1、2013-2014学年福建省厦门市杏南中学高一 3月阶段测试数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列图形中不一定是平面图形的是（ ） A三角形 B四边相等的四边形 C梯形 D平行四边形 答案： B 试题分析：根据平面的基本性质，推论 1经过一条直线和这条直线外的一点，有且有一个平面 .可知 A一定的平面图形；推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面，推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 .可知 C,D也一定是平面图形 .故选 B 考点：平面的基本性质 . 一空间几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的体积为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由三视图知几何体是一个简单组合体
2、，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是 2，侧棱长是 2，高是 ，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是 2，高是 2， 组合体的体积是 = 故答案：为：考点：圆锥和圆柱的体积 . 如图，三棱柱 中，侧棱 垂直底面 ，底面三角形是正三角形， 是 中点，则下列叙述正确的是（ ） A 与 是异面直线 B 平面 C ， 为异面直线，且 D 平面 答案： C 试题分析： C三棱柱 中，底面是互相平行的，又 E在边 BC 上，所以 ， 无交点，故是异面直线，又底面三角形 是正三角形， 是中点，所以 AE BC， BC/B1C1 AE B1C1，显然 C正确； A 是 中点 ,显然 与 是共面
3、的直线；此选项错误； B若 平面 ，则 AC AB,而 CAB=60，显然是矛盾的，此选项错误； 考点：线面位置关系的判断 . 如图，用一平面去截球所得截面的面积为 ，已知球心到该截面的距离为1 ，则该球的体积是（ ） A. 答案： A 试题分析：由于截面圆的面积为 ，可得 r= ,又球心到该截面 的距离为 1，所以球的半径 R= ，所以球的体积 V= = . 考点：球的体积 设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 答案： C 试题分析：这个题重点在于要分清楚平面的直线的位置关系 .A.若 ，则 或者 /;故错误 .B.若 ，
4、则 或者 /;故错误 .C,正确的，符合线面垂直的判定定理； D.若 ，则 或者 /或者 ，故错误 . 考点：线面关系 . 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么 AB， CD， EF，GH这四条线段所在的直线是异面直线的有（ ） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 答案： C 试题分析：如图所示：把展开图再还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不进过该点的直线是异面直线可得， AB， CD， EF， GH这四条线段所在直线是异面直线的有： AB和 CD， AB 和 HG， EF 和 HC，共三对，故选 C 考点：展开图还原几何体，异面直线 . M N 分别
5、为正方体中棱 BC 和棱 CC1的中点，则异面直线 AC 和 MN 所成的角为 （ ） A 30 B 45 C 60 D 90 答案： C 试题分析：如图，连接 A1C1,BC1,A1B,则 A1C1/ AC, BC1/MN,所以， A1C1B即为异面直线 AC 和 MN 所成的角，由于是正方体，则 A1C1B是等边三角形，所以 A1C1B=60，故选 C. 考点：异面直线所成的角 . 长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3， 4， 5，且它的 8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 ( ) A 25 B 50 C 125 D都不对 答案： B 试题分析： 如图所示，设球的半径为 R，则球的
