1、2013-2014学年江苏省徐州市五县二区高一期中考试数学试卷与答案（带解析） 填空题 化简 sin20cos40+cos20sin40 . 答案： 试题分析：根据 得： sin20cos40+cos20sin40 . 考点：两角和的正弦公式 已知等腰三角形腰上的中线长为 ，则该三角形的面积的最大值为 . 答案： 试题分析：设这个三角形是 ABC，其中 AB=AC，点 D、 E分别是边 BC、 AC的中点，且 BE与 AD的交点是 O，则点 O 就是三角形 ABC的重心 .此时，三角形 ABC 的面积就是三角形 BOD的面积是 6倍，而三角形 BOD是以为斜边的直角三角形，当 DO=DB时，三
2、角形 BOD的面积取最大值 ，因此三角形 ABC的面积的最大值是 2. 考点：基本不等式求最值 某货轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军护卫舰在 A处获悉后，测得该货轮在北偏东 45o方向距离为 10海里的 C处，并测得货轮正沿北偏东105o的方向、以每小时 9海里的速度向附近的小岛靠拢。我海军护卫舰立即以每小时 21海里的速度前去营救；则护卫舰靠近货轮所需的时间是 小时 答案： 试题分析：设小岛为 B，则 ，设护卫舰靠近货轮所需的时间是 t小时，则 AC=10， BC=9t,AB=21t.由余弦定理得：解得 . 考点：实际问题中解三角形 设等差数列 的前 项和为 ，已知 ,且 ，则下列结
3、论中正确的有 （填序号） 此数列的公差 ； ； 是数列 的最大项； 是数列 中的最小项 答案： 试题分析：因为 ， ，所以 是数列 的最大项； 是所有正项的和，所以 数列 中的最大项因为所以 . 考点：等差数列性质 在等式 的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角是 . 答案： 试题分析：因为， 所以这个锐角是 . 考点：三角函数式化简 数列 的前 项和 ,则 答案： 试题分析：因为 ，所以考点：裂项相消求和 设等差数列 的前 n项和为 ，则 = . 答案： 试题分析：由等差数列性质知： 也成等差，所以成等差，即 ，因此 考点：等差数列性质 已知 为锐角 , 则 . 答案： 试题分析：因
4、为 为锐角 , 所以 因此. 考点：两角差的正切公式 已知 -7， ， ， -1四个实数成等差数列， -4， ， ， ， -1五个实数成等 比数列，则 = . 答案： -1 试题分析：因为 -7， ， ， -1四个实数成等差数列，所以因为 -4， ， ， ， -1五个实数成等比数列，所以又 所以 因此 = 考点：等差数列及等比数列基本量 在 ABC中， A=60， B=75， ，则 a=_. 答案： 试题分析： 由正弦定理得： 而 所以a= . 考点：正弦定理 . 的三内角 成等差数列，且 ，则 = . 答案： 试题分析：因为 的三内角 成等差数列，所以又 ，所以 = . 考点：三内角成等差数
5、列 数列 中 , ,那么此数列的前 10项和 = . 答案： 试题分析：由 得 所以数列 是以 为首项， 2为公差的等差数列，因此 . 考点：等差数列定义 在 中， ，则 =_ _ 答案： 试题分析：由正弦定理得： ，因为，所以 = . 考点：正弦定理 已知数列 an的通项公式为 an= (-1)n n，则 a4=_ 答案： 试题分析：因为 an= (-1)n n，所以 考点：数列通项公式 解答题 已知 内角 所对的边分别是 ，且 （ 1）若 ，求 的值； （ 2）求函数 的值域 答案：（ 1） ，（ 2） . 试题分析：（ 1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行变角转化 . 由即 ，又 中
6、， ，得 ，解得： . （ 2）求三角函数性质，需将三角函数化为基本三角函数 .利用两角和的余弦公式及倍角公式可得：，由，所以值域为 解：（ 1） 即 ， （ 2分） 又 中， ，得 （ 6分） 解得： （ 8分） （ 2） (10分 ) （ 14分） 所以值域为 （ 16分） 考点：正余弦定理，三角函数值域 设 ABC三个内角 A、 B、 C所对的边分别为 a， b， c. 已知 C ，acosA=bcosB （ 1）求角 A的大小； （ 2）如图，在 ABC的外角 ACD内取一点 P，使得 PC 2过点 P分别作直线 CA、 CD的垂线 PM、 PN，垂足分别是 M、 N设 PCA ，求
7、PM PN的最大值及此时 的取值 答案：（ 1） A ,（ 2） 2 试题分析：（ 1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行变角转化 . 由 acosA bcosB 及正弦定理可得 sinAcosA sinBcosB，即 sin2A sin2B，又 A (0， )，B (0， )，所以有 A B或 A B 又因为 C ，得 A B ，与 A B 矛盾，所以 A B，因此 A （ 2）求 PM PN的最大值 ,需先将 PMPN表示为 的函数式 . 在 Rt PMC中， PM PC sin PCM 2sin；在Rt PNC中， PN PC sin PCN PC sin(- PCB) 2sin-(
