1、2013-2014学年江苏省扬州中学高一下学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 填空题 不等式 0的解集为 _ 答案： (-3,2) 试题分析：由 0得： ，所以原不等式的解集为 (-3,2). 解简单分式不等式，需注意不能轻易去分母 . 考点：解简单分式不等式 已知 ABC中，角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c，且 BC边上的高为 a，则 的取值范围为 _ 答案： 2, 试题分析：由三角形面积公式得： ,由余弦定理得：，所以，又，所以 的取值范围为 2, . 考点：三角形面积公式，余弦定理，基本不等式 若 f (x) x 在 x3时有最小值 4，则 a _ 答案： 试题分析：当 时 ，
2、当且仅当 时取等号 .由 得： ，舍去；因此在 上单调增函数，所以 ，当时 为单调增函数，所以 ，舍去 . 考点：基本不等式 已知等差数列 an的前 n项和为 Sn (a 1)n2 a，某三角形三边之比为a2 a3 a4，则该三角形的最大角为 _ 答案： 试题分析：因为 an为等差数列，所以前 n项和中常数项为零，即三角形的最大角的余弦为 ，因此最大角为 考点：等差数列前 n项和性质，余弦定理 已知等差数列 an的前 20项的和为 100，那么 a7 a14的最大值为 _ 答案： 试题分析：因为等差数列 an的前 20项的和为 100，所以因此 ，即 a7 a14的最大值为 25. 考点：等差
3、数列性质，基本不等式 设等差数列 an的前 n项的和为 Sn，若 a1 0， S4 S8，则当 Sn取最大值时，n的值为 _ 答案： 试题分析：由题意得，等差数列为单调递减数列，因此其前 n项的和为 Sn为开口向下的二次函数，对称轴为 ，所以当 Sn取最大值时， n的值为 6. 考点：等差数列前 n项的和性质 在 ABC中，已知 A 45， AB ， BC 2，则 C _ 答案： 试题分析：由正弦定理得： ,所以 因为 ，所以角 C必为锐角，因此 C 30. 考点：正弦定理 在正项等比数列 an中， a1和 a19为方程 x2-10x 16 0的两根，则 a8 a12_ 答案： 试题分析：由韦
4、达定理得 ，由等比数列性质：若则 得 考点：等比数列性质 函数 y sin cos 的最小正周期为 _ 答案： 试题 分析：因为，所以最小正周期为 考点：三角函数周期 若不等式 ax2 bx 2 0的解集为 ，则 a-b _ 答案： -10 试题分析：由题意得： 为方程 的两根，且 由韦达定理得： 考点：一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系 函数 y sinx cosx， x ， 的值域是 _ 答案： 0, 试题分析：因为 又 ，所以研究三角函数性质首先化为基本三角函数形式 . 考点：三角函数性质 在等差数列 an中， a3 a6 3a7 20，则 2a7a8的值为 _ 答案： 试题分析：
5、等差数列性质：若 则 ，所以因此 考点：等差数列性质 sin15o sin30o sin75o的值等于 _ 答案： 试题分析： 给角求值问题，需注意角之间倍角或互余关系 . 考点：二倍角公式，诱导公式 若 x 0、 y 0，且 x y 1，则 x y的最大值为 _ 答案： 试题分析：因为 ，当且仅当 时取等号，所以 x y的最大值为 .运用基本不等式求最值需满足： “一正二定三相等 ”. 考点：基本不等式 解答题 某地方政府准备在一块面积足够大的荒地上建一如图所示的一个矩形综合性休闲广场，其总面积为 3000平方米，其中场地四周 (阴影部分 )为通道，通道宽度均为 2米，中间的三个矩形区域将铺
6、设塑胶地面作为运动场地 (其中两个小场地形状相同 )，塑胶运动场地占地面积为 S平方米 （ 1）分别写出用 x表示 y和 S的函数关系式（写出函数定义域）； （ 2）怎样设计能使 S取得最大值，最大值为多少？ 答案：（ 1） y (6 x 500) S=3030- ， 6 x 500. （ 2） x 50 m， y 60 m时，最大面积是 2430 m2. 试 题分析：（ 1）解实际问题应用题，关键正确理解题意，列出函数关系式，注意交代定义域 . 由已知 xy 3000,2a 6 y x 6， y 6，故 y ，由 y 6，解得 x 500， y (6 x 500) S (x-4)a (x-6
