1、2013-2014学年湖北襄阳四校高一下学期期中考试数学试卷与答案（带解析） 选择题 等比数列 中，如果 ， ，则 等于（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以 。因为 ，所以 。故 D正确。 考点：等比数列通项公式。 已知函数 ，且 是它的最大值， (其中 m、 n为常数且 )给出下列命题： 是偶函数； 函数 的图象关于点对称； 是函数 的最小值； . 其中真命题有 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： ， 令 ， 则 。因为 是它的最大值， 则 ，不妨取 。则 。 ，图像不关于 轴对称，故不是偶函数； 因为 ，所以函数 的图象关于点 对称； ， 故 不是函数 的
2、最小值； 时， ，所以。 综上可得正确的有 。故 D正确。 考点：三角函数的性质。 已知数列 中， = ， + （ n ，则数列 的通项公式为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以，所以数列 是常数列，因为 ，所以，所以 。故 C正确。 考点：构造法求数列的通项公式。 等差数列的前 n项和，前 2n项和，前 3n项的和分别为 S， T， R，则（ ） AB C D 答案： B 试题分析：由等差数列的性质可知 三项仍成等差数列，则，整理可得 。故 B正确。 考点：等差数列的性质。 如图，在 中， ,D为垂足， AD在 的外部，且BD:CD:AD=2:3:6，则 （ ） A B
3、C D 答案： B 试题分析：令 ,则 , ，所以 。故 B正确。 考点：正切的两角和差公式。 在 ABC中 ,内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若 ,b+c=7,cosB= ,则 =（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 答案： A 试题分析： ，解得 。故 A正确。 考点：余弦定理。 已知首项为 1的等比数列 an是摆动数列 , Sn是 an的前 n项和 , 且 , 则数列 的前 5项和为（ ） A 31 BC D 11 答案： C 试题分析：由题意知数列 公比不为 1，则 ，所以。因为数列 为摆动数列则 。所以数列 是首项为 1公比为的等比数列。所以数列 前 5项和为 。
4、 考点：等比数列的前 项和。 在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若 sin Acos C sin Ccos A ，且 a b，则 B等于 ( ) A B C D 答案： D 试题分析： ，因为，所以 为锐角，即 。故 D正确。 考点：三角函数两角和差公式。 在等差数列 an中 ,若 ,则 的值为（ ） A 80 B 60 C 40 D 20 答案： A 试题分析：因为 为等差数列，则 ，则 。故 A正确。 考点： 1等差数列额通项公式； 2等差数列的性质。 在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c,若 ，则 ABC的形状是（ ） A等腰三角形
5、 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 答案： A 试题分析：由正弦定理 ，可将 变形为 ，即 ，因为 为三角形内角，所以 ，则 。故此三角形为等腰三角形。故 A正确。 考点：正弦定理。 填空题 将正奇数排成如下图所示的三角形数阵（第 k行有 k个奇数），其中第 i行第 j个数表示为 (i,j N*).例如 ,若 =2013,则 i-j=_. 答案： 试题分析：前 行共有奇数为 个，所以第 行的最后一个数为 ，第 行的第一个数为 ，当时， ，即第 45行的第一个数为 1981，因为 ，所以 2013是第 45行的第 17个数，即 。所以. 考点：等差的前 项和公式。 已知数列 和
6、 的通项公式分别为 ，则它们的公共项按从小到大的顺序组成的新数列 的通项公式为 _. 答案： 试题分析：令 ，则 ，解得 ，因为 ,所以正奇数。由 可知数列 是以 8为首相 3为公差的等差数列，其奇数项即新数列 是以 8为首相 6为公差的等差数列，所以 。 考点：等差的通项公式。 在 ABC中，内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c.若，则 A=_. 答案： 试题分析： ，所以 ，因为，所以 或 。 考点：三角形面积公式。 数列 中， ，则 为 _. 答案： 试题分析：由已知可得 ，所以 ， ，。 考点：数列的递推关系式。 的值为 . 答案： 试题分析： 。 考点：正弦二倍角公式、诱
