1、2013-2014学年江西赣州六校高二上学期期末联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列说法中，正确的是：（ ） A命题 “若 ，则 ”的否命题为 “若 ，则 ” B命题 “存在 ，使得 ”的否定是： “任意 ，都有 ” C若命题 “非 ”与命题 “ 或 ”都是真命题，那么命题 一定是真命题 D命题 “若 ，则 ”的逆命题是真命题 答案： C 试题分析： A不正确，原命题的否命题为：若 ，则 ； B不正确，原命题的否定是：任意 ，都有 ； C正确，因为 “非 ”是真命题，则是假命题，又因为命题 “ 或 ”是真命题，则命题 一定是真命题； D不 正确，原命题的逆命题为：若 ，则 。例如 时
2、， 。 考点： 1四种命题及真假判断； 2复合命题的真假判断； 3特称命题的否定。 如图，在棱长为 的正方体 的对角线 上任取一点 ，以 为球心， 为半径作一个球 .设 ，记该球面与正方体表面的交线的长度和为 ，则函数 的图象最有可能的是（ ） 答案： B 试题分析：分析：当 ，以 为半径的球面与正方体 的侧面 、 以及下底面 均相交，且与侧面 、 以及下底面 的交线均为圆心角为 的圆弧，即 ，此时函数 是关于自变量 的正比例函数，排除选项 、 ，当 时，侧面 、以及下底面 内的点到点 的最大距离为 ，此时球面与这三个面无交线，考虑球面与平面 的交线，设球面与平面 的交线是半径为 的圆弧，在圆
3、弧上任取一点 ，则 ， ，易知， 平面 ，由于平面 ， ，由勾股定理得 ，则有，即球面与正方体的侧面 的交线为以 为半径，且圆心角为 的圆弧，同理，球面与侧 面 及底面 的交线都是以 为半径，且圆心角为 的圆弧，即 ，排除 选项，故选项 正确 . 考点： 1弧长公式； 2函数图像及表示法。 如图所示 方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是 中的任何一个，允许重复，则填入 方格的数字大于 方格的数字的概率为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：依题意，本题不必考虑 区域， 区域可重复填数，共有 种方法，符合 的共有 种，所以 考点： 1排列组合； 2古典概型概率。 “过点 的直线
4、与双曲线 有且仅有一个公共点 ”是 “直线 的斜率 的值为 ”的（ ） A充分必要条件 B充分但不必要条件 C必要但不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：检验， 时直线与双曲线相切，但直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线也有且仅有一个公共点的时候，此时 。 故 C正确。 考点： 1直线和双曲线的位置关系； 2充分必要条件。 如图，设四面体 各棱长均相等， 分别为 中点，则 在该四面体的面 上的射影是下图中的（ ） A. B. C. D. 答案： B 试题分析：点 在面 的射影不在 的边上，也不在线段 上，所 以选 B 考点：平行投影。 给出右图所示的算法流程图 ,若输出的值
5、为 ，则判断框中的条件是（ ）A B C D 答案： A 试题分析：由判断框首先排除 B.D,然后一一运算可值 A正确。 考点：算法程序框图。 已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点， 是两曲线的一个交点，则 的值是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：设 ，设 是两曲线在第一象限的交点，则有曲线定义可得 ， 。故 C正确。 考点： 1椭圆的定义； 2双曲线的定义。 设 为两两不重合的平面， 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： （ 1）若 ，则 ； （ 2）若 , ， ，则 ； （ 3）若 ， ，则 ； （ 4）若 ， ， ， ，则 其中正确的命题是（ ） A（ 1）（ 3） B（ 2）
6、（ 3） C（ 2）（ 4） D（ 3）（ 4） 答案： D 试题分析：（ 1）不正确，面 可能相交。（ 2）不正确，当直线 平行时，还可能相交；根据面面平行的判定定理只有当 相交时， 。（ 3）正确，根据面面平行定义可知 与 无公共点，即可知 。（ 4）正确，因为 ，可知 ，又因为 ， ，则 。综上可得 D正确。 考点： 1线面位置关系、面面位置关系； 2线面平行、面面平行的判定； 3线面平行的性质定理。 从甲、乙两个城市分别随机抽取 6台自动售货机 ,对其销售额进行统计 ,统计数据用茎叶图表示 (如图所示 ),设甲、乙两组数据的平均数分别为 , ,方差分别为 , ,则（ ） A , B ,
