1、2013-2014学年广东汕头金山中学高二上学期期中文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 圆 的圆心坐标是（ ） A（ 2， 3） B（ -2， 3） C（ -2， -3） D（ 2， -3） 答案： D 试题分析：把圆的一般方程通过配方法转化为标准方程 ，就可以很快得出圆心坐标及圆的半径 考点：圆的标准方程 在平面直角坐标系中，点 分别是 轴、 轴上两个动点，又有一定点，则 的最小值是（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 答案： A 试题分析：利用物理学中光线最短问题的结论，这类问题一般利用对称性解决，作出点 关于 轴的对称点 ， 关于 轴的对称点 ，如图，可见的最小值即为线段 的
2、长，易求得 （此时 两点都与原点 重合），选 A 考点：点的对称问题 一个圆柱内接于一个底面半径为 2，高为 3的圆锥，如下图是圆锥的轴截面图，则内接圆柱侧面积最大值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设圆柱的底面半径为 ，高为 ，利用相似形的知识可得 ，即 ，由基本不等式可得 ， （当且仅当即 时取等号）， .选 B. 考点：圆柱的侧面积，基本不等式 已知点 A(2,3),B(-3,-2).若直线 过点 P(1,1)且与线段 AB相交 ,则直线 的斜率的取值范围是 ( ) A B C 或 D 答案： C 试题分析：如图， ， ，又过点 且与 轴垂直的直线 也与线段 相交，故直线
3、的斜率 满足 或 选 C 考点：直线的斜率 已知点 P（ 3， 2）与点 Q（ 1， 4）关于直线 l对称，则直线 l的方程为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 关于直线 对称，有线段 的中点在直线 上，且直线 与直线 垂直，本题中线段 的中点为 ，代入各选择支，发现点 的坐标只适合 A中的直线方程，利用排除法，选 A 考点：点关于直线对称问题 设 A、 B、 C、 D是空间四个不同的点，在下列命题中， 不正确 的是（ ） A若直线 AB与 CD没有公共点，则 AB CD B若 AC与 BD共面，则 AD与 BC共面 C若 AC与 BD是异面直线，则 AD与 BC是异面直线 D若
4、AB AC， DB DC，则 AD BC 答案： A 试题分析：空间两条直线有三种位置关系，有公共点的是相交，无没有公共点的可能平行也可能异面，故 A错误， B中若 AC与 BD共面，则 A、 B、 C、 D四点共面，当然直线 AD与 BC也共面， B正确，由此 C也正确（反证法）， D中只要取 BC中点 O，连接 AO， DO，易证直线 BC 平面 AOD，从而有AD BC 考点：两条直线的位置关系，空间点线共面问题 如图，正三棱柱 中， ，则 与面所成的角大小是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：关键是作出所求直线与平面所成的角 .由于是正三棱柱，其中的垂直关系较多，如我们取 中
5、点 ，连接 ， ，则易证 平面 ，就是直线 与面 所成的角 考点：直线与平面所成的角 圆 与圆 的位置关系是（ ） A外离 B外切 C相交 D内含 答案： C 试题分析：两圆的位置关系判定方法是利用圆心距与两圆半径和差间的关系来判定：圆 、圆 的半径分别为 ，则 两圆外离，两圆外切， 两圆相交，两圆内切， 两圆内含 考点：两圆的位置关系 若三个点 P(1， 1)， A(2， -4)， B(x， -9)共线，则 x ( ) A -1 B 3 CD 51 答案： B 试题分析：三点共线问题一般可由斜率相等列出方程求参数的值，由得 ， 考点：三点共线问题 填空题 设实数 满足 ，则 的最大值是 _.