8、) 2sin ( )， (0， )，所以， PM PN 2sin 2sin ( ) 3sin cos 2sin( ).因为 (0， )，所以 ( ， )，从而有 sin( ) ( ， 1，即 2 sin( ) ( ， 2 于是，当 ，即 时， PM PN取得最大值 2 解（ 1）由 acosA bcosB及正弦定理可得 sinAcosA sinBcosB， 即 sin2A sin2B，又 A (0， )， B (0， )， 所以有 A B或 A B 3分 又因为 C ，得 A B ，与 A B 矛盾， 所以 A B，因此 A 6分 （ 2）由题设，得 在 Rt PMC中， PM PC sin
9、PCM 2sin； 在 Rt PNC中， PN PC sin PCN PC sin(- PCB) 2sin-( ) 2sin ( )， (0， ). 8分 所以， PM PN 2sin 2sin ( ) 3sin cos 2 sin( ). 12分 因为 (0， )，所以 相关试题 2013-2014学年江苏省徐州市五县二区高一期中考试数学试卷（带） 在斜三角形 中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c. （ 1）若 ，求 的值； （ 2）若 ，求 的值 . 答案：（ 1） ，（ 2） 试题分析：（ 1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行变角转化 . 因为，所以由正余弦定理，得 ，
10、整理得 ，即 .本题也可化角： （ 2）在斜三角形 中， ，所以 可化为，即 故整理，得，因为 ABC 是斜三角形，所以 sinAcosAcosC ，所以 解：（ 1）由正弦定理，得 从而 可化为 3分 由余弦定理，得 整理得 ，即 . 7分 （ 2）在斜三角形 中， ， 所以 可化为 ， 即 10分 故 整理，得 ， 12分 因为 ABC是斜三角形，所以 sinAcosAcosC ， 所以 14分 考点：正余弦定理 已知函数 ， ， . （ 1）求函数 的值域； （ 2）若函数 的最小正周期为 ，则当 时，求 的单调递减区间 . 答案：（ 1） ，（ 2） . 试题分析：（ 1）求三角函数性
11、质，需将三角函数化为基本三角函数 .利用倍角公式可得 ，因此 的值域为， （ 2） 的最小正周期为 ， ，即 . ， 递减， 由，得到 ， 单调递减区间为 . 解：（ 1） 5分 ， 的值域为 7分 （ 2） 的最小正周期为 ， ，即 ， 递减， 由 ，得到 ， 单调递减区间为 -14分 考点：三角函数性质 已知各项均为正数的等比数列 中， （ 1）求公比 ； （ 2）若 分别为等差数列 的第 3项和第 5项，求数列 的通项公式 答案：（ 1） , （ 2） . 试题分析：（ 1）求等比数列公比，需根据条件列出有关公比的等量关系 . 由已知得 ， 又 ， （ 2）求等差数列 的通项公式，就是要
12、求出首项与公差，这需列出两个独立方程才可确定 . 由（ 1）可得 因此等差数列 的公差 ，即可利用等差数列的广义定义： 进行求解 . 解：（ 1）由已知得 ， ， 4分 又 ， 6分 （ 2）由（ 1）可得 8分 设等差数列 的公差为 ，则 ， 10分 14分 考点：等差数列与等比数列基本运算 已知数列 an成等比数列，且 an （ 1）若 a2-a1=8， a3=m 当 m=48时，求数列 an的通项公式； 若数列 an是唯一的，求 m的值； （ 2）若 a2k a2k-1 ak 1- (ak ak-1 a1 ) 8， k N*，求 a2k 1 a2k 2 a3k的最小值 答案：（ 1） a
13、n 8(2- )(3 )n-1，或 an 8(2 )(3- )n-1， an 2n 2（ 2） 32 试题分析：（ 1） 确定等比数列通项，只需确定首项及等比，这需两个独立条件由 a2-a1 8， a3 m 48，得 解之，得 或所以数列 an的通项公式为 an 8(2- )(3 )n-1，或 an8(2 )(3- )n-1 正确理解数列 an是唯一的的含义，即关于 a1与 q的方程组 有唯一正数解，即方程 8q2-mq m 0有唯一解由 m2-32m 0， a3 m 0，所以 m 32，此时 q 2经检验，当 m 32时，数列 an唯一，其通项公式是 an 2n 2（ 2）由 a2k a2k
14、-1 ak 1- (akak-1 a1 ) 8，得 a1(qk-1)(qk-1 qk-2 1) 8，且 q 1 a2k 1 a2k 2 a3k a1q2k(qk-1 qk-2 1) 32，当且仅当 ，即 q ， a1 8( -1)时， a2k 1 a2k 2 a3k的最小值为 32. 解：设公比为 q，则由题意，得 q 0 （ 1） 由 a2-a1 8， a3 m 48，得 解之，得 或 所以数列 an的通项公式为 an 8(2- )(3 )n-1，或 an 8(2 )(3- )n-1 5分 要使满足条件的数列 an是唯一的，即关于 a1与 q的方程组 有唯一正数解，即方程 8q2-mq m 0有唯一解 由 m2-32m 0， a3 m 0，所以 m 32，此时 q 2 经检验，当 m 32时，数列 an唯一，其通项公式是 an 2n 2 10分 （ 2）由 a2k a2k-1 ak 1- (ak ak-1 a1 ) 8， 得 a1(qk-1)(qk-1 qk-2 1) 8，且 q 1 13分 a2k 1 a2k 2 a3k a1q2k(qk-1 qk-2 1) 32， 当且仅当 ，即 q ， a1 8( -1)时， a2k 1 a2k 2 a3k的最小值为 32 16分 考点：数列综合应用