6、直径 所以球的表面积 故选 B. 考点：外接球的表面积求法 . 垂直于同一条直线的两条直线一定 ( ） A平行 B相交 C异面 D以上都有可能 答案： D 试题分析：如图所示， 故选 D. 考点：空间直线的位置关系 . 面积为 4的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为（ ） A 4 B 8 C 12 D 16 答案： B 试题分析：面积为 4的正方形，得出边长为 2，即正方形绕其一边旋转一周，得到一个高为 2，底面半径也为 2的圆柱体，所以 S=2 *2*2=8 .故选 B. 考点：旋转体，圆柱体的侧面积计算 . 填空题 将边长为 a的正方形 ABCD沿对角线 AC 折起，使 BD
7、=a，则三棱锥DABC 的体积为 _ 答案： 试题分析：如图，过 D点作 DE AC，由于 AC= BE=DE= ,又BD=a DE BE DE 底面 ABC， ABC的面积 S= AB BC=V= S DE= . 考点：三棱锥的体积 . 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 ，腰和上底均为的等腰梯形，那么原平面图形的面积是 _- 答案： 试题分析：如图，根据斜二测画法，可得原平面图形是直角梯形，在直观图中，分别过顶点作底面的高，由于是等腰梯形，可得底面边长为 ，所以在平面图形中，可知 DC=2，所以 S= ( AD+BC) DC= . 考点：直观图和平面图的关系 . 中， ，将三
8、角形绕斜边 AC 旋转一周所成的几何体的体积为 . 答案： 试题分析：三角形绕斜边 AC 旋转一周所成的几何体是两个同底的圆锥，设底面半径是 r， ABC的面积 S= AB BC= AC r,所以， r= ；所以几何体的体积 V= = . 考点：圆锥体积 . 已知二面角 的平面 角是锐角 ， 内一点 到 的距离为 3，点C到棱 的距离为 4，那么 的值等于 . 答案： 试题分析： 如图所示， CE AB,CD ,所以 CD AB，所以 AB 平面 CDE,所以 DE AB，则 CED 是二面角 的平面角，即 CED =，在 Rt CED 中， CE=4，CD=3，所以 DE= ，所以 = =
9、. 考点：二面角 . 正六棱锥的底面边长为 3，侧棱长为 6，则侧棱与底面所成角的度数为_. 答案： 试题分析： 如图所示， O 为底面的中心，连接 SO，因为是正六棱锥，所以 SO 底面 AD，所以 SBO 即为侧棱与底面所成角的平面角；又 OBC是正三角形，所以OB=OC=3，则在 SOB中， cos SBO= , 所以 SBO=60 考点：线面所成的角 . 一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是_. 答案： 试题分析：设底面圆的半径是 r，周长为 c,圆柱的高 (即母线 )为 h，圆柱侧面积=ch=2rh, 圆锥侧面积 ch2=（ 2rh） 2 所以，圆柱侧面积比圆
10、锥侧面积 2： 1 考点：圆柱和圆锥的底面积 . 解答题 如图， ABCD是正方形， O 是正方形的中心， PO 底面 ABCD， E是 PC的中点。 求证：（ 1） PA 平面 BDE （ 4分） （ 2）平面 PAC 平面 BDE（ 6分） 答案：（ 1）见（ 2）见 . 试题分析： (1) O, E分别是是 AC 和 PC的中点 OE AP，又 OE 平面 BDE，PA 平面 BDE，显然 PA 平面 BDE得证； (2)由于 PO 底 ABCD, PO BD，又 AC BD BD 平面PAC， BD 平面 BDE 平面 PAC 平面 BDE 试题：证明： (1) O 是 AC 的中点，
11、 E是 PC的中点， OE AP， 又 OE 平面 BDE， PA 平面 BDE， PA 平面 BDE (2) PO 底 ABCD, PO BD， 又 AC BD，且 AC PO=O BD 平面 PAC，而 BD 平面 BDE， 平面 PAC 平面 BDE 考点：线面平行，面面垂直 . 如图，在四边形 ABCD中， DAB 90， ADC 135， AB 5， CD 2， AD 2，求四边形 ABCD绕 AD旋转一周所成几何体的表面积及体积 答案： S 表面 (60 4 ) V 试题分析：该图形旋转后是一个圆台除去一个倒放的圆锥， 则 S 表面 S 下底面 S 台侧面 S 锥侧面 ， 设圆台上