6、 答案： . 试题分析：由题意， ，即 ，因此只要求出 的最大值即可，又由 得 ， ，即 最大值为 2，故 的最大值为 . 考点：约束条件下的最值问题 . 过点（ 1， 2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 . 答案： 或 . 试题分析：直线的截距式中要求截距不为 0，而直线的截距相等进可以全为 0，因此本题应该分类讨论，截距不为 0 时，设直线方程为 ，把点（ 1， 2）坐标代入，解得 ；截距为 0时，设直线方程为 ，把点（ 1， 2）坐标代入，解得 ， 满足题意的直线有两条： 或 . 考点：直线的截距及截距式方程 . 已知两直线 ， ，当 时，有 . 答案： . 试题分析：根据两条直线
7、平行的充要条件知， 时，两直线不平行，时，两直线平行 ，解得 . 考点：两直线平行的充要条件 . 解答题 设函数 f(x) 2cos2x sin2x a(a R) (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)当 x 0， 时， f(x)的最大值为 2，求 a的值 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1)求解三角函数的问题，一般都是把函数化为的形式，本题先用降幂公式把 化为 ，这与 就变为同角问题，然后利 用两角和的正弦公式变形即可 .（ 2）由于，故我们把 作为整体，直接利用 的性质解决问题这也是这类问题的通用解法 试题： (1) 4分 则 的最小正周期 . 6分 (2)当 时 ，
8、8分 当 ， 即 时， . 10分 所以 . 12分 考点：（ 1）三角函数的周期；（ 2）三角函数在给定区间上的最值问题 . 已知圆 的圆心在点 ， 点 ，求； （ 1）过点 的圆的切线方程； （ 2） 点是坐标原点，连结 ， ，求 的面积 答案： (1) 或 ； (2) . 试题分析：（ 1）过圆外一点作圆的切线，一定是有两条切线，而求切线方程我们一般是用点斜式写出直线方程，再利用圆心到切线的距离等于圆的半径列出方程求出切线斜率 ，这时可能会出现只有一解的情形，事实上这种情况的出现，一般是另一条切线斜率不存在，即切线与 轴垂直，不有忘记 .（ 2）已知三角形三个顶点坐标，要求三角形的面积，
9、可以采取直接的一边长如，再求出 AC边长的高即点 O到直线 AC的距离在在，即能求出面积 .当然也可用图形的切割来求面积，计算如下：.请读者体会一下，为什么可以这么做？ 试题：（ 1） （ 1分） 当切线的斜率不存在时，对于直线 到直线的距离为 1，满足条件（ 3分） 当 存在时，设直线 ，即 ， 得 （ 5分） 得直线方程 或 （ 6分） （ 2） （ 7分） （ 8分） （ 10分） （ 12分） 考点： (1)圆的切线；（ 2）三角形的面积 如图，在四棱锥 P-ABCD中， PD 平面 ABCD， PD=DC=BC=1， AB=2，AB DC， BCD=900 （ 1）求证： PC BC
10、； （ 2）求点 A到平面 PBC的距离 . 答案： (1)见试题；（ 2） . 试题分析：（ 1）要证两直线垂直，一般通过证明其 中一条直线垂直于过另一条直线的平面，这里观察已知，有 PD 平面 ABCD，则有 PD BC，又 BC CD，显然就有 BC 平面 PCD，问题得证；（ 2）要求点 A到平面 PBC的距离，由于三棱锥 P-ABC的体积容易求出（底面是三角形 ABC，高是 PD），故可用体积法求点 A到平面 PBC的距离，见解法二 .当然题中由于 且 ，故 A到平面 PBC的距离等于 D到平面 PBC的距离的 2倍，从而可能先求点 D到平面 PBC的距离，此时直接作出垂线段即可，见