7、)a (2x-10)a，根据 2a6 y，得 a -3 -3， S (2x-10) 3030- ， 6x 500.（ 2）由基本不等式求最值，注意等于号取值情况 .S 3030-3030-2 3030-2300 2430，当且仅当 6x ，即 x 50时等号成立，此时 y 60. 解：（ 1）由已知 xy 3000,2a 6 y x 6， y 6，故 y ， 由 y 6，解得 x 500， y (6 x 500) S (x-4)a (x-6)a (2x-10)a， 根据 2a 6 y，得 a -3 -3， S (2x-10) 3030- ， 6 x 500. （ 2） S 3030- 3030
8、-2 3030-2300 2430， 当且仅当 6x ，即 x 50时等号成立，此时 y 60. 所以，矩形场地 x 50 m， y 60 m时，运动场的面积最大，最大面积是 2430 m2. 考点：函数应用题，基本不等式求最值 已知 an是公比为 q的等比数列，且 am、 am+2、 am+1成等差数列 （ 1）求 q的值； （ 2）设数列 an的前 n项和为 Sn，试判断 Sm、 Sm+2、 Sm+1是否成等差数列？并说明理由 答案：（ 1） q 1或 - （ 2）当 q 1时， Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列； q - 时， Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列 试题
9、分析：（ 1）根据三数成等差数列，列出等量关系： 2am+2 am+1 am 2a1qm+1 a1qm a1qm 1， 在等比数列 an中， a10， q0， 2q2 q 1，解得 q 1或 -（ 2）根据等比数列前 n项和公式 分类讨论：若 q 1，Sm Sm+1 ma1 (m 1)a1 (2m 1)a1， Sm+2 (m 2)a1 a10， 2Sm+2S m Sm+1若 q - ， Sm+2 a1 a1， Sm Sm+1 a1 a1 a1 a1， 2 Sm+2 Sm Sm+1 解：（ 1）依题意，得 2am+2 am+1 am 2a1qm+1 a1qm a1qm 1 在等比数列 an中，
10、a10， q0， 2q2 q 1，解得 q 1或 - （ 2）若 q 1， Sm Sm+1 ma1 (m 1)a1 (2m 1)a1， Sm+2 (m 2)a1 a10， 2Sm+2S m Sm+1 若 q - ， Sm+2 a1 a1 Sm Sm+1 a1 a1 a1 a1 2 Sm+2 Sm Sm+1 故当 q 1时， Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列； q - 时， Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列 考点：等比数列前 n项和公式 已知圆的内接四边形 ABCD的边长分别为 AB 2， BC 6， CD DA 4， （ 1）求角 A的大小； （ 2）求四边形 ABCD的
11、面积 答案：（ 1） A 120o（ 2） 8 试题分析：（ 1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化 . 由面积公式有四边形 ABCD的面积 S S ABD S BCD AB AD sinA BC CDsinC， A C 180o sinA sinC S 16sinA由余弦定理得： BD2 AB2AD2-2AB AD cosA 20-16cosA， BD2 CB2 CD2-2CB CD cosC 52-48cosC， 20-16cosA 52-48cosC解之： cosA - , 又 0o A 180o, A120o，（ 2）由 (1)有四边形 ABCD的面积 S 16 ，所以 S
12、16sin120o 8. 解：四边形 ABCD的面积 S S ABD S BCD AB AD sinA BC CDsinC A C 180o sinA sinC S 16sinA 由余弦定理得： BD2 AB2 AD2-2AB AD cosA 20-16cosA， BD2 CB2 CD2-2CB CD cosC 52-48cosC， 20-16cosA 52-48cosC解之： cosA - , 又 0o A 180o, A 120o， S 16sin120o 8 考点：正余弦定理，三角形面积公式 设函数 f (x) cos(2x ) sin2x 2a （ 1）求函数 f (x)的单调递增区间
