1、2013-2014学年江苏省无锡江阴市高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 填空题 复数 的共轭复数为 答案： 试题分析： ，所以 的共轭复数是 . 考点： 1.复数的运算； 2.复数的基本概念 . 已知 ， ， ，则 的值为 _ _. 答案： 试题分析：由 可得 ，所以 ，所以所以 ， ， ， ，从而 . 考点：二项式定理 . 观察下列等式： ； ； ； 则当 且 时， _(最后结果用 表示 ) 答案： 试题分析：当 时，为第一个式子 ，此时 ，当 时，为第二个式子 ，此时 ，当 时，为第三个式子 ，此时，由归纳推理可知等式： ，故答案：为 考点：归纳推理 . 设 ，若函数 有大于
2、零的极值点，则 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：因为 ，由函数的极值与导数的关系，依题可知关于 的方程 即 有正根 .法一：将关于 的方程 即 有正根转化为函数 的图像与直线 有交点，作出指数函数的图像（如下图），可得 ； 法二：将关于 的方程 即 有正根转化为函数的值域问题即可，结合指数函数的单调性，可得关于 的函数 的值域为 ，所以 . 考点： 1.函数的极值与导数； 2.函数的零点与方程的解 . 用数学归纳法证明 : 的第二步中，当 时等式左边与 时的等式左边的差等于 . 答案： 试题分析：当 时，等式的左边为 ，当 时，等式的左边为 ，所以当 时等式左边与 时的等式左边的差等于 .
3、 考点：数学归纳法 . 航空母舰 “辽宁舰 ”将进行一次编队配置科学实验，要求 2艘攻击型核潜艇一前一后， 2艘驱逐舰和 2艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为 _ (用数字作答 ) 答案： 试题分析：第一步确定攻击型核潜艇的先后顺序有 种方法；第二步确定在攻击型核潜艇的左侧是驱逐舰、护卫舰的哪一艘并排序有 种方法；第三步，将乘下的一艘驱逐舰及护卫舰分列在攻击型核潜艇的右侧并排序有 种，所以舰艇分配方案的方法数为 种 . 考点： 1.分步计数原理； 2.排列组合的综合问题 . 已知 的周长为 ，面积为 ，则 的内切圆半径为 将此结论类比到空间，已知四面体 的表面积
4、为 ，体积为 ，则四面体的内 切球的半径 答案： 试题分析：在平面中，设内切圆的圆心为 ，半径为 ，连结 ，则有，所以 ，类比到空间可得，设内切球的球心为 ，半径为 ，则有 所以四面体 的内切球的半径为 . 考点：合情推理中的类比推理 . 5名男性驴友到某旅游风景区游玩，晚上入住一家宾馆 ,宾馆有 3间客房可选，一间客房为 3人间，其余为 2人间，则 5人入住两间客房的不同方法有 种 (用数字作答 ). 答案： 试题分析：依题可知这 5人只能入住一间 3人间及一间 2人间，第一步先确定在 2个 2人间中选择哪一间有 种；第二步确定哪三个人入住 3人间有 ，剩下的 2人住 2人间，故这 5人入住
5、两间空房的不同方法有 种 . 考点： 1.分步计数原理； 2.组合问题 . 已知复数 且 ，则 的取值范围为_ 答案： 试题分析：依题意可得 ，所以由 可得，该方程表示复平面内以 为圆心， 为半径的圆，设，表示圆 上的点与原点连线的斜率，可以看成过原点的直线 与圆 有交点即可，联立方程 ，该方程有解的条件为，所以 的取值范围为 . 考点： 1.复数的基本运算； 2.直线与圆的位置关系 . 用反证法证明某命题时，对结 论 “自然数 中至多有 2个偶数 ”的正确假设为 “假设自然数 中 ” 答案：三个数都是偶数 试题分析：反证法的第一步，就是假设原命题的结论不成立，即原结论的反面成立，而 “至多