11、解法一 . 试题：（ 1）证明：因为 PD 平面 ABCD， BC 平面 ABCD，所以 PD BC 由 BCD=900，得 CD BC， 又 PD DC=D， PD、 DC 平面 PCD， 所以 BC 平面 PCD 因为 PC 平面 PCD，故 PC BC （ 2）（方法一）分别取 AB、 PC的中点 E、 F，连 DE、 DF，则：易证DE CB， DE 平面 PBC，点 D、 E到平面 PBC的距离相等又点 A到平面PBC的距离等于 E到平面 PBC的距离的 2倍由（ 1）知： BC 平面 PCD，所以平面 PBC 平面 PCD于 PC，因为 PD=DC， PF=FC，所以 DF PC，
12、所以DF 平面 PBC于 F易知 DF= ，故点 A到平面 PBC的距离等于 （方法二）体积法：连结 AC设点 A到平面 PBC的距离为 h 因为 AB DC， BCD=900，所以 ABC=900 从而 AB=2， BC=1，得 的面积 由 PD 平面 ABCD及 PD=1，得三棱锥 P-ABC的体积 因为 PD 平面 ABCD， DC 平面 ABCD，所以 PD DC 又 PD=DC=1，所以 由 PC BC， BC=1，得 的面积 由 ， ，得 ， 故点 A到平面 PBC的距离等于 考点：（ 1）线面垂直与线线垂直；（ 2）点到平面的距离 . 如图 ,直三棱柱 中， ，点分别为 和 的中
13、点 . ( )证明 : 平面 ； ( )求异面直线 与 所成角的大小 . 答案： ( )证明见试题； ( ) . 试题分析： ( )证线面平行，一般根据线面平行的判定定理，在平面 内找到一条与 平行的直线即可 .由于四边形 是正方形，点 也是的中点，故 是 的中位线， ，得证 .( )要求异面直线所成的角的大小，一般是先作出这两条异面直线所成的角，由 ( ) ，故异面直线 与 所成角即 或其补角，下面我们只要通过解 ，求出 即可，要注意的是异面直线所成的角不大于 试题： ( )证明：连结 、 ，由已知条件，四边形 是正方形，点也是 的中点，故有 4分 又 面 ， 面 平面 8分 ( )解：由（
14、 1）可知 ，故异面直线 与 所成角即 或其补角 10分 且 面 ， 12分 故 ，即异面直线 与 所成角大小为 14分 考点： ( )线面平行； ( )异面直线所成的角 . 已知圆 ，直线 ， 与圆 交与 两点，点 . （ 1）当 时，求 的值； （ 2）当 时，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）由点 在圆 C上且满足 得 是直径，即直线过圆心 ；（ 2）由 求 的取值范围，就是要建立起点 与直线 的关系，它们是通过点 联系起来 .我们可以设出 两点的坐标分别为即为 ，一方面由 可得到 与 的关系，另一方面直线 与圆 C 相交于点 ，把直线方程与圆方程联立方程
15、组，可以得到 与 的关系，从而建立起 与 的关系，可求出 的范围 . 试题：（ 1）圆的方程可化为 ，故圆心为 ，半径 2分 当 时，点 在圆上，又 ，故直线 过圆心 ， 4分 从而所求直线 的方程为 6分 （ 2）设 由 得 即 8分 联立得方程组 ，化简，整理得 .(*) 由判别式 得 且有 10分 代入 式整理得 ,从而 ，又 可得 的取值范围是 14分 考点： (1)圆周角与弦的关系；（ 2）直线与圆相交问题 . 已知数列 中， ，设 （ ）试写出数列 的前三项； （ ）求证：数列 是等比数列，并求数列 的通项公式 ； （ ）设 的前 项和为 ，求证： 答案：（ ） ， ， ；（ ）证
16、明见试题， ；（ ）证明见试题 . 试题分析：（ ）由递推公式求出 ，再利用 可直接求出 ；（ ）要证数列 是等比数列，可由数列 的递推关系 建立起 与 的关系 . ，从而证得数列 是等比数列 . 然后选求出 ，由 可求出 ；（ ）本题最好是能求出 ，但由数列 的通项公式可知 不可求，结合结论是不等式形式可以用放缩法使得和 可求，（等号只在 时取得），然后求和，即可证得结论 . 试题：（ ）由 ，得 ， . 由 ，可得 ， ， . 3分 （ ）证明：因 ，故 . 5分 显然 ，因此数列 是以 为首项，以 2为公比的等比数列，即 . 7分 解得 . 8分 （ ）因为 （当且仅当 时取等号） 12分 故 14分 考点： (1)数列的项； (2)等比数列的定义； (3)放缩法 .