7、 C , D , 答案： A 试题分析：乙城市的数据更靠近后面，所以平均数更大，数据更集中，所以方差更小。故 A正确。 考点：平均数与方差。 抛物线 的焦点坐标为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：将抛物线方程整理为标准式 ，可知其焦点为 ，故 D正确。 考点：抛物线的标准方程及焦点坐标。 填空题 已知 ，直线 和曲线 有两个不同的交点，他们围成的平面区域为 ，向区域 上随机投以点 ,点 落在 内的概率为，若 ，则实数的取值范围是： 答案： 试题分析：将直线 变形为 ，可知此直线过定点 ，为直线的斜率 .曲线 表示圆心在原点半径为 2的上半个圆。当直线与 轴重合时平面区域 和区域 重
8、合，此时 ；当直线 位置时，区域 的面积为,区域 面积为 ，此时 。所以 。 考点： 1不等式表示平面区域； 2直线过定点问题及直线的斜率； 3几何概型概率。 如图，在长方形 中， 为 的中点， 为线段 (端点除外 )上一动点，现将 沿 折起，使平面 平面 .在平面 内过点作 为垂足，设 ,则 的取值范围是 _ 答案： 试题分析：分析：如图，过 作 ，垂足为 ，连接 ， 平面 平面 ， , , ， 平面 ， , .因为 , 平面， . 容易得到，当 接近 点时， 接近 的中点，当 接近 点时， 接近 的四等分点， t的取值范围是 . 考点： 1面面垂直性质定理，线面垂直判定定理。 已知直线 与
9、椭圆 相交于 两点，且线段 的中点在直线 上，则此椭圆的离心率为 _ 答案： 试题分析：直线 与 的交点为 ，点 即为 中点，设 与 的交点分别为 ，所以。将点 代入椭圆方程，两式相减整理可得，即 ，由直线方程 可知，所以 ，即 。因为 ，所以 ，即， 。 考点： 1点差法解中点弦问题； 2椭圆的离心率。 某校为了了解高三学生的身体状况，抽取了 名女生 ,测量其体重 .将所得的数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，则所抽取的女生中体重在 的人数是 答案： 试题分析：由图可知女生中体重在 的频率为 ，所以所抽取的人数因为 。 考点：频率分布直方图。 已知 且 ，则 答案： 试题分析： ，
10、，因为 ，所以 ，解得 。 考点：空间向量共线。 解答题 已知离心率为 的椭圆 ( )过点 (1)求椭圆 的方程 ; (2)过点 作斜率为 直线 与椭圆相交于 两点，求 的长 . 答案： (1) ； (2) 试题分析： (1)将点 代入椭圆方程，结合离心率公式 和 解方程组可得 。 (2)将直线 和椭圆方程联立，消去 整理为关于 的一元二次方程，根据韦达定理得根与系数的关系。根据弦长公式可求其弦长。也可将上式一元二次方程求根，用两点间距离求弦长。 试题：解：（ 1）由 ，可得 ， 2分 所以椭圆方程为 又椭圆过点 ，所以 ， 4分 5分 所以椭圆方程为 6分 （ 2）由已知，直线 联立 整理为
11、 8分 10分 12分 或 ，经计算 10分12分 考点： 1椭圆方程； 2直线和椭圆相交弦问题。 在直三棱柱 中， 分别是的中点 . （ 1）求证： 平面 ; （ 2）求多面体 的体积 . 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析：（ 1）连接 ，根据中位线可得 ，再根据线面平行的判定定理证 平面 。（ 2）转化为以 为顶点，根据棱锥体积公式可直接求得。 试题：（ 1）证：连接 ,由 分别是 的中点 3分 平面 , 平面 , 5分 平面 6分 (2) 三棱柱 是直三棱柱， , 8分 又 是 的中点 . 9分 10分 12分 考点： 1线面平行； 2锥体的体积。 某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上
12、，高一、高二、高三各代表队人数分别为 120人、 120人、 人 .为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取 20人在前排就坐，其中高二代表队有 6人 . （ 1）求 的值； （ 2）把在前排就坐的高二代表队 6人分别记为 ，现随机从中抽取 2人上台抽奖， 求 和 至少有一人上台抽奖的概率； （ 3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按 键使电脑自动产生两个 之间的均匀随机数 ，并按如右所示的程序框图执行 .若电脑显示 “中奖 ”，则该代表中奖；若电脑显示 “谢谢 ”，则不中奖，求该代表中奖的概率 . 答案：（ 1） 160；（ 2） ；（ 3） 试
