1、2013-2014学年河南许昌市五高二上期期末联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列命题中的假命题是 （ ） A B C D 答案： D 试题分析： A：因为指数恒大于零，所以 为真； B：因为以 为边的直角三角形中， 所对的角的正切值为 ，所以为真； C：由 ，所以当 时， 因此 为真； D：当 时， ，所以 为假 考点：全称命题及存在性命题真假判断 已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点是它们的一个交点，则 的形状是（ ） A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D随 的变化而变化 答案： B 试题分析：因为椭圆 和双曲线 有相同的焦点，所以 ，因此 ，两式平方相加得 考点：椭圆及双曲
2、线的定义 双曲线 的离心率为 2，则 的最小值为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为双曲线 的离心率为 2，所以，当且仅当 时取等号 考点：利用基本不等式求函数最值 已知抛物线 上存在关于直线 对称的相异两点 A、 B，则|AB|等于 A. 3 B. 4 C. D. 答案： C 试题分析：因为 关于直线 对称，所以 在与 平行的直线上，因此 为直线 与抛物线 的交点，且线段 的中点在直线上 .由方程 得中点横坐标 ，所以纵坐标为 ，因此 考点：对称点的求法 已知 中 的对边分别为 若 且 ，则 ( ) A 2 B 4 C 4 D 答案： A 试题分析：解三角形问题，已知两边一角
3、，求第三边，可用余弦定理 .因为 ，所以考点：余弦定理 抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ,垂足为 ，则 的面积是 A B C D 8 答案： C 试题分析：由抛物线定义得： ,又斜率为 ，所以倾斜角为 ，又平行于 轴，所以 ,因此 为正三角形，所以其面积为而 所以 考点：抛物线定义 数列 是公差不为零的等差数列，并且 是等比数列 的相邻三项，若 ，则 等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设公差为 ，又 是等比数列 的相邻三项，所以，因此等比数列 公比为 考点：等差数列与等比数列综合 设 、 分别为双曲线 的左、右焦点 .若
4、在双曲线右支上存在点 ，满足 ，且 到直线 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由 得 为等腰三角形，底边为 因为 到直线的距离等于双曲线的实轴长，所以 而，因此双曲线的渐近线方程为 ，选 C 考点：双曲线定义，双曲线渐近线 “ ”是 “直线 与直线 相互垂直 ”的 ( ) A充分必要条件 B充分而不必要条件 C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：因为 “直线 与直线 相互垂直 ”的充要条件是 ，即 或 ；所以“ ” 是 “ 或 ” 充分而不必要条件，因此 “ ”是 “直线与直线 相互垂直 ”的充分而不必
5、要条件 . 考点：由直线方程一般式判断直线垂直 不等式 的解集是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：由 得 ，即 或 ，解得 或 考点：解含绝对值不等式 若不等式 的解集是 ，那么 的值是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析：因为不等式 的解集是 ，所以方程的两个根为 ，且 ，由韦达定理得考点：二次方程根与二次不等式解集关系 不等式 表示的区域在直线 的 ( ) A右上方 B右下方 C左上方 D左下方 答案： B 试题分析：因为 时， ，所以原点所在区域与不等式 表示的区域相反，而原点在直线 的左上方，所以所求区域在 的右下方 考点：判断不等式所在区域 填
6、空题 点 P在椭圆 上运动， Q、 R分别在两圆 和上运动，则 的最小值为 答案： 试题分析：因为两圆 和 的圆心为 ，正好为椭圆的左右焦点，所以 考点：椭圆定义 若实数 满足 ，则 的最大值 _； 答案： 试题分析：因为 ，所以考点：基本不等式的应用 两个正数 a、 b的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 则双曲线的离心率 e等于 _； 答案： 试题分析：因为两个正数 a、 b的等差中项是 ，一个等比中项是 ，所以，又 所以 ，即 ，因此双曲线 的离心率 e等于 考点：等差中项及等比中项的概念 如果实数 、 满足条件 ，则 的最小值为 _； 答案： 试题分析：因为 的可行域为三角形及其内部
7、, 表示直线 斜率 ,其中为可行域内任一点， ；所以 考点：线性规划求最值，目标函数几何意义 解答题 已知命题 p：方程 x2+mx+1=0有两个不相等的实根； q：不等式4x2+4(m2)x+10的解集为 R；若 p或 q为真， p且 q为假，求实数 m的取值范围。 答案： 或 试题分析：研究四种命题关系，首先研究各命题为真时的充要条件，因为方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，所以 1=m240,m2或 m0的解集为 R，所以 2=16(m2)2160, m2或 m0的解集为 R， 所以 2=16(m2)2160, 1m3 .5分 因为 p或 q为真， p且 q为假，所以 p与 q为一
