1、2013-2014学年广东省汕头金山中学高二下学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若复数 z满足 ，则 z的虚部为 A B C D 答案： 试题分析：由已知得 ，所以的虚部为 ；故选 D 考点：复数的运算及概念 如图所示，圆 的直径 ， 为圆周上一点， ，过 作圆 的切线 ，则点 到直线 的距离 _. 答案： . 试题分析：由于 C为圆周上一点， AB是直径，所以 AC BC，而 BC=3，AB=6，得 BAC=30，进而得 B=60，所以 DCA=60，又 ADC=90，得 DAC=30， AD AC sin DCA 故应填入： . 考点：圆的切线的性质定理 如图，将一个各面都
2、涂了油漆的正方体，切割成 125个同样大小的小正方体。经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为 ，则的均值为 A B C D 答案： B 试题分析：由题意可知： X所有可能取值为 0， 1， 2， 3 8个顶点处的 8个小正方体涂有 3面， P（ X=3） = ； 每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下 3个，一共有 312=36个小正方体涂有 2面， P（ X=2） = ； 每个表面去掉四条棱上的 16个小正方形，还剩下 9个小正方形，因此一共有96=54个小正方体涂有一面， P（ X=1） = 由以上可知：还剩下 125-（ 8+36+54） =27个内部的小正方体的
3、6个面都没有涂油漆， P（ X=0） = 故 X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因此 E（ X） =0 +1 +2 +3 = 故选 B 考点：离散型随机变量的期望与方差 在平面直角坐标系中，不等式 表示的平面区域的面积是 A 8 B 4 C D 答案： 试题分析：由 |y-2|+|x+2|2得 |y-2|2-|x+2|， 若 y2，则不等式等价为 y-22-|x+2|，即 y4-|x+2|， 若 y 2，则不等式等价为 -（ y-2） 2-|x+2|，即 y|x+2|， 作出不等式组对应的平面区域如图： 则对应的区域为正方形，其中 C（ -2， 0）， D（ 0， 2）， |CD|= ，
4、则正方形的面积 ；故选： A 考点：简单线性规划 在区间 -3， 3上任取两数 x， y，使 成立的概率为 A B C D 答案： A 试题分析：由已知得所有基 本事件构成的图形是不等式组 所对应的平面区域，而使事件 “ 成立 ”发生的事件构成的图形是由不等式组所确定的平面区域；如图： ， 则所求概率为 ，故选 A 考点：几何概率；定积分 某几何体是由直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为 A B C D 答案： C 试题分析：设正视图正方形的边长为 m，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长 2b=m，俯视图的宽就是圆锥底面
5、圆的直径 ，得到俯视图中椭圆的长轴长 2a= ， 则椭圆的焦距 ，根据离心率公式得， ；故选： C 考点：三视图；椭圆的性质 已知某企业上半年前 5个月产品广告投入与利润额统计如下： 月份 1 2 3 4 5 广告投入（ x万元） 9.5 9.3 9.1 8.9 9.7 利润（ y万元） 92 89 89 87 93 由此所得回归方程为 ，若 6月份广告投入 10（万元）估计所获利润为（ ） A 95.25万元 B 96.5万元 C 97万元 D 97.25万元 答案： A 试题分析： 点 在回归直线上， 计算得 ， 回归方程过点（ 9.3， 90）代入得 90=7.59.3+a， a=20.
6、25；从而回归方程为y=7.5x+20.25,令 x=10,得 y=7.510+20.25=95.25,故选 A. 考点：回归分析 函数 的最小正周期为 A B C D 答案： 试题分析：函数 的最小正周期为 ，故选 考点：三角函数的性质 若 ,则 的解集为 ( ) A (0, ) B (-1,0) (2, ) C (2, ) D (-1,0) 答案： 试题分析：由已知得 ，所以 等价于，即 的解集为 (2, )；故选 考点：导数的运算；二次不等式组的解法 填空题 极坐标系中，圆 ： 的圆心到直线的距离是 _. 答案： . 试题分析：圆 O： 2+2cos-3=0即 （ x+1） 2+y2=4