13、题分析：（ 1）分层抽样是安比例抽取，所以根据比例相等列式计算。（ 2）属古典概型概率，用例举法将所有情况一一例举出来计算基本事件总数，再将符合要求的事件找出来计算出基本事件数，根据古典概型概率公式求其概率。（ 3）属几何概型概率，数形结合需画出图像分析。 试题：解：（ 1）依题意，由 ，解得 2分 （ 2）记事件 为 “ 和 至少有一人上台抽奖 ”， 3分 从高二代表队 人中抽取 人上台抽奖的所有基本事件列举如下：共 15种可能， 5分 其中事件 包含的基本事件有 9种 6分 所以 7分 （ 3）记事件 为 “该代表中奖 ”如图， 所表示的平面区域是以 为边的正方形，而中奖所表示的平面区域为
14、阴影部分 9分 ,阴影部分面积 11分 所以该代表中奖的概率为 12分 考点： 1分层抽样； 2古典概型概率； 3几何概型概率； 4二元一次不等式表示平面区域。 已知命题 “存在 ”，命题 ： “曲线 表示焦点在 轴上的椭圆 ”，命题 “曲线 表示双曲线 ” （ 1）若 “ 且 ”是真命题，求的取值范围； （ 2）若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围。 答案：（ 1） 或 ；（ 2） 或 试题分析：（ 1）依题意说明命题 和命题 都是真命题。命题 为真，因二次函数图像开口向上，则判别式应大于等于 0；命题 为真，则两分母均大于 0，且 下的分母较大。（ 2）命题 是真命题，则两分母异号，因
15、 是 的必要不充分条件，命题 解集是命题 解集的真子集。 试题：解：（ 1）若 为真： 1分 解得 或 2分 若 为真：则 3分 解得 或 4分 若 “ 且 ”是真命题，则 6分 解得 或 7分 （ 2）若 为真，则 ，即 8分 由 是 的必要不充分条件， 则可得 或 9分 即 或 11分 解得 或 12分 考点： 1命题的真假判断； 2充分必要条件。 如图，已 知四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 ， ，分别是 的中点 （ 1）证明： 平面 ； （ 2）取 ，若 为 上的动点， 与平面 所成最大角的正切值为 ，求二面角 的余弦值。 答案：（ 1）详见；（ 2） 试题分析：（ 1）用线面垂直证
16、，用等腰三角形中线即为高线证 即，根据线面垂直得判定定理即可得证。（ 2）由（ 1）知 平面 ，则 为 与平面 所成的角。因为 为定值，所以 最短即 最短时角的正弦值最大。故此时 。故此可推导出 的值，过 作 于 ，则 平面 ，过 作 于 ，连接 ，则 为二面角的平面角。也可采用空间向量法。 试题：解：方法一：（ 1）证明：由四 边形 为菱形， ，可得为正三角形，因为 为 的中点， 所以 1分 又 ，因此 2分 因为 平面 ， 平面 ， 所以 3分 而 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . 5分 （ 2） 为 上任意一点，连接 由（ 1）知 平面 ，则 为与平面 所成的角 6分 在 中， ， 所
17、以当 最短时，即当 时， 最大 . 7分 此时 ， 因此 又 相关试题 2013-2014学年江西赣州六校高二上学 期期末联考理科数学试卷（带） 已知椭圆 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数，直线 与以原点为圆心，以椭圆 的短半轴长为半径的圆相切 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设椭圆 的左焦点为 ，右焦点为 ，直线 过点 且垂直于椭圆的长轴，动直线 垂直 于点 ，线段 垂直平分线交 于点 ，求点 的轨迹 的方程； （ 3）设第（ 2）问中的 与 轴交于点 ，不同的两点 在 上，且满足 ,求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）双曲线的离心 率为 ，所
18、以椭圆的离心率为 。根据题意原点到直线 的距离为 ，又因为 可解得 。（ 2）由题意知即点 到直线 ，和到点 的距离相等，根据椭圆的定义可知点 的轨迹是以 为焦点以直线 为准线的抛物线。（ 3）由 的方程为 知 设 ，根据 得出 的关系，用两点间距离求 ，再用配方法求最值。 试题：解（ 1）易知：双曲线的离心率为 ， ， 即 ， 1分 又由题意知： ， 2分 椭圆 的方程为 . 3分 （ 2） 动点 到定直线 的距离等于它到定点 的距离 5分 动点 的轨迹 是以 为准线， 为焦点的抛物线， 6分 点 的轨迹 的方程为 . 7分 （ 3）由（ 2）知： ,设 ， 则 ， 8分 ， 9分 由 ，左式可化简为： ， 10分 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 11分 又 ， 当 ，即 时， ， 13分 故
