1、2013-2014学年广东省仲元中学等七校高二 2月联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，则 （ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，所以 ，所以 。故 A正确。 考点： 1对数不等式； 2集合的运算。 把数列 的各项按顺序排列成如下的三角形状， 记 表示第 行的第 个数，若 = ，则 （ ） A 122 B 123 C 124 D 125 答案： B 试题分析：第 1行共 1个数，第 2行共 3个数，第 3行共 5个数，则第 行共个数，前 行共 个数（法二：也可观察可得每行的最后一个数为 ），因为 ，所以 2014是第 45行的第个数，即 ，所以 。故 B正确。 考点
2、：合情推理。 设函数 的定义域是 ，其图象如图 (其中 )，那么不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由图可知， 时， ， 时，。由正弦图像可知， 时， ，时， 。综上可得 的解集为，故 C正确。 考点： 1正弦函数图像； 2分式不等式。 已知实数 构成一个等比数列，则圆锥曲线 的离心率为（ ） A B C 或 D 或 7 答案： C 试题分析：因为 构成一个等比数列，所以 ，所以 。当 ，圆锥曲线为 ，表示焦点在 的椭圆，此时 ，所以 ，即 ，所以离心率 ；当 时，圆锥曲线为 ，表示焦点在 的双曲线，此时 ，所以，即 ，所以 。综上可得 或 。故 C正确。 考点： 1
3、等比中项； 2椭圆、双曲线方程； 3离心率。 某种商品的广告费支出 与销售额 （单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出 与 的线性回归方程为，则表中的 的值为（ ） A 45 B 50 C 55 D 60 答案： D 试题分析： ，因为回 归线必过样本中心点 ，将此点代入 可解的 。故 D正确。 考点：线性回归方程。 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：根据框图的循环结构，依次为 ， ，跳出循环。输出 。 考点：算法程序框图。 已知两个不同的平面 和两条不重合的直线 ，则下列命题不正确的是 （ ）
4、A若 则 B若 则 C若 ， ，则 D若 , ，则 答案： D 试题分析： A、 B、 C均可根据线面垂直的性质定理证得； D选项中直线 和还可能异面，故应选 D。 考点： 1线面垂直、面面垂直； 2空间两直线的位置关系。 下列说法正确的是（ ） A命题 “若 ，则 ”的否命题为： “若 ，则 ” B若命题 ，则命题 C命题 “若 ，则 ”的逆否命题为真命题 D “ ”是 “ ”的必要不充分条件 答案： C 试题分析： A 不正确，因为命题的否命题应为： “若 ，则 ”； B 不正确，因为 ； C正确，因为原命题为真命题，而原命题的逆否命题与原命题同真假，所以逆否命题也为真命题。 D不正确，因
5、为解得 或 ，所以 “ ”是 “ ”的充分不必要条件。 考点： 1命题真假判断； 2命题的四种形式及其真假关系； 3充分必要条件。 填空题 已知定义在 上的偶函数 满足 ，且在区间 0， 2上若关于 的方程 有三个不同的根，则 的范围为 答案： 试题分析：因为 所以此函数为周期函数，且周期为 4。因为在区间 0， 2上 ，且函数 为定义在 上的偶函数，则在区间 上。 时函数图像如图所示 。要使方程 有三个不同的根则有解得 。 考点： 1函数的周期性； 2函数图像； 3数形结合思想。 若 ，则 的最小值为 ； 答案： 试题分析：因为 所以 ，当且仅当 即 时取 。 考点：基本不等式。 在区域 内
6、任取一点 P，则点 P落在单位圆 内的概率为 ； 答案： 试题分析：线性不等式组表示的可行域如图中阴影部分，面积为，在阴影部分内单位圆 的面积为 ，则所求概率为 。 考点： 1线性不等式表示平面区域； 2几何概型概率。 双曲线 的焦点到它的渐近线的距离为 _； 答案： 试题分析：由双曲线方程可知 ，则 ，即，所以焦点为 ，渐近线为 。所以焦点到渐近线的距离为 。 考点： 1双曲线的基本性质； 2点到线的距离。 直线 与圆 相交于 、 两点且 ，则 _； 答案： 试题分析：由圆的方程可知圆心为 ，半径为 2.则圆心到直线的距离为 ，有数形结合可得 ，解得。 考点： 1点到线的距离； 2圆的弦长。
7、 设函数 则 =_. 答案： 试题分析：因为 ，所以 。 考点：指数函数和对数函数的计算。 解答题 已知向量 ， ，且 （ 1）将 表示为 的函数 ，并求 的单调递增区间； （ 2）已知 分别为 的三个内角 对应的边长，若 ，且 ， ，求 的面积 答案：（ 1） ，增区间为 （ 2）试题分析：（ 1）由 得 ，根据平面向量数量积公式可得 与 的关系式。然后再用二倍角公式和化一公式将其化简为 的形式，将 整体角代入正弦函数的增区间，解得 的范围，即为函数的单调递增区间。（ 2）由 可得角 的大小，由余弦定理和 可得 ，由面积公式可求其面积。 试题：解：（ 1）由 得 , . 2分 即 4分 ，
