1、2013-2014学年江苏扬州中学高二上学期 12月月考数学试卷与答案（带解析） 填空题 命题 “ ”的否定是 答案： . 试题分析：含特称量词命题的否定要改为全称量词的命题 .故填 . 考点：特称命题的否定形式 . 已知椭圆 E： ，椭圆 E的内接平行四边形的一组对边分别经过它的两个焦点（如图），则这个平行四边形面积的最大值是 答案： 试题分析：由题意得椭圆的半焦距为 .i)当直线 AB与 x轴垂直的时候 ABCD为矩形面积为 .ii)当直线 AB不垂直 x轴时假设直线.A（ ）， B（ ） .所以直线 AB与直线 CD的距离 d= .又有 .消去 y可得：. .所以.所以平行四边形的面积
2、S=令 .所以 .因为 时 .S的最大值为 4.综上 S的最大值为 4.故填 4.本题关键考查弦长公式点到直线的距离 . 考点： 1.分类的思想 .2.直线与椭圆的关系 .3.弦长公式 .4.点到直线的距离 . 已知可导函数 的导函数 满足 ，则不等式的解集是 答案： . 试题分析：因为 .又因为 所以 ，即函数 是递增的 .又因为 .即 .所以 x1.本题的关键是由 要构造出函数 .通过该函数的单调性即可得到结论 . 考点： 1.导数知识 .2.构造出新的函数 .3.根据函数的单调性 . 设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题： （ 1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平
3、行于 ； （ 2）若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 和 平行； （ 3）设 和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直； （ 4）直线 与 垂直的充分必要条件是 与 内的两条直线垂直 上面命题中，真命题的序号 （写出所有真命题的序号） 答案：（ 1）（ 2） . 试题分析：一个平面内两条相交直线与另一个平面的两条直线平行则这两条相交直线与平面平行，所以 (1)是正确的 .平面外一条直线与平面内一条直线平行则这条直线平行于这个平面这是直线与平面平行的判定定理 .所以 (2)正确 .平面内一条直线垂直与这个平面与另一平面的交线不能得到这两平面垂直 .所以（ 3）不正确 .直线
4、与平面垂直的充要条件是这条直线垂直于平面内两条相交直线 .所以(4)不正确 .本题的解题关键是记清各种判断定理，才能正确解题 . 考点： 1.面面平行 .2.直线与平面平行 .3.面面垂直 .4.直线与平面垂直 . 已知函数 的图 像如图所示，且则 的值是 答案： . 试题分析：因为 ，所以由 得 c=0.由图可知 f(0)=3可得 d=3.所以 c+d=3.故填 3.本题看是字母参数很多，但关键是利用两个条件就可以求出需要的两个字母的值 .图中标出 的位置在这里有迷惑的作用 . 考点： 1.函数的求导 .2.函数的极值点问题 .3.认真观察函数图像 . 若 “ ”是 “ ”的必要不充分条件，
5、则 的最大值为 答案： -1. 已知椭圆 的离心率 ， A,B 是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于 A,B的一点，直线 PA,PB倾斜角分别为 ，则 答案： . 试题分析 :由 可得 .让 P取在短轴的顶点上则 .又因为 = .本题采用特值法使得解题简单 .由于点是动点所以不用特值法很难解 .这也是数学选择天空题中的常用的一种有效的方法 . 考点： 1.椭圆的离心率 .2.三角函数的运算 .3.特值法的使用 . 如图，在三棱柱 中， 分别是 的中点，设三棱锥 的体积为 ，三棱柱 的体积为 ，则 答案： . 试题分析：因为 = .又因为 =.所以 .本题关键是要把握高的比等于相似比，面积比等于
6、相似比的平方 . 考点： 1.三棱锥的体积 .2.三棱柱的体积 .3.三角形的相似知识 . 在不等式组 所表示的平面区域内所有的格点（横、纵坐标均为整数的点称为格点）中任取 3个点，则该 3点恰能成为一个三角形的三个顶点的概率为 答案： . 试题分析：如图总共有 5个点，所以，每三个点一组共有 10种情况 .其中不能构成三角形的只有一种共线的情况 .所以能够成三角形的占 .本题考查的是线性规划问题 .结合概率的思想 .所以了解格点的个数是关键 . 考点： 1.线性规划问题 .2.概率问题 .3.格点问题 . 若双曲线 的离心率为 2，则 的值为 答案： . 试题分析：依题意可得 .本题考查的双
