1、2013-2014学年浙江绍兴一中高二第一学期期中测试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 直线 的倾斜角是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：直线 化成 ，可知 ，那么. 考点：直线的倾斜角与斜率 . 已知圆 的半径为 ， 为该圆的两条切线 , 为两切点，那么的最小值为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：如图，设 , ，由圆的半径为 ，得到：，所以有：考点：基本不等式，向量数量积的结合应用 . 正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 ，且， 则下列结论中错误的是 ( ) A B三棱锥 的体积为定值 C二面角 的大小为定值 D异面直线 所成角为定值 答案： D 试题分析：
2、易知 ，所以 ；三棱锥 的高就是点到平面 的距离且为一定值， 为一定值，故三棱锥 的体积为定值；二面角 的平面角与二面角 的平面角相等，故为一定值 . 考点：线面垂直，线线垂直 . 若圆 关于直线 对称，则由点向圆 所作的切线长的最小值是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：已知圆 的圆心坐标为 ，圆的半径为，若圆 关于直线 对称 ,那么有：，设切线长为 ，那么，当 时，最小，最小值为 ，所以切线长 的最小值是 . 考点：直线与圆的位置关系 . 在正方体 中， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的大小是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：在正方体 中，容易得到 平面 ，又因
3、为 平面 ,故得到 . 考点：异面直线所成角 . 设 、 是两条不同直线， 、 是两个不同平面，则下列命题错误的是 ( ) A若 ， ，则 B若 ， ， ,则 C若 ， ， ,则 D若 ， ，则 答案： D 试题分析： 三个选项正确，在 选项中，平面 与平面 还可能相交 . 考点：空间中线与线的位置关系以及线与面的位置关系 . 已知 ， ，若 ， 且,则实数 分别为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由 ，可得到 ，从而 ，那么.由 得到 ,所以 .解得 . 考点：空间向量的坐标运算 . 在平面直角坐标系内，若曲线 ： 上所有的点均在第二象限内，则实数 的取值范围为（ ） A B
4、C D 答案： D 试题分析：圆 ： 化成标准方程为：，可知圆心坐标为 ，因为圆上所有的点在第二象限内，故 ，得到 . 考点：圆的标准方程 . 过点 且与直线 平行的直线方程是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：与直线 平行的直线的斜率是 ，又所求直线经过点，根据点斜式可得： ，化简后可得 . 考点：直线与直线平行，直线的点斜式方程 . 在空间直角坐标系中，点 ，关于 轴对称的点的坐标是 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：点 关于 轴对称的点 坐标不变， 坐标与 分别互为相反数 .故对称点为 . 考点：空间直角坐标系 . 填空题 将一个水平放置的正方形 绕直线 向上转动
5、 到 ，再将所得正方形 绕直线 向上转动 到 ，则平面 与平面所成二面角的正弦值等于 _ 答案： 试题分析：如图，先构造一个正方体，令正方体的边长为 ，连结 ,作平面 与面 所成角为 交 于点 .作 的平行线 交 的延长线于 ，连结那么平面 与平面 所成二面角即为平面 与平面所成二角，因为面 与面 所成角为 ，易知点 到面 的距离为 ，故 ,所以 ， 那么 , ,所以面 与面 所成二面角的余弦值为： ,故正弦值为 . 考点：二面角 . 已知圆 过直线 和圆 的交点，且原点在圆 上则圆 的方程为 答案： 试题分析：根据题意可设圆 的方程为： ，因为原点在圆 上，故 .所以所求圆的方程为 . 考点
6、：直线与圆的位置关系，圆的标准方程 . 若圆 上有且仅有两个点到直线 的距离为，则半径 的取值范围是 答案： 试题分析：圆心到直线的距离为 ，由于圆上只有两个点到直线的距离为 ，故半径 的取值范围为 . 考点：直线与圆的位置关系 . 一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，其中正（主）视图是直角三角形，侧（左）视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表面积是 答案： 试题分析：该几何体的表面积. 考点：三视图，空间几何体的表面积 . 在平行六面体 中，以顶点 为端点的三条棱长都为 ，且它们彼此的夹角都是 ，则对角线 的长是 答案： 试题分析：因为又由于它们彼此的夹角都是 ，那么 .所以 的长