7、，表示以（ -1， 0）为圆心、半径等于 2的圆直线 cos+sin-7=0 即 x+y-7=0，故圆心到直线的距离为；， 故应填入： 考点：简单曲线的极坐标方程 已知：长方体 ， ， 为对角线的中点，过 的直线与长方体表面交于两点 ， 为长方体表面上的动点，则 的取值范围是 答案： . 试题分析：如图所示 O 为对角线 AC1的中点， O（ 1， 2， 2）以下分类讨论：根据长方体的对称性和数量积的性质：取 P点时只要取顶点和每个表面的中心即可 当点 MN 在上下两个面时取 P（ 0， 0， 0），设 N（ x， y， 0），（ 0x2，0y4）则 M（ 2-x， 4-y， 4） =x（ 2
8、-x） +y（ 4-y） =-（ x-1） 2+（ y-2） 2+5，此时可得： 的取值范围是 0， 5 取点 P（ 1， 0， 2）， =（ 1-x， 4-y， -2）， =（ x-1， y， -2） 则 =-（ x-1） 2+y（ 4-y） -4=-（ x-1） 2+（ y-2） 2， 由于 0x2， 0y4， -5 0 此时可得： 的取值范围是 -5， 0 综上可得： 的取值范围是 -5， 5 当点 MN 在左右两个面时， 的取值范围是 -5， 5 当点 MN 分别上或下两个面、左或右时， 的取值范围是 -8， 8 综上可得： 的取值范围是 -8， 8 故应填入： -8， 8 考点：长方
9、体的对称性；数量积的性质 7颗颜色不同的珠子，可穿成 种不同的珠子圈 答案： . 试题分析：由于环状排列没有首尾之分，将 n个元素围城的环状排列剪开看成n个元素排成一排，即共有 种排法由于 n个元素共有 n种不同的剪法，则环状排列共有 种排法，而珠子圈没有反正，故 7颗颜色不同的珠子，可穿成 种不同的珠子圈故应填入： 360 考点：计数原理 二项式 的展开式中 的系数为 答案： 试题分析：由二项式 的展开式的通项公式为，令 ,所以 的系数为,故应填入 : 考点：二项式定理 . 函数 若不等式 f（ x） 6的解集为（ ， -2 4，+），则实数 a的值为 答案： 试题分析： a 0，故 f（
10、x） =|x+1|+|x-a|= ， 当 x-1时，解 -2x+a-16得： x ； 当 -1 x a时， f（ x） =1+a； 当 xa时，解 2x+1-a6得： x ； 又 f（ x） 6的解集为（ -， -2 4， +）， =-2且 =4且 1+a 4， +），解得 a=3故应填入： 3 考点：绝对值不等式的解法 答案： 试题分析：由已知得 ，故应填入： 考点：诱导公式 解答题 为了研究玉米品种对产量的影响，某农科院对一块试验田种植的一批玉米共 10000株的生长情况进行研究，现采用分层抽样方 法抽取 50株为样本，统计结果如下： 高茎 矮茎 合计 圆粒 11 19 30 皱粒 13
11、7 20 合计 24 26 50 (1)现采用分层抽样方法，从这个样本中取出 10株玉米，再从这 10株玉米中随机选出 3株，求选到的 3株之中既有圆粒玉米又有皱粒玉米的概率； (2)根据对玉米生长情况作出的统计，是否能在犯错误的概率不超过 0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关？ (下面的临界值表和公式可供参考 )： P(K2k) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 ，其中 n=a+b+c+d为样本容量 . 答案：（ 1） ；（ 2）能 试题分析：（ 1）现采用分层抽样的方
12、法，从样本中取出的 10株玉米中圆粒的有 6株，皱粒的有 4株，故可求从中再次选出 3株时，既有圆粒又有皱粒的概率； （ 2）代入公式计算 k的值，和临界值表比对后即可得到答案： 试题： (1)现采用分层抽样的方法，从样本中取出的 10株玉米中圆粒的有 6株，皱粒的有 4株，所以从中再次选出 3株时，既有圆粒又有皱粒的概率为. 6分 (2)根据已知列联表： ，又P(K23.841)=0.050，因此能在犯错误的概率不超过 0.050的前提下认为玉米的圆粒与玉米的高茎有关 . 12分 考点：独立性检验 一个袋中装有大小相同的黑球和白球共 9个，从中任取 2个球，记随机变量 为取出 2球中白球的个
13、数，已知 （ ）求袋中白球的个数； （ ）求随机变量 的分布列及其数学期望 答案：（ I）个； （ II）随机变量 的分布列如下： 0 1 2 试题分析：（ I）设袋中有白球 n个，利用古典概型的概率计算公式即可得到 P（ X=2） = ，解出即可； （ II）由（ I）可知：袋中共有 3 个黑球， 6 个白球随机变量 X 的取值为 0， 1，2，利用超几何分布的概率计算公式 可求出相应的概率，即可得出随机变量 X的分布列及其数学期望 试题：（ ）设袋中有白球 个，则 ， 即 ，解得 （ ）随机变量 的分布列如下： 0 1 2 考点：古典概型的概率计算公式；超几何分布的概率计算公式 数列 an