6、2个 ”的否定是 “至少 3个 ”，针对本题只有 三个数，故 “假设自然数 中三个数都是偶数 ”. 考点：反证法 . 被 除所得的余数是 _ 答案： 试题分析：因为，展开式中的前 8项均能被 5整除，只有最后一项 不能被 5整除，所以被 除所得的余数是 1（注意余数只能是大于等于 0且小于 5的数） . 考点：二项式定理的应用 . 若 ，则 的值为 答案： 试题分析：由 可得. 考点：排列数及组合数的计算 . 若 是纯虚数，则实数 的值是 _ _ 答案： 试题分析：因为 为纯虚数的充要条件为 ，所以若是纯虚数，则有 . 考点：复数的基本概念 . 有 4件不同的产品排成一排，其中 、 两件产品排
7、在一起的不同排法有_种 答案： 试题分析：先将 A、 B两件产品捆绑后与其余产品一起排列，故有 种不同的排法 . 考点：排列问题 . 解答题 已知 ， ， （ 1）当 时，试比较 与 的大小关系； （ 2）猜想 与 的大小关系，并给出证明 答案：（ 1） ， ， ；（ 2）猜想：对一切， ，证明详见 . 试题分析：（ 1）由 的公式分别计算出 时的 及 的值，进而可得比较它们的大小关系；（ 2）用数学归纳法证明，由（ 1）可知，时，不等式显然成立，接着假设 时不等式成立，进而只须证明 时不等式也成立即可，在证明 时，又只须将 变形为，之后只须用比较法比较判断与 大小，即可证明本题 . （ 1）
8、 当 时， ， ，所以 1分 当 时， ， ，所以 2分 当 时， ， ，所以 4分 （ 2） 由（），猜想 ，下面用数学归纳法给出证明 6分 当 时，不等式显然成立 7分 假设当 时不等式成立，即 9分 那么，当 时， 11分 因为 14分 所以 15分 由 、 可知，对一切 ，都有 成立 16分 . 考点：数学归纳法 . 已知在 的展开式中，第 5 项的系数与第 3 项的系数之比是 （ 1）求展开式中的所有有理项； （ 2）求展开式中系数绝对值最大的项； （ 3）求 的值 . 答案：（ 1）有理项为 和 ；（ 2）系数绝对值最大的项为；（ 3） . 试题分析：（ 1）先利用二项展开式的通项
9、公式得到第 5项的系数与第 3项的系数，依题意得到 ，求解可得 ，进而化简该二项展开式的通项公式得到 ，由 为整数可得出 的值，进而得到所有的有理项；（ 2）先求出二项展开式中的系列，并设第 项系数绝对值最大，列出不等式组 ，从中求解即可得出 的值，进而可写出展开式中系数绝对值最大的项；（ 3）先根据二项开展式的特征将变形为 ，逆用二项式定理即可得结果 . （ 1）由 ，解得 2分 因为通项： 3分 当 为整数， 可取 0， 6 4分 于是有理项为 和 6分 （ 2）设第 项系数绝对值最大，则 （ 8分） 注：等号不写扣（ 1分） 解得 ，于是 只能为 7 10分 所以系数绝对值 最大的项为
10、11分 （ 3） 13分 16分 考点：二项式定理及其应用 . 由数字 1、 2、 3、 4、 5、 6组成无重复数字的数中，求： （ 1）六位偶数的个数； （ 2）求三个偶数互不相邻的六位数的个数； （ 3）求恰有两个偶数相邻的六位数的个数； （ 4）奇数字从左到右，从小到大依次排列的六位数的个数 答案：（ 1） 360个；（ 2） 144个；（ 3） 432个；（ 4） 120个 . 试题分析： (1)偶数的个位数字必须是偶数，因而先排个位，后排其余的位置；(2)先排奇数，然后有四个空，再插空排三个偶数； (3)用捆绑法，先从三个偶数中选出两个捆绑在一起看作一个偶数，然后排奇数，再从四个空
11、里选两个空插这两个元素；（ 4）只须从六个 “位置 ”中选择三个 “位置 ”来排偶数，其余三个“位置 ”从左到右，从小到大依次排列奇数即可 . （ 1）偶数的个位数字必须是偶数。因而先排个位满足条件的六位偶数共有个 3分 （ 2）先排奇数，然后有三个空，再插空排三个偶数满足条件的三个偶数互不相邻的六位数有 个 6分 （ 3）用捆绑法，先从三个偶数中选出两个捆绑在一起看作一个偶数，然后排奇数，再从四个空里选两个空插这两个元素，满足条件的恰有两个偶数相 邻的六位数共有 个 10分 （ 4）满足条件的奇数字从左到右从小到大依次排列的六位数共有 个 15分 . 考点：排列组合的综合问题 . 已知复数