13、 （ 2）当 0x 时， f (x)的最小值为 0，求 a的值 答案：（ 1） ，（ 2） a - 试题分析：（ 1）研究三角函数性质首先化为基本三角函数形式 .即. f (x) cos2x sin2x 2a sin(2x ) 2a再根据基本三角函数性质列不等关系：由 得 f (x)的单调递增区间为 （ 2）由 0x ，得 ，故 sin(2x)1由 f (x)的最小值为 0，得 2a 0解得 a - 解：（ 1） f (x) cos2x sin2x 2a sin(2x ) 2a 由 ，得 kp- xkp （ k Z） 所以， f (x)的单调递增区间为 （ 2）由 0x ，得 ，故 sin(2
14、x )1 由 f (x)的最小值为 0，得 2a 0解得 a - 考点：三角函数性质 已知 a、 b、 c分别是 ABC三个内角 A、 B、 C的对边 （ 1）若 ABC面积为 ， c 2， A 60o，求 a， b的值； （ 2）若 acosA bcosB，试判断 ABC的形状，证明你的结论 答案：（ 1） a ， b 1，（ 2）直角三角形或等腰三角形 试题分析：（ 1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化 .由面积公式有 bcsinA bsin60o， b 1再由余弦定理 a2 b2 c2-2bccosA 3， a （ 2）由正弦定理得 2RsinA a， 2RsinB b， 2
15、RsinAcosA2RsinBcosB，即 sin2A sin2B，由已知 A、 B为三角形内角， A B 90o或A B ABC为直角三角形或等腰三角形 .本题也可从余弦定理出发：所以 或 . 解：（ 1）由已知得 bcsinA bsin60o， b 1 由余弦定理 a2 b2 c2-2bccosA 3， a （ 2）由正弦定理得 2RsinA a， 2RsinB b， 2RsinAcosA 2RsinBcosB，即 sin2A sin2B，由已知 A、 B为三角形内角， A B 90o或 A B ABC为直角三角形或等腰三角形 考点：正余弦定理 已知数列 an是等差数列，数列 bn是等比数
16、列，且对任意的 n N*，都有a1b1 a2b2 a3b3 anbn n 2n+3 （ 1）若 bn的首项为 4，公比为 2，求数列 an bn的前 n项和 Sn； （ 2）若 a1 8 求数列 an与 bn的通项公式； 试探究：数列 bn中是否存在某一项，它可以表示为该数列中其它 r（ r N，r2）项的和？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由 答案：（ 1） Sn 2n+2 n2 3n-4（ 2） an 4n 4， bn 2， 不存在 试题分析：（ 1）条件 “a1b1 a2b2 a3b3 anbn”实质为数列 前 n项的和，所以按已知 求 方法进行化简 . a1b1 a2b2 a3b
17、3 anbn n2n+3 a1b1 a2b2 a3b3 an-1bn-1 (n-1) 2n+2 (n2) 两式相减得： anbn n2n+3-(n-1) 2n+2 (n 1) 2n+2 (n2) 而当 n 1时， a1b1 24适合上式， anbn (n 1) 2n+2 (n N*) bn是首项为 4、公比为 2的等比数列 bn 2n+1 an 2n2， an bn的前 n项和 Sn 2n+2 n2 3n-4（ 2） 由（ 1）有 anbn (n 1) 2n+2， 设 an kn b，则 bn bn-1(n2) 设 bn的公比为 q，则 q对任意的n2恒成立，即 k(2-q)n2 b(2-q)
18、n 2(b-k) 0对任意的 n2恒成立， 又 a1 8， k b 8 k b 4， an 4n 4， bn 2n 存在性问题，一般从假设存在出发，有解就存在，无解就不存在 .本题从范围角度说明解不存在 . 解：（ 1） a1b1 a2b2 a3b3 anbn n 2n+3 a1b1 a2b2 a3b3 an-1bn-1 (n-1) 2n+2 (n2) 两式相减得： anbn n 2n+3-(n-1) 2n+2 (n 1) 2n+2 (n2) 而当 n 1时， a1b1 24适合上式， anbn (n 1) 2n+2 (n N*) bn是首项为 4、公比为 2的等比数列 bn 2n+1 an 2n 2， an bn的前 n项和 Sn 2n+2 n23n-4 （ 2） 设 an kn b，则 bn ， bn-1 (n2) 设 bn的公比为 q，则 q对任意的 n2恒成立， 即 k(2-q)n2 b(2-q)n 2(b-k) 0对任意的 n2恒成立， 又 a1 8， k b 8 k b 4， an 4n 4， bn2n 假设数列 bn中第 k项可以表示为该数列中其它 r项的和，即 ，从而，易知 ktr 1 k tr 1，此与 ktr 1矛盾，从而这样的项不存在 考点：已知 求 ,等差数列与等比数列基本性质
