1、2013-2014学年江西省九江市七校高二下学期期中联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设为虚数单位，复数 等于 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： ，故选 D. 考点：复数的运算 . 若函数 为定义域 上的单调函数，且存在区间 (其中 )，使得当 时， 的取值范围恰为 ，则称函数 是 上的正函数 .若函数 是 上的正函数，则实数 的取值范围为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：根据二次函数的图像与性质可知函数 在 单调递减，所以当 且 时， ， 即 ，两式相减得 ，因为 ，所以，代入 得 ，由 且可得 ，所以关于 的二次方程 在区间内有实数解， 在区间 内有实数
2、解又可转化为关于 的函数 在区间 的值域，因为函数在 单调递减，所以 即，故选 A. 考点： 1.新定义； 2.二次函数的图像与性质； 3.方程的解与函数的零点 . 已知图 中的图像对应的函数为 ，则图 的图像对应的函数为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由图知 :当 时，图 中图像与图 中一致，即 ；当时，图 中图像是图 中 轴左侧图像关于 轴的对称图像，即；故选 B. 考点：函数的图像 . 已知 是定义在 上的偶函数，且 ，若 在 上单调递减，则 在 上是 ( ) A增函数 B减函数 C先增后减的函数 D先减后增的函数 答案： D 试题分析：因为 ，所以 ，所以函数 的周期为
3、 ，因为 在 单调递减，所以 在即单调递减，又因为函数 是定义在 上的偶函数，由 在 单调递减，可知函数 在 单调递增，从而函数 在 也单调递增，所以函数在 先减后增，故选 D. 考点： 1.函数的奇偶性； 2.函数的单调性； 3.函数的周期性 . 将自然数 0， 1， 2，按照如下形式进行摆列： 根据以上规律判定，从 2012到 2014的箭头方向是 ( ) 答案： A 试题分析：从所给的图形中观察得到规律：每隔四个单位，箭头的走向是一样的，比如说， ，箭头垂直指下， ，箭头也是垂直指下， 也是如此 .而 ，所以 也是箭头垂直指下，之后的箭头是水平向右，故选 A. 考点：归纳推理 . 用反证
4、法证明命题： “若 ，那么 ， ， 中至少有一个不小于 ”时，反设正确的是 ( ) A假设 ， ， 至多有两个小于 B假设 ， ， 至多有一个小于 C假设 ， ， 都不小于 D假设 ， ， 都小于 答案： D 试题分析：根据题意，由于反证法证明命题 :“若 ，那么 ， 中至少有一个不小于 ”时，即将结论变为否定就是对命题的反设，因此可知至少有一个的否定是一个也没有，或者说假设 ， ， 都小于 ，故选 D. 考点：反证法 . 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 (吨 )与相应的生产能耗 （吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 关于 的线性回归方程： ，那么表中 的值为
5、( ) A 3 B 3.15 C 4.5 D 4 答案： A 试题分析：根据题意，由于降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 (吨 )与相应的生产能耗 (吨标准煤 )的几组对应数据，求出 关于 的线性回归方程，由于的平均值为 ， ，由于线性回归方程必过样本中心点，可知 在直线上，所以，从中求得 的值为 3，故选 A. 考点：线性回归方程 . 已知函数 是 上的增函数， 是其图像上的两点，那么的解集为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：依题意可得 ，所以 ，又因为函数 在 上单调递增，所以，故选 B. 考点： 1.绝对值不等式； 2.函数的单调性 . 已知 ，则下列推证中正确的是
6、( ) A B C D 答案： C 试题分析：对于 A，当 时不成立；对于 B，当 时不成立；对于 D，当 均为负值时，不成立，对于 C，因为 在 上单调递增，由，又因为 ，所以 即 ，正确；综上可知，选C. 考点：不等式的性质 . 设全集 ，则阴影部分表示的集合为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以，所以图中阴影部分为 ，故选 B. 考点： 1.指数函数的图像及其性质； 2.函数的定义域； 3.集合的运算 . 填空题 下列四个命题中，真命题的序号有 .（写出所有真命题的序号） 若 ，则 “ ”是 “ ”成立的充分不必要条件； 命题 “ 使得 ”的否定是 “ 均有 ”；
7、 命题 “若 ，则 或 ”的否命题是 “若 ，则 ”； 函数 在区间 上有且仅有一个零点 . 答案： 试题分析：对于 ，当 时，说明 且 ，于得两边同乘 可得 ，反过来当 时，不一定有 ，如 时， ，所以 “ ”是 “ ”成立的充分不必要条件；对于 ，根据特称命题的否定是全称命题可知：命题 “ 使得 ”的否定是 “ 均有”；对于 ，根据否命题的定义：原命题为若 则 ，则它的否命题为若 则 ，所以：命题 “若 ，则 或 ”的否命题是 “若 ，则 ”；对于 ，因为函数 的定义域为 ，所以，所以函数 在 单调递增，又，根据零点存在定理可知 在区间 至少存在一个零点，而 在 单调递增，所以在区间 有且
8、仅有一个零点 . 考点： 1.充分必要条件； 2.全称命题与特称命题； 3.四种命题； 4.函数的零点 . 不等式 对任意实数 恒成立，则正实数 的取值范围 . 答案： 试题分析：因为不等式 对任意实数 恒成立，所以，利用绝对值的几何意义可知（当且仅当 时等号成立）， ，从中求解得到 或 ，而 ，所以 . 考点： 1.恒成立问题； 2.绝对值的三角不等式； 3.二次不等式 . 设 的三边长分别为 ， 的面积为 ，内切圆半径为 ，则；类比这个结论可知：四面体 的四个面的面积分别为，内切球的半径为 ，四面体 的体积为 ，则 . 答案： 试题分析：三角形中，内切圆的圆心，与其三个顶点的连线，构成了三
9、个小的三角形，并且有相同的高 ，底边分别是 ，利用等面积法，我们得到，所以 ；利用类比推理可知，在四面体内切球半径为 ，四个 面的面积分别为 ，内切球的球心与各顶点的连线，将一个四面体分割为四个小的四面体，以四面体的四个面为底面，高都为 的四面体，由等体积法，可得到 ，所以 . 考点：合情推理中的类比推理 . 阅读如图所示的程序框图，若输出 的范围是 ，则输入实数 的范围应是 . 答案： 试题分析：根据程序框图中的条件结构得到 ，所以要输出 的范围是 ，则须满足 ，从中解得 ，故 的取值范围是 . 考点：程序框图 . 已知 ，且 ，则 等于 . 答案： 试题分析：设 ，则 ，所以 ，所以 .