8、5分 ，即递增区间为 6分 （ 2）因为 ，所以 ， ， 7分 8分 因为 ，所以 9分 由余弦定理得： ，即 10分 ，因为 ，所以 11分 . 12分 考点： 1平面向量数量积； 2三角函数的化简及单调性； 3余弦定理。 已知四棱锥 的底面 是等腰梯形， 且分别是的中点 . （ 1）求证： ； （ 2）求二面角 的余弦值 . 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析：（ 1）可证 面 得 ，因为 分别是 的中点 即可证 。（ 2）以 所在直线为 x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系，先求各点的坐标然后求向量的坐标，再求面 的一个法向量。由已知可知 为面 的一个法向量，用向量的数量积公式求两法
9、向量所成角的余弦值。两法向量所成的角与所求二面角的平面角相等或互补。 试题：（ 1） 分别是 的中点 . 2分 由已知可知 3分 4分 又 5分 6分 （ 2）以 所在直线为 x轴， y轴， z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系 . 7分 由题设， ， 得 8分 设平面 的法向量为 可取 ， 10分 平面 的法向量为 11分 13分 由图形可知，二面角 的余弦值为 14分 考点： 1线面垂直； 2用空间向量法解立体几何问题。 在数列 和 中，已知 . （ 1）求数列 和 的通项公式； （ 2）设 ，求数列 的前 n项和 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） 试题分析：（ 1）由 可知数列 为等比
10、数列，根据等比数列的通项公式求 ，将 代入 可得 。（ 2）数列 的通项公式为等差乘以等比数列所以应用错位相减法求数列的前 项和。将 表示为各项的和，然后将上式两边同时乘以通项公式里边等比数列的公比，但应将第一位空出，然后两式相减即可。 试题：解：（ 1） 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， . 4分 . 6分 （ 2）由（ 1）知， ， （ n ） . ， 于是 8分 得 = . 12分 . 14分 . 考点： 1等比数列的定义及通项公式； 2错位相减法求数列的和。 已知椭圆 （ 0）的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4. （ 1）求椭圆的方程； （ 2）设直线 与椭圆相
11、交于不同的两点 ，已知点 的坐标为（ ， 0），点 （ 0， ）在线段 的垂直平分线上，且 ，求 的值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为 4即 ，在结合 和 可解得 的值。（ 2）分析可知直线 斜率存在，可设其方程为 ，将直线方程和椭圆方程联立消去 整理为关于 的一元二次方程，由韦达定理可得根与系 数的关系，其中一个根为 另一个跟为点 的横坐标。根据 在线段 的垂直平分线上和 可求 的值。需注意对 为 0时的讨论。 试题：（ 1）解：由 ， 1分 得 ，再由 ，得 2分 由题意可知， 3分 解方程组 得： 所以椭圆的方程为： 4分 （ 2）解
12、：由（ 1）可知 设 点的坐标为 , 直线 的斜率显然所在，设为 ，则直线 的方程为 , 5分 于是 两点的坐标满足方程组 ，由方程组消去 并整理， 得 6分 由 得 8分 设线段 是中点为 ，则 的坐标为 以下分两种情况： 当 时，点 的坐标为 线段 的垂直平分线为 轴，于是 由 得 10分 当 时，线段 的垂直平分线方程为 令 ，解得 对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，则称 为“局部奇函数 ” （ 1）已知函数 ，试判断 是否为 “局部奇函数 ”？并说明理由； （ 2）若 为定义域 上的 “局部奇函数 ”，求实数 m的取值范围 答案：（ 1） 为 “局部奇函数 ”； （ 2） 试
13、题分析：（ 1）若方程 有解，则说明 是 “局部奇函数 ”，否则，则说明 不是 “局部奇函数 ”。 （ 2）当 时，可化为 ，用整体思想将视为整体用 表示。将上式转化为 的一元二次函数。根据题意可知此二次函数在其定义域上有解。 试题：解：（ 1） 为 “局部奇函数 ”等价于关于 x 的方程 有解 当 时， 由 得 解得 ， 所以方程 有解，因此 为 “局部奇函数 ” 4分 （ 2）当 时， 可化为 令 ， 则 ， 6分 从而 在 有解即可保证 为 “局部奇函数 ” 8分 令 ， 1 当 ， 在 有解， 由 ，即 ，解得 ； 10分 2 当 时， 在 有解等价于 解得 13分 （说明：也可转化为 的大根大于等于 2求解） 综上，所求实数 m的取值范围为 14分 考点： 1新概念问题； 2指数函数的值域； 3二次函数。
