2013-2014学年浙江省杭州二中高一下学期期中数学试卷与答案(带解析).doc

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资源描述

1、2013-2014学年浙江省杭州二中高一下学期期中数学试卷与答案(带解析) 选择题 角 的始边在 轴正半轴、终边过点 ,且 ,则 的值为( ) A B 1 C D 答案: A 试题分析:设点 到原点的距离为 ,则 ,根据任意角的三角函数的定义可知 ,故选 A. 考点:任意角的三角函数 . 将偶数按如图所示的规律排列下去,且用 表示位于从上到下第 行,从左到右 列的数,比如 ,若 ,则有( ) A B C D 答案: D 试题分析:从图中可以观察到,第一行有一个偶数,第二行有 2个偶数,第三行有 3个偶数, ,第 行有 个偶数,所以前 行共有 个偶数;又因为 2014是从 2开始的第 1007个

2、偶数,又因为(这里并没有使用求解不等式 成立的最小正整数 进行确定 ,而是采用了简单二分法估算,如 ,进而 ,从而确定,所以得到上面的不等式,或者根据选项中的数据直接确定上面的不等式也是一个明智的选择),所以可以确定 在第行,到 行时,总共才 990个偶数,需要在第 45行再找 17个偶数,在第 45行中是从中往左摆放偶数的,故 2014处在从中往左算第 17个偶数,从左往右算是第 个数,所以 ,故选 D. 考点: 1.等差数列的前 项和; 2.估算法 . 在 中, 为 的对边,且 ,则( ) A 成等差数列 B 成等差数列 C 成等比数列 D 成等比数列 答案: D 试题分析:因为 ,所以

3、,且由二倍角公式可得 ,所以 可化为 即也就是,根据正弦定理可得 ,所以 成等比数列,选 D. 考点: 1.两角和差公式; 2.二倍角公式; 3.正弦定理; 4.等比数列的定义 . 在 中,已知 ,则在 中, 等于( ) A B C D以上都不对 答案: C 试题分析:法一:根据余弦定理可得 即也就是 ,所以 ,所以 或 ,故选 C; 法二:由正弦定理可得 即 ,因为且 即 ,所以 或 ,当 时,此时 ;当 时,此时 以 为底边的等腰三角形,此时,综上可知选 C. 由上述法一与法二两种方法比较,当知道三角形的两边及其中一边的对角时,若求第三条边,选择余弦定理较好,若要求角,则选择正弦定理较好

4、. 考点: 1.正弦定理; 2.余弦定理 . 在 中, , ,则面积为( ) A B C D 答案: B 试题分析:依题意可得 ,因为 ,所以 , 所以 ,故选 B. 考点: 1.同角三角函数的基本关系式; 2.平面向量的数量积; 3.两角和差公式;4.三角形的面积计算公式 . 若 的三个内角满足 ,则 ( ) A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 答案: C 试题分析:根据正弦定理,由条件 可得 ,设,则 ,由余弦定理可得,而 ,所以 为钝角,所以 为钝角三角形,故选 C. 考点: 1.正弦定理; 2.余弦定理 . 已知等差数列

5、的前 项和为 , , , 取得最小值时 的值为( ) A B C D 答案: A 试题分析:法一:设该等差数列的公差为 ,则有,所以由 可得,所以 ,所以该等差数列为单调递增数列且 ,从而可确定当 时,取得最小值,故选 A; 法二:同方法一求出 ,进而可得,所以当 时 取得最小值,故选 A. 考点:等差数列的通项公式及其前 项和 . 已知实数列 成等比数列,则 ( ) A B C D 答案: C 试题分析:记该数列为 ,并设该等比数列的公比为 ,则有 ,所以 所以 ,故选 C. 考点:等比数列的通项公式 . 已知 则 ( ) A B C D 答案: D 试题分析:法一:由 可得 ,又因为,从而

6、 即 ,所以,所以 ,故选 D; 法二: ,故选 D. 考点:同角三角函数的基本关系式 . 已知数列 的前 项和为 ,且 则 等于( ) A 4 B 2 C 1 D 答案: A 试题分析:法一:依条件可知,当 时, ,当时, 即 ,也就是 ,故选 A; 法二:当 时, ,当 时,由 得,两式相减可得 即 ,也就是,而首项 ,所以该数列 是以 为首项, 为公比的等比数列,进而可得 ,所以 ,故选 A. 考点: 1.数列的前 项和与数列的通项公式的关系; 2.等比数列的通项公式 . 填空题 各项均为正数的等比数列 中, , ,若从中抽掉一项后,余下的 项之积为 ,则被抽掉的是第 项 . 答案: 试

7、题分析:设该等比数列的公比为 ,则依题意可得,假设从中抽掉的是第 项,则有,所以 ,因为首先 ,进而得到 ,故用穷举法 进行检验,最后可确定 使得等式成立,其余均不成立,所以 . 考点:等比数列的通项公式 . 若数列 满足 ,且有一个形如的通项公式,其中 、 均为实数,且 , ,则 _, . 答案: ; 试题分析:根据递推关系式 可得,所以该数列 是周期数列,周期为 ,又因为 是该数列的一个通项公式,所以,又因为当 时,因为,所以由 可得或 ,进而可得 或 ;当 时,此时当 时, ,不符合题意,舍去;当 时, ,此时 时,分别得到 ,满足题意,综上可知 , . 考点: 1.数列的周期性; 2.