7、导公式。 解答题 已知 ， ，求 的值 答案： 试题分析：将 视为整体将已知条件用余弦的两角和公式变形可得 的值，根据角的范围可得 的值，再用二倍角公式分别求 的值，最后用正弦两角和公式将 展开计算即可。 试题：解：由 2分 又由 及 得 4分 所以 6分 8分 12分 考点： 1两角和差公式； 2二倍角公式。 在 ABC中，已知 ,且 、 是方程 的两个根 . （ 1）求 、 、 的值 ; （ 2）若 AB= ，求 ABC的面积 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） 试题分析：（ 1）可将 求解得两根，因为 ，所以。再用正切的两角和公式求 。（ 2）由（ 1）可知，所以 且 均为锐角，则由 可
8、得 的值，根据正弦定理可得 的边长，再根据三角形面积公式求其面积。 试题：解：（ 1）由所给条件，方程 的两根 . 2分 4分 6分 （或由韦达定理直接给出） (2) , . 由（ 1）知， ， 为三角形的内角， 8分 ， 为三角形的内角， ， 由正弦定理得： . . 9分 由 12分 考点： 1两角和差公式； 2同角三角函数基本关系式； 3正弦定理； 4三角形面积公式。 如图，小岛 A 的周围 3.8 海里内有暗礁 .一艘渔船从 B地出发由西向东航行，观测到小岛 A在北偏东 75，继续航行 8海里到达 C处，观测到小岛 A在北偏东 60.若此船不改变航向继续前进，有没有触礁的危险？ 答案：此
9、船继续前行没有触礁的危险 试题分析：根据已知条件可知 ， ，可得 边长，构造直角三角形用三角函数即可求得点 到 的距离，若此距离大于 就没有触礁的危险，否则就会有触礁的危险。 试题：解法 1 在 中， ,所以 . 4分 又已知 ，所以 =8. 8分 过点 作 BC,垂足为 D, 在直角三角形 中， 3.8 11分 所以此船继续前行没有触礁的危险 12分 解法 2 过点 A作 AD ,垂足为 D,由已知， BC=8， BAD=75, CAD=60 4分 在直角三角形 ABD中， ， 在直角三角形 ACD中，同法可得 , 8分 所以 BC=BD-CD= ， 所以 3.8 11分 所以此船继续前行没
10、有触礁的危险 . 12分 考点：解三角形问题。 设数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，其前 项和为 ，且 成等差数列 . （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）记 的前 项和为 ，求 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由 成等差数列得， ，可解得 ，用等差的通项公式可得 。（ 2）因为 等于等差成等比的形式，所以求其前项和应用错位相减法，即写出 的式子后，将式子两边同乘以通项公式中的等比数列的公比即可，但须往后错一位写出其式子，然后两式相减计算即可。 试题：解：（ 1） ， ， ， 2分 由 成等差数列得， ， 即 ， 3分 解得 ，故 ； 6分 （ 2） ， ， 得， 8分
11、得， 10分 12分 考点： 1等差中项； 2等差的通项公式； 3错位相减法求数列的前 项和。 已知函数 ， (1)求 的最大值和最小值 ; (2)若方程 仅有一解 ,求实数 的取值范围 . 答案： (1) ， (2) 试题分析： (1)先用余弦的二倍角公式将其降幂，再用诱导公式及化一公式将其化简为 或 的形式，再根据正弦或余弦的最值情况求其最值。 (2) 由（ 1）知 ，所以方程仅有一解，则函数 在 的图像与函数的图像仅有一个交点。画出其函数图像可得 的范围。 试题：解： (1) 1分 3分 4分 所以当 ，即 时， 5分 当 ，即 时， 6分 (2)方程 仅有一解，则函数 在 的图像与函数
12、 的图像仅有一个交点。 8分 由图像得 11分 的取值范围为 13分 考点： 1三角函数的化简变形； 2三角函数的最值问题； 3三角函数图像； 4数形结合思想。 在等比数列 （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）求数列 an的前 5项的和 ； （ 3）若 ，求 Tn的最大值及此时 n的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 124；（ 3）当 n = 3时， Tn的最大值为 9lg2 试题分析：（ 1）由等比数列的性质可得 ，解方程组可得 ，可得公比 。由等比的通项公式可得其通项公式。（ 2）直接由等比数列的前项和公式可求得。（ 3）根据对数的运算法则可将 化简，用配方法求其最值。 试题：解：（ 1）设数列 an的公比为 q. 由等比数列性质可知： ， 而 ， 3 分 由 （舍）， 5 分 故 6 分 (2) 9 分 （ 3） 10分 12分 当 n=3时， Tn的最大值为 9lg2. 14分 考点： 1等比数列的通项公式； 2对数的运算法则； 3二次函数配方法求最值问题。
