： 1两向量夹角的范围； 2向量的数量积公式。 函数 的定义域为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，则此函数定义域为。故 C正确。 考点： 1函数的定义域； 2对数函数的单调性。 在平面直角坐标系中，已知角 的终边经过点 ，且 ，则 （ ） A 1 BC 1或 D 1或 3 答案： A 试题分析： ， ，解得或 ，因为 ，则 ，即 。故 A正确。 考点：任意角三角函数的定义。 填空题 在 中， 为坐标原点， ， ， ，则面积的最小值为 _ 答案： 试题分析： ，所以，所以。则 ，当 时，。 考点： 1向量的数量积公式； 2向量的模； 3同角三角函数关系式； 4正弦函数的最值。 已
6、知 且 则 _ 答案： 试题分析： ，因为 所以，即 。所以 。 考点：同角三角函数基本关系式。 对某项活动中 800名青年志愿者的年龄抽样调查后，得到如下图所示的频率分布直方图，但年龄在（ 25,30)的数据不慎丢失 依据此图，估计该项活动中年龄在（ 25,30)的志愿者人数为 _ 答案： 试题分析： ，所以 。即所求人数为 160 考点：频率分布直方图。 已知向量 若 ，则 _ 答案： 试题分析：依题意可得 ，解得 。所以 ，则。 考点： 1向量共线问题； 2向量的模。 解答题 某车间共有 12名工人，随机抽取 6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数 （ 1
7、）若日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间 12名工人中有几名优秀工人？ （ 2）从这 6名工人中任取 2人，设这两人加工零件的个数分别为 ，求的概率 答案：（ 1） 4；（ 2） 试题分析：（ 1）根据平均数公式先求样本平均数，从样本中找出比平均数大的数共有几个，根据频数除以总数得到样本中 优秀工人的频率，将总数 12乘以此频率可得优秀工人总数。（ 2）从 6人中任取 2人其加工零件数所包含的基本事件一一例举出，得到基本事件总数。再将其中符合 的事件一一例举并得到包含的基本事件数，根据古典概型概率公式即可求得所求概率。 （ 1）样本均值为 ， 2分 样本中大于 22
8、的有 2人，样本的优秀率为 ， 4分 12名工人中优秀工人为： 12 人 5分 （ 2） 6人中任取 2人，加工的零件个数构成基本事件：（ 17,19） ,(17,20),(17,21),(17,25),(17,30),(19,20),(19,21),(19,25),(19,30),(20,21),(20,25),(20,30),(21,25),(21,30),(25,30)共 15个基本事件 7分 其中满足 “ ”的事件有： (17,19), (19,20), (19,21), (20,21)共 4个 9分 故所求概率为 10分 考点： 1频率分布直方图； 2古典概型概率公式。 已知 （ 1
9、）求 的值； （ 2）求 的值 答案：（ 1） 7；（ 2） 试题分析：先用诱导公式求得 的值，根据 及角的范围求得的值。（ 1）先求 ，将 按两角差的正切公式展开即可求得其值。（ 2）由 及二倍角公式分别求出 ，再将按两角差的余弦公式展开即可求其值。 （ 1） ， 3分 6分 （ 2） ， ， 9分 12分 考点： 1同角三角函数关系式； 2二倍角公式； 3两角和差公式。 如图，在矩形 中， ，点 是 边的中点，点 在边 上 （ 1）若 是对角线 的中点， ，求 的值； （ 2）若 ，求线段 的长 答案：（ 1） ；（ 2） 1 试题分析：（ 1）根据向量的平行四边形加法法则可得 ，然后根据
10、向量共线可得 ，从而可得 的值。（ 2）设，则 。将 、 均用 和 表示出来，根据 即可得出 的值。 （ 1） ， 6分 （ 2）设 ，则 , , ， 8分 又 , = ， , 10分 ，即 DF 的长为 1 12分 也可以建立平面直角坐标系，表示出 与 的坐标，阅卷根据情况酌情给分。 考点： 1向量的加减法法则； 2向量的数量积公式； 3向量共线问题。 已知向量 （ 1）若 ，且 ，求角 的值； （ 2）若 ，且 ，求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）根据向量垂直其数量积为 0，可得到 的关系式，从而得出 的值，再根据角的范围得角的大小。（ 2）根据数量积公式可得的关系式
11、，用两角和差公式的逆用即化一公式将其化简为再根据角的范围找整体角 的范围，从而可计算出的值。用凑角的方法将 写成 的形式，用正弦的两角和公式展开计算即可。 （ 1） , , 即 3分 ，又 6分 （ 2） 8分 , 又 , , 10分 12分 考点： 1数量积公式； 2两角和差公式。 已知函数 为奇函数，且相邻两对称轴间的距离为 （ 1）当 时，求 的单调递减区间； （ 2）将函数 的图象沿 轴方向向右平移 个单位长度，再把横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），得到函数 的图象当 时，求函数 的值域 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）先用余弦二倍角公式将其降幂，再用两角和差公式的逆用
12、即化一公式将其化简为 ，两相邻对称轴间的距离为半个周期，从而可得 的值，由函数为奇函数可求 的值。根据 求整体角的范围。再此范围内将整体角代入正弦的单调减区，解得 的范围，即为所求。（ 2）先将 用 替换，再将 用 替换即可得函数 。根据 的范围得整体角的范围，结合函 数图像求函数的值域。 （ 1）由题知 , 相邻两对称轴的距离为 , , 3分 又 为奇函数 , , , , 即 , 5分 要使 单调递减 , 需 , , 的单调减区间为 7分 (2) 由题知 , 9分 , , ， , 函数 的值域为 12分 考点： 1三角函数的周期性奇偶性； 2三角函数的单调性； 3三角函数伸缩平移变换。 已知
13、函数 （ 1）对任意实数 ，恒有 ，证明 ； （ 2）若 是方程 的两个实根， 是锐角三角形的两个内角，求证： 。 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 试题分析：（ 1）先将函数变形为 ，由实数 的任意性可得，从而可得 。可将问题转化为 时，恒成立。问题即可得证。（ 2）分析可知 时，判别式大于 0，且可得两根 与系数的关系式。由 是锐角三角形的两个内角可知 , ,即 ， 。用正切的两角和差公式可求得 的值。根据以上不等式即可求得 的范围。问题即可得证。 (1) , 又 , , 2分 恒有 , 即 时 , 恒有 , 即 , 4分 , 又 , 故 6分 (2) ，即 ， 依题意，得 8分 又 A， B为锐角三角形的两内角， ， 9分 ， 10分 因而 12分 考点： 1一元二次不等式； 2正切的两角和公式。