12、， （ ， 是虚数单位） （ 1）若复数 在复平面上对应点落在第一象限，求实数 的取值范围； （ 2）若虚数 是实系数一元二次方程 的根，求实数 值 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先算出 ，再根据 在复平面上对应的点落在第一象限，可得不等式组 ，从中求解即可得出的取值范围；（ 2）根据实系数的一元二次方程有一复数根 时，则该方程的另一个根必为 ，且 ，从而 可先求解出 的值，进而求出 的值 . （ 1）由条件得 2分 因为 在复平面上对应点落在第一象限，故有 4分 解得 6分 （ 2）因为虚数 是实系数一元二次方程 的根，所以 也是该方程的一个根 根据二次方程根与系数的关系
13、可得 ，即 10分 把 代入，则 ， 11分 所以 14分 . 考点： 1.复数的几何意义； 2.实系数的一元二次方程在复数范围内根与系数的关系； 3.复数的运算 . 用综合法证明： ； 用反证法证明：若 均为实数，且 ， ，求证 中至少有一个大于 0. 答案：（ 1）证明详见；（ 2）证明详见 . 试题分析：（ 1）充分利用好基本不等式 得出 、 ，进而再利用同向不等式的可加性即可得到结论，注意关注等号成立的条件；（ 2）先设结论的反面成立即 都不大于 0，进而得出 ，另一方面 ，从而产生了矛盾，进而肯定假设不成立，可得原命题的结论成立 . （ 1）由 （当且仅当 时等号成立）可得 （当且仅
14、当 时等号成立） （当且仅当 时等号成立） （当且仅当 时等号成立） 所以 + + 得 即 ，当且仅当 时，等号成立； （ 2）假设 都不大于 0即 根据同向不等式的可加性可得 又与 式矛盾 所以假设不成立即原命题的结论 中至少有一个大于 0. 考点： 1.综合法； 2.反证法； 3.基本不等式的应用 . 已知函数 （ 1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程； （ 2）求函数 的单调区间； （ 3）设函数 若至少存在一个 ，使得 成立，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） 时， 在 上单调递减；当时，单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 时， 在 上单调递增；（ 3）实数的取值范围
15、为 . 试题分析：（ 1）当 时，先确定 ，接着求出 ，进而求出 ，最后由直线的点斜式即可写出所求的切线方程 ；（ 2）先确定函数的定义域，设 ，接着针对这个二次函数开口方向及与 轴正半轴有多少个交点的问题分 、 、 三类进行讨论，进而确定各种情况下的函数的单调区间，最后将各个情况综合描述即可；（ 3）法一：先将至少存在一个 ，使得 成立的问题等价转化为：令，等价于 “当 时， ”，进而求取 即可解决本小问；法二：设 ，定义域为 ，进而将问题转化为等价于当 时， ，从中对参数 分 、 、 ，进行求解即可 . 函数的定义域为 ， 1分 （ 1）当 时，函数 ， ， 所以 曲线 在点 处的切线方程为 即 4分 （ 2）函数 的定义域为 1.当 时， 在 上恒成立 则 在 上恒成立，此时 在 上单调递减 5分 2.当 时， （ ）若 由 ，即 ，得 或 6分 由 ，即 ，得 7分 所以函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 9分 （ ）若 ， 在 上恒成立，则 在 上恒成立，此时 在 上单调递增 10分 综上可知： 时， 在 上单调递减；当 相关试题 2013-2014学年江苏省无锡江阴市高二下学期期中考试理科数学试卷（带）
