1、2013-2014学年广东省汕头金山中学高二下学期期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 ，其中 ， 是虚数单位，则 = （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由 得： ，故选 C 考点：复数的有关概念及运算 定义运算 的最大值是（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： D 试题分析：令 f（ ） =cos2+sin- =1-sin2+sin- =-（ sin- ） 2+1 由于 sin -1， 1， 所以 f（ ） ， 1 f（ ） - 所以（ - ） （ cos2+sin- ） =cos2+sin- ，最大值为 1故选 D 考点：三角函数的最值 设 、 分别是椭圆
2、的左、右焦点，点 在椭圆上，线段 的中点在 轴上，若 ，则椭圆的离心率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 点 P在椭圆 C上，线段 PF1的中点在 y轴上， PF2 F1F2， PF1F2=30， ， ， 0 e 1， ，故选 A 考点：椭圆的简单性质 执行如图所示的程序框图，若输出 ，则框图中 处可以填入（ ） A B C D 答案： C 试题分析：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 S n 循环前 /0 1 第一次 是 1 2 第二次 是 3 4 第三次 是 7 8 第四次 是 15 16， 因为输出： S=15 所以判断框内可填写 “n 8”， 故选： B
3、考点：程序框图 如图，某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由三视图知：四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且高为 1，如图： SA 平面 ABCD， AD=CD=SA=1， AB=2， 最长的侧棱为 SB= ;故选： C 考点：三视图 函数 的图像大致是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：注意到当 时， ，显然可排除 B、 C；再注意当时， ，所以 ，所以排除 D，故选 A 考点：函数的图象 定义在 上的函数 满足 且 时，则 （ ） A BC D答案： C 试题分析：因为 ，所以 ，从而 ，则由已知有 :，故选 C 考点： 1函数
4、的奇偶性 ;2函数的周期性 设 是等差数列 的前 项和，公差 ，若 ，若 ，则正整数 的值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 等差数列 an中，公差 d0， S11=132， ， a1+5d=12， a3+ak=24， 2a1+2d+（ k-1） d=24， 2a1+（ 2+k-1） d=2a1+10d， 2+k-1=10，解得 k=9故选： A 考点：等差数列的性质 下列有关命题的说法正确的是 ( ) A命题 “若 ，则 ”的否命题为： “若 ，则 ” B “ ” 是 “ ”的必要不充分条件 C命题 “若 ，则 ”的逆否命题为真命题 D命题 “ 使得 ”的否定是： “ 均有 ”
5、 答案： C 试题分析：对于根据否命题的定义可知命题 “若 x2=1，则 x=1”的否命题为 “若x21，则 x1”，所以错误 对于由 x2-5x-6=0得 x=-1或 x=6，所以 “x=-1”是 “x2-5x-6=0”的充分不必要条件，所以错误 对于根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题 “若 x=y，则 sinx=siny”的逆否命题为真命题，所以正确 对于根据特称命题的否定是全称命题得命题 “ x R，使得 x2+x-1 0”的否定是： “ x R，均有 x2+x-10”，所以错误故选： 考点：命题的真假判断及四种命题的真假关系的判断；特称命题 设集合 ，集合 为函数
6、的定义域，则( ） A B C D 答案： D 试题分析：化简集合 A= ，集合 B= ，所以=(1， 2，故选 D 考点：集合的运算 填空题 如图，直线 与圆 相切于 ，割线 经过圆心 ，弦 于点， ， ，则 答案： 试题分析： PC是圆 O的切线， 由切割线定理得： PC2=PAPB， PC=4，PB=8， PA=2， OA=OB=3，连接 OC， OC=3， 在直角三角形 POC中，利用面积法有， 故应填入： 考点：与圆有关的比例线段；切割线定理 在平面直角坐标系中，直线 （ 是参数 )被圆 （是参数 )截得的弦长为 答案： 试题分析：由直线 （ 是参数 )消去参数得 : ，再由圆（ 是
