1、2013-2014学年浙江宁波市高一第一学期期末考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，则 A B C D 答案： A 试题分析：由集合的运算可知，集合 与集合 的公共元素为 2，即 ，所以 A为正确答案： . 考点：集合的运算 . 已知函数 ，其中 为实数，若 对 恒成立，且 ，则 的单调递增区间是 A B C D 答案： C 试题分析：因为 对 恒成立，即 ，所以 ；而 得 ，因此得 ，所以，根据函数的单调性可求得 C为正确答案： . 考点：三角函数的运算、三角函数的性质 . 将函数 的图像向左平移 个单位，所得图像关于轴对称，则 的最小值为 A B C D 答案： A 试题分析：
2、将函数 的图像向左平移 个单位，得= ；而所得图像关于 轴对称，即， 解得 ，当 时 的最小值为 ，故 A为正确答案： . 考点：三角函数的平移变换、奇偶性 . 已知 分别是 的边 上的中线，且 ，则A B C D 答案： B 试题分析：由题意可知 ，而 ，即 ；又 ， + 可得： . 考点：向量的加减运算法则 . 定义一种运算 ，则函数 的值域为 A B C D 答案： B 试题分析：根据新定义 ，可知，由指数函数的图象可知 的值域为 ，故 B为正确答案： . 考点：新定义问题、函数值域的求法 . 已知函数 且 在区间 上的最大值和最小值之和为 ，则 的值为 A B C D 答案： B 试题
3、分析：当 时， 与 在区间 上都是减函数，所以 的最大值为 ，最小值为 ，解方程可得 ；当 时， 与 在区间 上都是增函数，所以的最大值为 ，最小值为 ，解方程 可得 ，不符合 的前提条件；因此， 即 B为正确答案： . 考点：函数的单调性和值域的求法 . 设函数 则 的值为 A B C D 答案： D 试题分析：由已知函数可得 ， ，故 D为正确答案： . 考点：分段函数求值 . 下列函数在区间 是增函数的是 A B C D 答案： D 试题分析：（ A）函数 是 上的减函数；（ B）函数 是 R上的减函数；（ C） 的对称轴为 ，所以该函数是上的增函数；（ D） 是 上的增函数，所以在区间
4、是增函数，故 D为正确答案： . 考点：函数的单调性 . 函数 是 A周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数 C周期为 的奇函数 D周期为 的偶函数 答案： A 试题分析：由诱导公式可知 ，而 ，所以该函数为周期为 的奇函数 . 考点：函数的奇偶性、周期性 . 的值是 A B C D 答案： C 试题分析：根据三角函数的诱导公式可知 ，故 C为正确答案： . 考点：三角函数的诱导公式、三角函数值的计算 . 填空题 若函数 对于 上的任意 都有，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：由函数对于 上的任意 都有 ，可知 在上单调递增，因此有 ，解得 . 考点：函数的单调性 . 设 是定义在 上的奇
5、函数，当 时， 为常数），则 答案： 试题分析： 是定义在 上的奇函数，所以 ，求得 ；而，由奇函数可知 . 考点：函数奇偶性 . 函数 的值域为 答案： 试题分析：当 时， ，在区间 上，所以 的值域为 . 考点：三角函数的值域求法、函数性质 . 已知 ，则 答案： 试题分析： ，把 代入可得原式 =-2. 考点：三角函数之间的关系、诱导公式 . 已知向量 满足 ，且它们的夹角为 ，则 答案： 试题分析：因为 ，所以. 考点：向量的数量积 . 计算： 答案： 试题分析：由对数的运算知 . 考点：对数函数的运算 . 函数 的定义域是 答案： 试题分析：由定义域的求法知，函数 的定义域为，解得
6、. 考点：函数定义域的求法 . 解答题 已知 求 和 的值 答案： ； 或 试题分析：把已知条件两边同时平方可得 的值，从而求出； 再根据 得 ，即， 从而求出 的值 试题：由 ，得 ， 所以 ； （ 7分） 又 ，即 ，得 解得： 或 （ 14分） 考点：三角函数之间的关系及运算 . （函数 （ 1）若 是偶函数，求实数 的值； （ 2）当 时，求 在区间 上的值域 答案：（ 1） ；（ 2）值域为 试题分析：（ 1） 是偶函数，即 的对称轴为 y 轴，从而可求得实数 的值；（ 2）把 代入，用换元法设 ，则，从而可求在区间 上的函数的值域 试题：（ 1） ； （ 4分） （ 2）当 时，令
7、 ， （ 8分） 则 的值域为 （ 14分） 考点：函数的性质、函数定义域及值域的求法 . 已知点 是函数 ，）一个周期内图象上的两点，函数 的图象与 轴交于点，满足 （ 1）求 的表达式； （ 2）求函数 在区间 内的零点 答案：（ 1） ；（ 2）函数 在区间 内的零点为 或 . 试题分析：（ 1）已知 是函数 一个周期内图象上的两点，可求得 ， ；又 ，有已知条件可知 ， ，进而可得 ，所以 的表达式为.（ 2）求函数 在区间 内的零点，即令解关于 x的方程，满足 即可 . 试题：（ 1） ， ， ； （ 3分） 得 ； （ 6分） ， ， ， 得 ， ， （ 9分） （ 2） ， ，
8、， 即 ， 或 ， 得 或 （ 14分） 考点：三角函数的性质、函数的零点、向量的数量积 . 已知向量 （ 为实数） （ 1） 时，若 ，求 ； （ 2）若 ，求 的最小值，并求出此时向量 在 方向上的投影 答案：（ 1） ；（ 2）当 时， ，此时 在 方向上的投影 试题分析：（ 1）当 时，先求出 ；再根据 ，即可求得 ； （ 2）当 ，求得 ，从而可知最小值为 ；此时向量 在 方向上的投影为 试题：（ 1） , , , （ 4分） 得 ； （ 6分） （ 2） 时， ， （ 9分） 当 时， ， （ 12分） 此时 ， 在 方向上的投影 （ 15分） 考点：向量的坐标表示、向量的数量积等
9、运算 . 已知函数 （ 1）判断函数 在 的单调性并用定义证明； （ 2）令 ，求 在区间 的最大值的表达式 答案：（ 1）函数 在 递增；证明详见答案： . （ 2）当 时， ；当 时， 试题分析：（ 1）先根据已知条件求出 ，再根据单调性的定义证明即可； （ 2）由（ 1）先求出 的表达式，再根据单调性求得各个区间的最大值，综上即可求出 在区间 的最大值的表达式 试题：（ 1） 在 递增； 证明如下： 在区间 上任取 则 而 ，所以 ， 0 所以 ，即函数 在 的单调递增；（ 6 分） （ 2）若 ， ，在 递增， ， 若 ， ）在 递减， ， （ 9分） 若 ，则 （ 11分） 当 时，函数递增， ， 当 时，函数递减， ； （ 13分） ，当 时， ，当 时， 综上： 时， ，当 时， （ 15分） 考点：函数的单调性、分段函数求值域问题 .