8、真一假， （ 1）当 p为真 q为假时， （ 2）当 p为假 q为真时， 综上所述得： m的取值范围是 或 .10分 考点：四种命题关系，二次函数、二次方程、二次不等式之间关系 已知椭圆 C的焦点分别为 和 ，长轴长为 6，设直线交椭圆 C于 A、 B两点，求线段 AB的中点坐标 答案： 试题分析：涉及 弦中点问题，通常利用点差法，本题先由题意 ， ，解出 得到椭圆方程 设 ，代入椭圆方程作差变形得中点坐标满足 ，又 ，解得中点坐标为 试题： 解 设椭圆 C的方程为 （ 2分） 由题意 ， ，于是 。 椭圆 C的方程为 （ 4分） 由 得 因为该二次方程的判别 ，所以直线与椭圆有两个不同交点。
9、 （ 8分） 设 则 ， 故线段 AB的中点坐标为 .(12分 ) 考点：直线与椭圆位置关系，弦中点问题 在 中，角 的对边分别为 ， 。 （ 1）求 的值； （ 2）求 的面积 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：解三角形问题，一般利用正余弦定理解决 . （ 1）中已知两角求第三角的正弦值，首先根据同角三角函数关系，由 A角余弦值解出 A的正弦值，再利用三角形中三角和为 180度，可得，（ 2）中由三角形面积公式知，还需解出另一边，这就可根据正弦定理求出 ，再利用公式解得 ABC的面积 试题：解（ 1） A、 B、 C为 ABC的内角，且 ， ， 6分 （ 2）由（ 1）知 ， 又 ， 在
10、ABC中，由正弦定理，得 . ABC的面积 12分 考点：正余弦定理 如图所示，四棱锥 PABCD 中， AB AD， CD AD， PA 底面 ABCD，PA=AD=CD=2AB=2， M为 PC的中点。 (1)求证： BM 平面 PAD； (2)在侧面 PAD内找一点 N，使 MN 平面 PBD； (3)求直线 PC与平面 PBD所成角的正弦。 答案：（ 1）详见，（ 2）详见，（ 3） 试题分析：（ 1）证明线面平行，往往从线线平行出发 . 因为 是 的中点，所以取 PD的中点 ，则 ME为三角形 PCD的中位线，根据中位线的性质，有，又 ，所以四边形 为平行四边形，因此 ，（ 2）存在
11、性问题，往往从假定出发，现设 N点位置，这提示要利用空间向量设点的坐标，空间向量解决线面垂直问题的关键在于表示出平面的法向量，也可利用线面垂直的性质，即垂直平面中两条相交直线，由 及解得 ，是 的中点（ 3）求线面角，关键在于作出平面的垂线，此时可利用（ 2）的结论，即 MN为平面 的垂线；另外也可继续利用空间向量求线面角，即直线 与平面 所成角的正弦值为 余弦值的绝对值 . 试题：解（ 1） 是 的中点，取 PD的中点 ，则 ，又 四边形 为平行四边形 ， 平面 , 平面 平面 .（ 4分） （ 2）以 为原点，以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， ， ，
12、， ， 在平面 内设 ， ， ，由 由 是 的中点，此时 平面 数列 记 （ 1）求 b1、 b2、 b3、 b4的值； （ 2）求数列 的通项公式及数列 的前 n项和 答案： (1） （ 2）试题分析： (1）利用 先将数列 的递推关系转化为数列 的递推关系 ，再由求出 代入 可求出 （ 2）对数列的递推关系 进行变形 ，构造出新数列 ，利用新数列 成等比，求出 即 又因此可求出数列 的通项公式 ，这是一个等比数列与常数列的和，因此利用分组求和法求出前 n项和 试题：解 (1）由 得 代人递推关系整理得 即 由 有 所以 6分 （ 2）由 所以 是首项为 公比 的等比数列，故 即
13、 由 得 故 .12分 考点：数列通项，前 n项和 如图，梯形 ABCD的底边 AB在 y轴上，原点 O为 AB的中点，M为 CD的中点 . （ 1）求点 M的轨迹方程； （ 2）过 M作 AB的垂线，垂足为 N，若存在正常数 ，使 ，且 P点到 A、 B 的距离和为定值，求点 P的轨迹 E的方程； （ 3）过 的直线与轨迹 E交于 P、 Q两点，求 面积的最大值 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：（ 1）求动点轨迹方程的步骤，一是设动点坐标 M(x, y)，二是列出动点满足的条件 ，三是化简，四是去杂， x0；（ 2）涉及两个动点问题，往往是通过相关点法求对应轨迹方程，设 P（
14、x, y），则 ，代入 M的轨迹方程有，利用椭圆定义解出 相关点法也叫转移法，即将未知转移到已知，用未知点坐标表示已知点坐标，是一种化归思想，（ 3）直线与椭圆位置关系，一般先分析其几何性，再用代数进行刻画 .本题中的三角形可分解为两个同底三角形，底长都为，所以 三角形面积最大值决定于高，即横坐标差的绝对值，这可结合韦达定理进行列式分析 试题：解：（ 1）设点 M的坐标为 M(x, y)(x0)，则 又 由 AC BD有 ，即 ， x2+y2=1（ x0） . （ 4分） （ 2）设 P（ x, y），则 ，代入 M的轨迹方程有即 ， P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点） . 要 P到 A、 B的距离之和为定值，则以 A、 B为焦点，故 . 从而所求 P的轨迹方程为 . 9分 （ 3）易知 l的斜率存在，设方程为 联立 9x2+y2=1，有设 P(x1,y1),Q(x2,y2)，则 令 ，则 且， 所以当 ，即 也即 时， 面积取最大值，最大值为 12分 考点：直接法求轨迹方程，相关点法求轨迹方程，直线与椭圆位置关系