7、参数 )消去参数得 : ，知圆的圆心为 C2(0， 0)，半径 R=1;则圆心到直线的距离 ，从而弦长为，故应填入 : 考点： 1参数方程 ;2直线与圆的位置关系 已知实数 满足约束条件 ，则 的最小值是 答案： -15 试题分析：作出不等式组 所表示的平面区域，如图 :再作出直线 ，平移可知当直线经过点 B(-2 5， -2 5)时， 的最小值为 2 (-2 5)+4 (-2 5)=-15;故应填入 :-15 考点：线性规划 已知 、 的取值如下表： 从散点图可以看出 与 线性相关，且回归方程 ，则 答案： 试题分析： 点 在回归直线上， 计算得 ， 回归方程过点（ 2， 4 5）代入得 4
8、 5=0 952+a， a=2 6；故应填入：2 6 考点：回归分析 给出下列等式： ； ； ， 由以上等式推出一个一般结论： 对于 = 答案： - 试题分析：由已知中的等式： ； ； ， 我们可以推断：对于 =1- 考点：归纳推理 解答题 已知函数 ， （ 1）求函数 的最小正周期； （ 2）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且满足， 求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） 试题分析：（ 1）首先化简已知函数的式为 ，则可得到函数的周期为 ；（ 2）应用余弦定理将已知等式：中的 转化为只含边的等式，可求得角的余弦值，进而就可求得角的具体值，然后代入 的式中即可求得 的值另也可利用正弦
9、定理将已知等式： 转化为只有角的关系式： 再用三角恒等变形公式同样可求出角的大小 试题：（ 1） 2分 函数 的最小正周期 ； 4分 （ 2）解法一： ， 6分 整理得 ， 故 ， 9分 ， ， ； 12分 解法二： ， ， ， ， ， ， 考点：三角恒等变形公式；三角函数的性质；余弦定理 从某校高三上学期期末数学考试成绩中，随机抽取了 名学生的成绩得到频率分布直方图如下图所示： （ 1）根据频率分布直方图，估计该校高三学生本次数学考试的平均分 (平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和 )； （ 2）若用分层抽样的方法从分数在 和 的学生中共抽取 人，
10、该 人中成绩在 的有几人？ （ 3）在（ 2）中抽取的 人中，随机抽取 人，求分数在 和 各人的概率 答案：（ 1） 92；（ 2） 1人；（ 3） 试题分析：（ 1）根据平均数是频率分布直方图各个小矩形的面积 底边中点横坐标之和，求出本次考试的平均分； （ 2）利用频数 =频率 样本数，求出分数在 30， 50）和 130， 150的学生人数，再按照分层抽样的方法按比例求出 3人中成绩在 130， 150的有几人； （ 3）由（ 2）知，抽取的 3人中分数在 30， 50）的有 2人，分数在 130， 150的有 1人，问题为古典概型 试题：（ 1）由频率分布直方图，得该校高三学生本次数学考
11、试的平均分为 0 00502040 0 00752060 0 00752080 0 015020100 0 012520120 0 002520140 92 4分 （ 2）样本中分数在 30， 50)和 130， 150的人数 分别为 6人和 3人 所以抽取的 3人中分数在 130， 150的人有 （人） 8分 （ 3）由（ 2）知：抽取的 3人中分数在 30， 50)的有 2人，记为 分数在 130， 150的人有 1人，记为 ，从中随机抽取 2人 总的情形有 三种 而分数在 30， 50)和 130， 150各 1人的情形有 两种 故所求概率 12分 考点：频率分布直方图；分层抽样；古典概
12、型 如图，四棱锥 的底面 为一直角梯形，侧面 PAD是等边三角形，其中 ， ，平面 底面 ，是 的中点 (1)求证： /平面 ； (2)求证： ； (3)求三棱锥 的体积 答案：（ 1）祥见；（ 2）祥见；（ 3） 试题分析：（ 1）证 BE 平面 PAD，可先取 CD的中点为 M，构建平面 EBM，证明平面 EBM 平面 APD，由面面平行，得到线面平行； （ 2）取 PD的中点 F，连接 FE，根据线面垂直的判定及性质，及等腰三角形性质，结合线面垂直的判定定理可得 AF 平面 PDC，又由 BE AF，可得 BE平面 PDC； （ 3）利用等体积法，由 VP-ACD=VC-PAD，即可求三