8、三角函数的图像与性质 . 设 为锐角,若 ,则 的值为 . 答案: 试题分析:因为 ,所以 ,所以 ,由可得 ,从而可得,所以. 考点: 1.二倍角公式; 2.两角和差公式 . 对于正项数列 ,定义 为 的 “蕙兰 ”值,现知数列 的 “蕙兰 ”值为 ,则数列 的通项公式为 = . 答案: 试题分析:依题中条件可得 即 所以当 时, 将 可得 ,当当 时, ,也满足此通项,所以 . 考点: 1.新定义; 2.数列的通项公式 . 设当 时,函数 取得最大值,则 . 答案: 试题分析:因为,设 , ,则 ,当 取得最大值 时, ,依题中条件得到 ,所以,从而可得 ,所以. 考点: 1.三角函数的辅

9、助角公式; 2.诱导公式 . . 答案: 试题分析:根据两角和的正切公式可得 ,所以,所以. 考点:两角和的正切公式 . 在等差数列 中, ,则 . 答案: 试题分析:设该等差数列的公差为 ,则依题意有,所以. 考点:等差数列的通项公式 . 解答题 设等差数列 的前 项和为 且 . (1)求数列 的通项公式; (2)求数列 的前 项和 ,并求 的最小值 . 答案:( 1) ;( 2)当 或 时, 最小,最小值为 . 试题分析:( 1)设等差数列 的公差为 ,进而根据条件列出方程组,从中求解得到 与 ,进而可以写出数列 的通项公式;( 2)由( 1)中结论可得 ,法一:进而根据等差数列的通项公式

10、求出该数列的前 项和 ,再由二次函数的图像与性质即可求得 的最小值;法二:也可以由 得出该数列从首项开始到哪一项都是非正常,所有这些非正数相加,当然是达到 的最小值 . ( 1)设等差数列 的公差为 ,由已知可得 即,解得 ,所以 ( 2)法一:由( 1)可得 ,则由等差数列的前 项和公式可得因为 为整数,根据二次函数的图像与性质可知:当 或 时, 最小,最小值为 法二:由( 1)可得 ,所以该数列是单调递增数列,令,解得 所以当 或 时, 最小,最小值为. 考点: 1.等差数列的通项公式及其前 项和; 2.二次函数的图像与性质 . 已知在锐角 中, 为角 所对的边,且. (1)求角 的值;

11、(2)若 ,则求 的取值范围 . 答案:( 1) ;( 2) . 试题分析:( 1)先根据正弦定理将等式 中的边换成角,进而根据余弦的二倍角公式、两角和与差公式进行化简得到,进而得到 ,结合 角的范围即可得到 的值;( 2)根据正弦定理,将边转化成角即,进而根据三角形的内角和将其中的一个角换掉得到,然后根据题中条件确定 的取值范围: ,然后得到 ,进而根据三角函数的性质得到 的取值范围 . ( 1)根据正弦定理,可将 转化为,又由余弦的二倍角公式转化为 2分 4分 ,因为在锐角 中,所以 5分 ( 2)由( 1)与正弦定理可得 所以 6分 8分 因为 所以 10分 . 考点: 1.正弦定理;

12、2.两角和差公式; 3.二倍角公式; 4.三角函数的图像与性质 . 如图所示,一个半圆和长方形组成的铁皮,长方形的边 为半圆的直径,为半圆的圆心, , ,现要将此铁皮剪出一个三角形 ,使得 , . (1)设 ,求三角形铁皮 的面积; (2)求剪下的铁皮三角形 的面积的最大值 . 答案:( 1)三角形铁皮 的面积为 ;( 2) 的面积的最大值为 . 试题分析:( 1)先根据题中条件得出 , ,最后根据三角形的面积计算公式 即可得到所求的三角形的面积;( 2)先引入角度作为变量,即设 ,进而根据( 1)中思路求出,到此用同角三角函数的基本关系式,进行换元,令,先确定 的取值范围,进而得到,从而 ,

13、根据求出的 的取值范围,结合二次函数的图像与性质即可确定 的最大值 . ( 1)由题意知 ,即三角形铁皮 的面积为 ( 2)设 则 ,令 ,由于 ,则有所以 且 ,所以 故 而函数 在区间 上单调递增 故当 时, 取得最大值 . 考点: 1.三角函数的实际应用; 2.同角三角函数的基本关系式; 3.三角函数的图像与性质; 4.二次函数的图像与性质 . 已知数列 的前 项和为 ,且 . (1)求 的通项公式; (2)设 恰有 5个元素,求实数的取值范围 . 答案:( 1) ;( 2) . 试题分析:( 1)先将递推式变形为 ,进而判断数列 为等比数列,根据等比数列的通项公式即可求出 ;( 2)由( 1)中,该数列的通项是由一个等差与一个等比数列的通项公 式相乘,于是可用错位相减法求出 ,进而得到 ,然后判断数列 的单调性,进而根据集合 恰有 5个元素,确定 的取值范围即可 . (1)由已知得 ,其中 所以数列 是公比为 的等比数列,首项 ,所以 由( 1)知 所以 所以 因此 , 所以,当 即 , 即 要使得集合 有 5个元素,实数 的取值范围为 . 考点: 1.等比数列的通项公式; 2.数列的前 项和; 3.数列的单调性 .

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