7、曲线的基本知识 .关键是要把所给的方程与标准方程相对应好 . 考点： 1.双曲线的标准方程 .2.双曲线的离心率 . 一枚骰子（形状为正方体，六个面上分别标有数字 1， 2， 3， 4， 5， 6的玩具）先后抛掷两次，骰子向上的点数依次为 则 的概率为 答案： . 试题分析：由抛一枚骰子两次基本事件总数为 30.两次都相同的情况共有 6种 .（ 1,1），（ 2,2），（ 3,3），（ 4,4），（ 5,5），（ 6,6） .所以不相同的共有 25种情况 .即不相同的概率为 .本题通过对立事件的研究得到所要的结果 .这种 “正难则反 ”方法经常是用 . 考点： 1.古典概 型的含义 .2.正难
8、则反的思维 . 已知函数 ，则 答案： . 试题分析：两函数的差求导数 .分别求导再相减 .故填 .正弦函数的导数是余弦函数 . 考点： 1.函数的差的求导方法 .2.正弦函数的导数 . 已知正四棱锥的底面边长是 6，高为 ，这个正四棱锥的侧面积是 答案： . 试题分析：由题意可得正四棱锥的高和斜高及底面正方形的半边长构成一个直角三角形 .斜高 = .所以侧面积 .故填 48.本题关键是由斜高、半底面边长、四棱锥的高构成的直角三角形 .通过解该三角形找到突破口 . 考点： 1.棱锥的侧面积的求法 .2.解直角三角形 . 抛物线 的焦点坐标为 答案： . 试题分析：该抛物线的图像在 y轴的右侧
9、.关于 x轴对称 .焦点的横坐标是 .所以焦点坐标为（ 2,0） .故填（ 2,0） .求抛物线的焦点的问题 .如果不是标准方程，就将系数除以 4可得焦点的横坐标（或纵坐标） .当然也可以化为标准方程再求 . 考点：抛物线的标准方程 . 解答题 已知椭圆 的左右两焦点分别为 ， 是椭圆上一点，且在 轴上方， （ 1）求椭圆的离心率 的取值范围； （ 2）当 取最大值时，过 的圆 的截 轴的线段长为 6，求椭圆的方程； （ 3）在（ 2）的条件下，过椭圆右准线 上任一点 引圆 的两条切线，切点分别为 试探究直线 是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2） ；
10、（ 3） . 试题分析：（ 1）由 , , .即可求得 的取值范围 . (2)由（ 1）可得 .以及 是圆的直径可得 .即可求出椭圆的方程 . （ 3）由（ 2）可得圆 Q 的方程 .切点 M,N 所在的圆的方程上任一点坐标为 P（ x,y） .由 .即得 .则 M,N 所在的直线方程为 .两圆方程对减即可得到 .根据过定点的知识即可求出定点 .本题涉及的知识点较多，渗透方程的思想，加强 对几何图形的关系理解 . 试题： ， ， (1) ， ,在 上单调递减 时， 最小 ， 时， 最大 ， ， (2)当 时， ， ， , 是圆的直径，圆心是 的中点， 在 y轴上截得的弦长就是直径， =6又 ，
11、 椭圆方程是 10分 （ 3）由（ 2）得到 ，于是圆心 ,半径为 3，圆 的方程是椭圆的右准线方程为 ， , 直线 AM,AN 是圆 Q 的两条切线， 切点 M,N 在以 AQ 为直径的圆上设 A点坐标为 ， 该圆方程为 直线 MN 是两圆的公共弦，两圆方程相减得： ，这就是直线 MN 的方程该直线化为： 直线 MN 必过定点 16分 考点： 1.椭圆的离心率 .2.椭圆的标准方程 .3.两圆的公共线的方程 .4.过定点问题 . 如图，在四棱柱 中，已知平面 ，且 (1)求证： ; (2)在棱 BC 上取一点 E，使得 平面 ，求 的值 答案：（ 1）证明参考；（ 2） 试题分析：（ 1）由
12、于 AB=CB,AD=CD,BD=BD.可得三角形 ABD全等于三角形CBD.所以这两个三角形关于直线 BD对称 .所以可得 .再由面面垂直即可得直线 BD垂直于平面 .从而可得 . （ 2）由于 AC= .AD=CD=1.所以可得角 ACD等于 300.又因为角 ACB等于 600.所以可得角 DCB为直角 .所以取 BC 边上的中点即为所求的点 .本题考查的知识点是面面垂直线面垂直即线面平行 .以及一个开放性的问题 . 试题：证明：（ 1）在四边形 ABCD 中，因为 BA=BC,DA=DC，所以 平面 ，且 所以 (2)点 E为 BC 中点，即 , 下面给予证明：在三角形 ABC 中，因
13、为 AB=AC，却 E为 BC 中点，所以, 又在四边形 ABCD中， AB=BC=CA= ,DA=DC=1，所以 , 所以 ，即平面 ABCD中 有， 因为 平面 .AE 平面 . 所以 AE 平面 . 考点： 1.面面平行 .2.线线垂直 .3.线面平行 .4.开放性的题目 . 如图，过点 的两直线与抛物线 相切于 A、 B两点， AD、 BC垂直于直线 ，垂足分别为 D、 C （ 1）若 ，求矩形 ABCD面积； （ 2）若 ，求矩形 ABCD面积的最大值 答案：（ 1） 14 （ 2） 试题分析：（ 1）当 =1时，假设切线为 y=kx+1,联立 .令判别式为零可求得 k及切点坐标 .