13、棱锥 P-ACD的体积 V 试题：（ 1）证明：如图， 取 PD的中点 F，连接 EF、 AF，则在三角形 PDC中 EF CD且 ， AB CD且 ； EF AB且 ， 四边形 ABEF是平行四边形， 2分 BE AF，而 BE 平面 PAD，而 AF 平面 PAD， BE 平面 PAD； 4分 （ 2）证明：在直角梯形 中， 平面 底面 ， 平面 底面 =AD CD 平面 PAD， ， CD AF 由（ 1） BE AF， CD BE 10分 （ 3）解 :由（ 2）知 CD 平面 PAD， PAD是边长为 1的等边三角形 三棱锥 的体积 = 14分 考点： 1直线与平面平行的判定 ;2直
14、线与平面垂直的判定 ;3棱柱、棱锥、棱台的体积 已知椭圆 过 和点 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且 ，求直线 的方程 答案：（ 1） ;（ 2） 试题分析：（ 1）由已知将已知两点的坐标代入椭圆的方程中，可得到关于的方程组，解此方程组就可求得的值，进而就可写出椭圆的方程（）首先注意到由题意可得到直线 的斜率 存在，且 从而可用斜截式设出直线的方程，代入椭圆的方程消元得到一个一元二次方程，则此方程一定有两个不同的解，所以 ，可得到 的取值范围； 再由 ，得到 ，结合韦达定理可用 的代数式表示出线段的中点的坐标，然后由就可求出 的值，从而求得直线 的方程
15、试题：（ 1）因为椭圆 过点 和点 所以 ，由 ，得 所以椭圆 的方程为 4分 （ 2）显然直线 的斜率 存在，且 设直线 的方程为 由 消去 并整理得 ， 5分 由 ， 7分 设 ， ， 中点为 ， 得 ， 8分 由 ，知 ， 所以 ，即 化简得 ，满足 所以 12分 因此直线 的方程为 14分 考点：椭圆的的方程；直线与椭圆的位置关系 已知二次函数 + 的图象通过原点，对称轴为 ， 是 的导函数，且 （ 1）求 的表达式（含有字母 ）； （ 2）若数列 满足 ，且 ，求数列 的通项公式； （ 3）在（ 2）条件下，若 ， ，是否存在自然数 ，使得当 时 恒成立 若存在，求出最小的 ；若不存
16、在，说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）存在自然数M=4，使得当 n M时 n 2n+1-Sn 50恒成立 试题分析：（ 1）利用二次函数 f（ x） =ax2+bx+c的图象通过原点，对称轴为x=-2n，（ n N*） 是 f（ x）的导函数，且 ，可求 f（ x）的表达式（含有字母 n）； （ 2）由（）可得 ，从而有 ，利用叠加法：，求出数列 an的通项公式； （ 3）由 (2)可知 ，它是由一个等差数列 与一个等比数列 的对应项的积构成的一个新的数列，这种数列的前 n项和可利用两边同时乘公比相减的错位相减法求和先求出 ，然后就可将不等式 恒成立转化为只含 n的不等式恒成立问
17、题，即可得出结论 试题：（ 1）由已知，可得 ， ， 1分 解之得 ， 3分 4分 （ 2） 5分 = 8分 （ 3） 10分 （ 1） （ 2） （ 1） （ 2）得： 12 分 = ，即 ，当 时， 13 分 ，使得当 时， 恒成立 14分 考点：数列的通项与求和； 2恒成立问题； 3数列与函数的综合 已知函数 （ ， ）， （ 1）求函数 的单调区间，并确定其零点个数； （ 2）若 在其定义域内单调递增，求 的取值范围； （ 3）证明不等式 （ ） 答案：（ 1）当 时， 为 的减区间， 为 的增区间，有且只有一个零点；当 时， 为 的增区间， 为 的减区间， 有且只有一个零点 （ 2）
18、 ；（ 3）祥见 试题分析：（ 1）首先求出已知函数的导数，然后由导数为正（为负）求得函数的增（减）区间，结合函数的单调区间就可求得函数的零点的个数；注意分类讨论；（ 2）由 在其定义域内单调递增，可知 ， 恒成立，从而就可利用二次函数的图象来求得字母的取值范围；或者分离参数将不等式的恒成立问题转化为函数的最值问题来加以解决；（ 3）观察所证不等式左右两边，联想已知的函数，由（ 2）可知 当 时， 在内单调递增，而 ，所以当 时， ，即 令 ， 则 即 :，然后再令 n=1， 2， 3， ， n得到 n个式子，将这 n个式子相加就可得到所证不等式 试题：（ 1） 1分 则 2 分 （ i）若 ，则当 时， ；当 时， 所以 为 的增区间， 为 的减区间 3分 极大值为 所以 只有一个零点 （ ii）若 ，则当 时， ；当 时， 所以 为 的减区间， 为 的增区间 极小值为 4分 所以 只有一个零点 综上所述， 当 时， 为 的减区间， 为 的增区间， 有且只有一个零点； 当 时， 为 的增区间， 为 的减区间， 相关试题 2013-2014学年广东省汕头金山中学高二下学期期末考试文科数学试卷（带）