10、考点：函数的式 . 解答题 设全集是实数集 ， （ 1）当 时，求 和 ； （ 2）若 ，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：本试题主要是考查了集合的运算以及二次不等式求解的综合运用 .(1)因为全集是实数集 ， ， ，得到，当 时， ，故 ，； (2)由于 ，得到集合的关系： ，进而利用数轴得到 的取值范围 . （ 1）因为 ，2分 ， 6分 （ 2）因为 ，当 时， 当 ，即 ，满足 ； 8分 当 即 时， 要使 ，需 ，解得 10分 综上可得， 的取值范围为 12分 . 考点： 1.集合的运算； 2.二次不等式 . 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对
11、本班 人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 5 女生 10 合计 50 已知在全部 人中随机抽取 1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 （ 1）请将上面的列联表补充完整 (不用写计算过程 )； （ 2）能否认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由 .(参考公式：，其中 ) 答案：（ 1）列联表如下： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 （ 2）有 99%的把握认为喜爱打篮球与性别有关 . 试题分析： (1)根据在全部 50人中随机抽取 1人抽到喜爱打篮球的学生的概率，求出喜爱打篮球的人数，进而求出
12、男生的人数，填好表格； (2)根据所给的公式，代入数据求出观测值，把求得的结果与临界值进行比较，看出有多大的把握说明打篮球和性别有关系 . (1) 因为在全部 50人中随机抽取 1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为 ，所以喜爱打篮球的总人数为 人，所以列联表补充如下： 喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计 30 20 50 4分 （ 2）根据列联表可得 因为 10分 有 99%以上的把握认为喜爱打篮球与性别有关 12分 . 考点：独立性检验 . 已知 ， ，若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围 答案： . 试题分析：先求解出 中的不等式的解集，
13、并记为两个集合 ，再由若是 的充分不必要条件可得 是 的充分不必要条件，进而得到 ，用数轴表示集合，并找到需要满足的不等式组 ，进而即可求解出. 记 4分 由若 是 的充分不必要条件可得 是 的充分不必要条件 所以 6分 ，从中求解得到 10分 当 时， ，满足 实数 的取值范围是 12分 . 考点： 1.充分必要条件； 2.集合间的包含关系； 3.绝对值不等式； 4.二次不等式 . 证明下列不等式： （ 1）已知 ，求证 ； （ 2） ，求证： . 答案：（ 1）证明详见；（ 2）证明详见 . 试题分析：（ 1）本小题主要考查基本不等式 ， （当且仅当 时等号成立）的应用问题，分别得到 、
14、、，进而再利用同向不等式的可加性即可得到结论；（ 2）本小问，主要考查放缩法与裂项求和法 .先由 得到，进而裂项求和得到，从而问题得证 . (1) 证明： （当且仅当 时等号成立）， （当且仅当 时等号成立）， ，（当且仅当 时等号成立） 3分 三个不等式相加可得 即6分 （ 2）因为 时， 又9分 12分 . 考点： 1.基本不等式的应用； 2.不等式的证明 放缩法； 3.裂项求和 . 将一颗质地均匀的正四面体骰子（四个面的点数分别为 1， 2， 3， 4）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为 ，第二次出现的点数为 （ 1）记事件 为 “ ”，求 ； （ 2）记事件 为 “ ”，求 答案：（
15、1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先用穷举法得到先后抛掷两次，出现点数 的基本事件总数 ，从中找出满足 的事件数 ，根据古典概型的概率计算公式即可得到所求的概率 ；（ 2）在 事件发生的前提下，找出事件 包含的事件数 ，进而可得条件概率 . （ 1）投掷骰子 2次得到的所有结果为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 16种 2分 事件 包含的结果有： ， ， ， ， ， 共 6种 4分 则 6分 （ 2）在事件 发生的前提下，事件 包含的结果有： ， (共 2种） 10分 则 13分 . 考点： 1.古典概率； 2.条件概率 . 已知函数 满足对任意的 恒有 ，且
16、当时， . （ 1）求 的值； （ 2）判断 的单调性 （ 3）若 ，解不等式 . 答案：（ 1） ；（ 2） 在 单调递减；（ 3） . 试题分析：（ 1）采用附值：将 代入 即可出 ；（ 2）由题中条件 时， ，先设 ，进而得到 ，由函数单调性的定义，转为判断 的符号即可，而，进而可得，这样即可得到 在 的单调性；（ 3）先由 推出，进而结合（ 2）中函数 的单调性，可将不等式，进而求解不等式即可 . (1)令 ，可得 ，即 故 3分 (2)任取 ，且 ，则 由于当 时， ， 5分 函数 在 上是单调递减函数 8分 (3)由 得 10分 函数 在区间 上是单调递减函数 不等式 不等式的解集为 14分 . 考点： 1.抽象函数； 2.函数的单调性的证明； 3.函数的单调性在求解不等式的应用； 4.绝对值不等式 .