14、即可求出面积 .（ 2）假设切点，对抛物线求导求出斜率写出切线方程，代入定点 (0, )求出切点坐标（含 ） .写出面积的表达式 .根据 的范围求出 S的最大值 .本题是常见的直线与抛物线的关系的题型 .设切点，联立方程找出关于切点的等式 .通过对参数 的分类求出相应的最大值 . 试题：（ 1） 时， （详细过程见第（ 2）问） 6分 （ 2）设切点为 ，则 , 因为 ，所以切线方程为 , 即 ， 因为切线过点 ，所以 ，即 ，于是 将 代入 得 (若设切线方程为 ，代入抛物线方程后由 得到切点坐标，亦予认可 ) 所以 ， 所以矩形面积为 ， 所以当 时， ；当 时， ； 故当 时， S有最大
15、值为 15分 考点： 1.直线与抛物线的关系 .2.特殊到一般的思维方式 .3.导数求最值 . 如图，在四棱锥 P-ABCD中， PD 底面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形，DC AB， BAD ，且 AB 2AD 2DC 2PD 4， E为 PA的中点 （ 1）证明： DE 平面 PBC； （ 2）证明： DE 平面 PAB 答案：（ 1）参考；（ 2）参考 . 试题分析：（ 1）直线与平面的平行有两种方法证明第一是在平面内找一条直线与该平面平行，就如本题的证明 .E点是中点所以找到 PB的中点即可 .另外也可以通过平面与平面平行来证明 .（ 2）直线与平面的垂直是要证明该直线与平面内两
16、条相交直线垂直 .DE垂直于 PA较好证 .另外一条又要通过直线 AB垂直平面PAD来证明即可 .这类题型主要思路是线线关系，线面关系，面面关系之间相互转化 . 试题：（ 1）设 PB的中点为 F，连结 EF、 CF， EF AB， DC AB，所以EF DC，且 EF DC 故四边形 CDEF为平行四边形，可得 ED CF 又 ED 平面 PBC， CF 平面 PBC， 故 DE 平面 PBC （ 2）因为 PD 底面 ABCD， AB 平面 ABCD，所以 AB PD 又因为 AB AD， PD AD D， AD 平面 PAD， PD 平面 PAD，所以 AB平面 PAD ED 平面 PA
17、D，故 ED AB又 PD AD， E为 PA的中点，故 ED PA； PA AB A， PA 平面 PAB， AB 平面 PAB，所以 ED 平面 PAB 考点： 1.线面平行 .2.线面垂直 . 求实数 的取值组成的集合 ，使当 时， “ ”为真， “ ”为假 其中 方程 有两个不相等的负根； 方程无实数根 答案： 试题分析：由 “ ”为真， “ ”为假可知 .p,q命题其中一真一假 .分别求出p,q为真命题的 m的取值范围 .即可求得结论 .其中 p是求得两个不相等的负根 .由于两根之积为是正的，所以只需要两根之和为负即可 .所以需要 m0这个条件 . 试题： 5 分 即 10 分 13
18、分 综上所述： 14分 考点： 1.含连接词的复合命题 .2.二次方程的根的分布 .3.集合的概念 . 已知函数 ( 为实常数 ) （ 1）当 时，求函数 在 上的最大值及相应的 值； （ 2）当 时，讨论方程 根的个数 （ 3）若 ，且对任意的 ，都有 ，求实数a的取值范围 . 答案：（ 1） . ；（ 2） 时，方程有 2个相异的根 . 或 时，方程 有 1个根 . 时，方程 有 0个根 .（ 3） . 试题分析：（ 1）通过求导数可得函数的单调性，在对比区间的两端点的函数值即可求得函数的最大值 .（ 2）由于参数 的变化 .可以采取分离变量的方法，转化为两个函数的交点个数问题 .其中一个
19、是垂直于 y轴的直线，另一个是通过求出函数的走向 .根据图像即可得到结论 .（ 3）将要说明的结论通过变形得到一个等价问题从而证明新的函数的单调性，使得问题巧妙地转化 .本题只是容量大 .通过研究函数的单调性，含参函数的讨论 .与不等式的相结合转化为函数的单调性的证明 . 试题：（ 1） ，当 时， 当时 ， ，又 ， 故 ，当 时，取等号 4分 （ 2）易知 ，故 ，方程 根的个数等价于 时，方程根的个数 设 = ， 当 时， ，函数 递减，当 时， ，函数递增又 ， ，作出 与直线 的图像，由图像知： 当 时，即 时，方程 有 2个相异的根； 当 或 时，方程 有 1个根； 当 时，方程 有 0个根； 10分 （ 3）当 时， 在 时是增函数，又函数 是减函数，不妨设，则 等价于 即 ，故原题等价于函数 在 时是减函数， 恒成立，即 在 时恒成立 在 时是减函数 16分 （其他解法酌情给分） 考点： 1.函数的最值问题 .2.函数的单调性 .3.函数与不等式的关系以及转化为函数的单调性的证明 .