7、为 . 考点：平行六面体的对角线 . 原点到直线 的距离 答案： 试题分析：原点到直线 的距离 . 考点：点到直线的距离 . 解答题 光线从 点射出，到 轴上的 点后，被 轴反射，这时反射光线恰好过点 ,求 所在直线的方程及点 的坐标 答案：直线方程为： ； . 试题分析 :先求出点 关于 轴的对称点 ,然后根据直线两点式方程求出 的直线方程为 . 试题：点 关于 轴的对称点 . 因为点 在直线 上， ，所以 的直线方程为： . 化简后得到 的直线方程为： . 考点：直线方程 . 如图，已知四棱锥 中，底面 是直角梯形， ， ， ， 平面 ， （ ）求证： 平面 ； （ ）求证： 平面 ； （
8、 ）若 是 的中点，求三棱锥 的体积 答案：证明过程详见试题 . 试题分析：（ ）要证明直线 与平面 平行，就是要证明直线 与平面 内一条直线平行，根据题意显然直线 满足要求 . （ ）要证明平面 ，就是要证明直线 与平面 内两条相交直线垂直 .根据题意符合要求 .（ ）要求三棱锥 的体积，就是要求出 的面积以及三棱锥 的高 . 试题：（ ）证明： ，且 平面 平面 （ ）证明：在直角梯形 中，过 作 于点 ，则四边形为矩形 ，又 ， ，在 Rt 中， ， ， ，则 ， 又 平面 （ ） 是 中点， 到面 的距离是 到面 距离的一半 考点：线面平行，线面垂直，三棱锥体积 . 已知点 和圆 ：
9、（ ）过点 的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线 的方程； （ ）试探究是否存在这样的点 ： 是圆 内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且 OEM的面积 ？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由 答案：（ ）方程为： 或 ；（ ）. 试题分析：（ ）当所求直线 的斜率不存在时，弦长为 ，符合要求 .此时直线方程为： ；若斜率在时，可设直线 的斜率为 ，根据点斜式写出直线方程 ，求出圆心到直线的距离 ，再由勾股定理得到：，解得 ；（ ）连结 ,求出圆与 轴的两个交点 .并连结 ,得到 ，因此要使 ，那么点 必在经过点 , 且与直线 平行的直线上 .结合点 所在象限，可以求出
10、为 . 试题：（ ）当所求直线 的斜率不存在时，弦长为 ，符合要求 ,此时 ； 若直线的斜率存在时，设直线 的斜率为 ，那么直线 的方程为：. 所以圆心到直线的距离 ，又因为半径 弦长为 . 所以 ，解得： . 所以所求直线方程为： 或 ； （ ）连结 ，点 满足 , 过 ， 作直线 的平行线 直线 、 的方程分别为： 、 设点 （ 且 ） 分别解 与 ，得 与 为偶数，在 上 对应的 在 上 ，对应的 满足条件的点 存在，共有 6个，它们的坐标分别为： 考点：直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，直线方程 . 如图，已知三角形 与 所在平面互相垂直，且 ， ，点 , 分别在线段 上，沿直线
11、将 向上翻折，使 与 重合 （ ）求证： ； （ ）求直线 与平面 所成的角的正弦值 答案：（ ）证明详见；（ ） . 试题分析：（ ）要证明线线垂直 ，由 ，有面 ,从而得到线线垂直 ；（ ）作 ，垂足为 ，则面 ，连接 ，得到直线 与平面 所成的角为 ,求得. 试题： （ ）证明 面 面 又 面 （ ）解：作 ，垂足为 ，则 面 ， 连接 设 ，则 ，设 由题意 则 解得 由（ ）知 面 直线 与平面 所成的角的正弦值， . 考点：线与线所成角；线面垂直 . 如图，圆 ： （ ）若圆 与 轴相切，求圆 的方程； （ ）已知 ，圆 C与 轴相交于两点 （点 在点 的左侧）过点任作一条直线与圆
12、 ： 相交于两点 问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出实数 的值，若不存在，请说明理由 答案：（ ） ；（ ）存在 ，使得. 试题分析：（ ）由圆 与 轴相切，可知圆心的纵坐标的绝对值与半径相等 .故先将圆 的方程化成标准方程为： ，由 求得 .即可得到所求圆 的方程为：；（ ）先解出 两点的坐标，要使得，则可以得到： ，若设，那么有： ，结合直线与圆的方程去探讨可得存在 ，使得 . 试题：（ ）圆 ： 化成标准方程为： ， 若圆 与 轴相切，那么有： ，解得 ，故所求圆 的方程为：. （ ）令 ，得 ， 即 所以 假设存在实数 ， 当直线 AB与 轴不垂直时，设直线 AB的方程为 ， 代入 得， ， 设 从而 因为 而 因为 ，所以 ，即 ，得 当直线 AB与 轴垂直时，也成立 故存在 ，使得 考点：直线与圆的位置关系 .