12、，下地面半径是 r1， r2, 则 S 表面 =r22 (r2 r1)5 r1CD V V 台 -V 锥 ( r1r2 )AE- r2DE，将数据代入计算即可。 试题： 如图，设圆台上，下地面半径是 r1， r2,过 C点作 CF AB，由 ADC 135，CE AD, CD=2 得 EDC 45， r1= CE= 2, 则 CF=4， BF=3， CF AB，得 BC=5， r2= AB= 5, S 表面 S 下底面 S 台侧面 S 锥侧面 =r22 (r2 r1)5 r1CD 52 (2 5)5 22 (60 4 ) V V 台 -V 锥 ( r1r2 )AE- DE = ( 25 )4-
13、 2 考点：圆台，圆锥的表面积和体积 . 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中， M、 N、 P分别是 AD1、 BD和 B1C的中点， 求证： (1)MN 平面 CC1D1D. (2)平面 MNP 平面 CC1D1D. 答案：（ 1）见（ 2）见 试题分析： （ 1）连接 AC,CD1 N 为 BD中点， N 为 AC 中点，又 因为 M为 AD1中点， MN/CD1 MN/平面 CC1D1D (2)连接 BC1,C1D， B1BCC1为正方形， P为 B1C中点， P为 BC1中点， N 为 BD中点， PN/ C1D PN/平面 CC1D1D， 且 MNPN=N 平面 MNP 平面 C
14、C1D1D. 试题： 证明：（ 1）连接 AC,CD1， 因为 ABCD为正方形， N 为 BD中点， 所以 N 为 AC 中点， 又 因为 M为 AD1中点， 所以 MN/CD1 因为 MN平面 CC1D1D, CD1 平面 CC1D1D, 所以 MN/平面 CC1D1D （ 2）连接 BC1,C1D， 因为 B1BCC1为正方形， P为 B1C中点， 所以 P为 BC1中点， 又 因为 N 为 BD中点， 所以 PN/ C1D 因为 PN平面 CC1D1D, CD1 平面 CC1D1D, 所以 PN/平面 CC1D1D 由（ 1）知 MN/平面 CC1D1D且 MNPN=N 所以平面 MN
15、P 平面 CC1D1D. 考点：线面平行，面面平行 . 如图，在长方体 ABCDA 1B1C1D1中， AB 2， BB1 BC 1， E为 D1C1的中点，连结 ED， EC， EB和 DB (1)求证： ED 平面 EBC； (2)求三棱锥 E-DBC 的体积 . 答案： (1)见；（ 2） 试题分析： (1)易得 DD1E为等腰直角三角形 DE EC， BC 平面 BC DE，所以 DE 平面 EBC 平面 DEB 平面 EBC （ 2）需要做辅助线，取 CD中点 M，连接 EM ，DCB （这个证明很关键），然后根据公式. 试题： (1)在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB
16、2， BB1 BC 1， E为 D1C1的中点 DD1E为等腰直角三角形， D1ED 45同理 C1EC 45 ，即 DE EC 在长方体 ABCD- 中， BC 平面 ，又 DE 平面 ， BC DE又 ， DE 平面 EBC又 平面 DEB 平面 EBC （ 2）取 CD中点 M，连接 EM， E为 D1C1的中点， ，且 , 又 DCB . 考点：线面垂直，三棱锥的体积 . 如图，在底面是直角梯形的四棱锥 S-ABCD中， (1)求四棱锥 S-ABCD的体积 ; (2)求证： (3)求 SC与底面 ABCD所成角的正切值。 答案： (1)2; （ 2）见；（ 3） 试题分析：（ 1）底面
17、是直角梯形， ， 可知 SA是棱锥的高，根据公式 , 把数据代入即可； （ 2）根据题设， ， ； （ 3） ，连接 AC，显然 就是 SC与底面 ABCD所成的角得平面角， 在直角三角形 SCA中， . 试题：（ 1）解： ，得 SA是棱锥的高， 又 ABCD是直角梯形， （ 2）证明： 又 （ 3）解：已知， ，连结 AC，则 就是 SC与底面 ABCD所成的角的平面角，则 在直角三角形 SCA中， SA=2， ,AC= , 考点：棱锥体积，面面垂直，线面所成的角 ,是个综合题 . 如图，在四棱锥 中，底面 是 且边长为 的菱形，侧面 是等边三角形，且平面 底面 （ 1）若 为 的中点，求证： 平面 ； （ 2）求证： ； （ 3）求二面角 的大小 答案：（ 1）见（ 2）见 （ 3） 试题分析： ( 1） 为等边三角形且 为 的中点， ,平面 平面 平面 ; （ 2） 是等边三角形且 为 的中点， 且 平面 ; （ 3） ， , ， 为二面角 的平面角。 这是一道立体几何的综合试题，需要对知识有着熟练的运用 . 试题： 证明：（ 1） 为等边三角形且 为 的中点， 又平面 平面 ， 平面 （ 2） 是等边三角形且 为 的中点， 且 ， 又 ， 平面 ，