14、中， an0， an1，且 (n N*). (1)证明： anan+1； (2)若 ，计算 a2， a3， a4的值，并求出数列 an的通项公式 . 答案：（ 1）祥见；（ 2） 试题分析：（ 1）利用反证法，若 an+1=an，即 ，解得 an=0或 1，结论与题干条件矛盾 ;（ 2）法一：根据 ， ，求出 ， ，观察各项分子通项为 3n-1，分母通项为 3n-1+1，于是可以写出通项公式 an，进而可用数学归纳法加以证明法二：由(n N*)，取倒数得 ，从而可转化为：这样就可选求出等比数列 是以 为首项，为公比，从而可写出其通项公式，进而就可求出数列 an的通项公式 试题： (1)证明：
15、(反证法 )若 an=an+1，则由 (n N*)，得 ， 得 an=1，这与已知 an1相悖，故 anan+1. 4分 (2)方法一： (举例 -猜想 -证明 ) 若 ，由 (n N*)得， ， ， ，猜想： (n N*)， 8分 以下用数学归纳法证明： 当 n=1时， ，所以当 n=1时命题成立； 9分 假设当 n=k时，命题成立，即 ， 则当 n=k+1时， ， 12分 所以，当 n=k+1时，命题也成立，故 (n N*)， 13分 由 、 可知，对所有的自然数 n，都有 (n N*). 14分 (说明：其它方法请相应给分 ) 方法二： (利用数列递 推关系求通项公式 ) 由 (n N*
16、)，取倒数得 ， 又 ，令 2+3t=t，解得 t=-1， ， 是以 为首项， 为公比的等比数列， ， ， . 考点：反正法；数列递推式；数学归纳法 如图，在四棱锥 中，四边形 是正方形， ， 分别为 的中点 . （ ）求证 :平面 平面 ; （ ）求二面角 的平面角的大小 . 答案：（ ）祥见；（ ） 试题分析：（ ）欲证平面 EFG 平面 PCD，可根据面面平行的判定定理进行证明，即证明 EG 平面 PCD， EF 平面 PCD； （ ）取为坐标原点 DC 为 x轴 ,DA为 z轴建立空间直角坐标 ,应用空间向量知识来求 .也可取 PC中点 M，连接 EM， DM，根据二面角的平面角的定义
17、证明 DEM就是二面角 D-EF-B的平面角的补角，在 DEM中，即可求出二面角B-EF-D的平面角的大小 试题：（ ）因为 分别为 中点 ,所以 , 又因为 是正方形 , ,所以 ,所以 平面 . 因为 分别为 中点 ,所以 ,所以 平面 . 所以平面 平面 . （ ）法 1.易知 ,又 ,故 平面 分别以 为 轴和 轴 ,建立空间直角坐标系 (如图 ) 不妨设 则 , 所以 设 是平面 的法向量 ,则 所以 取 ,即 设 是平面 的法向量 ,则 所以 取 设二面角 的平面角的大小为 所以 ,二面角 的平面角的大小为 . 法 2.取 中点 ,联结 则 ,又 平面 , ,所以平面 ,所以 平面
18、 相关试题 2013-2014学年广东省汕头金山中学高二下学期期末考试理科数学试卷（带） 已知椭圆 ： 的左焦点 ，离心率为 ，函数， （ ）求椭圆 的标准方程； （ ）设 ， ，过 的直线 交椭圆 于 两点，求的最小值，并求此时的 的值 答案：（ ） ；（ ） 的最小值为 ,此时 . 试题分析：（ ）利用左焦点 F（ -1， 0），离心率为 ，及 求出几何量，即可求椭圆 C的标准方程； （ ）分类讨论，设直线 l的方程来： y=k（ x-t）代入抛物线方程，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，即可求 的最小值，并求此时的 t的值 试题：（ ） ,由 得 ,椭圆方程为 （ ）若直线 斜率不存在
19、 ,则 = 若直线 斜率存在 ,设直线 , 由 得 所以 故 故 的最小值为 ,此时 . 考点：直线与圆锥曲线的综合问题 已知 ，函数 （ 为自然对数的底数） . （ ）若 ，求函数 的单调区间； （ ）若 的最小值为 ，求 的最小值 答案：（ ） 的单调减区间为 单调增区间为 ；（ ） . 试题分析：（ ）由于当 a=1 时， ，则 ，分别由 f（ x） 0， f（ x） 0，进而求出函数 f（ x）的单调区间 （ ）由题意可知： 恒成立，且等号可取令转化为方程 求解 试题：（ ） 时 , , 当 时 , 当 时 , 所以 的单调减区间为 单调增区间为 . （ ）由题意可知 : 恒成立 ,且等号可取 . 即 恒成立 ,且等号可取 . 令 故 由 得到 ,设 , 当 时 , ;当 时 , . 在 上递减 , 上递增 .所以 当 时 , ,即 , 在 上 , , 递减 ; 在 上 , , 递增 . 所以 设 , , 在 上递减 ,所以 故方程 有唯一解 ,即 . 综上所述 ,当 时 ,仅有 满足 的最小值为 , 故 的最小值为 相关试题 2013-2014学年广东省汕头金山中学高二下学期期末考试理科数学试卷（带）
