1、2013-2014学年福建省安溪一中等三校高二下学期期末理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 =( ) A 2+i B 2-i C 1+2i D 1-2i 答案： C 试题分析：由于 ,故选 C. 考点：复数的运算 . 已知函数 ，设 是函数 的零点的最大值，则下列论断一定错误的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 xn是决定函数值的最重要因素，当 x趋近无穷时 xn也趋近无穷，导致函数值趋近正无穷，所以最终 ，若 ，说明在 x0后有函数值小于 0，但最终函数值大于 0，说明 x0后还有零点，这与 x0是函数 f（ x）的零点的最大值矛盾，故选 D 考点：函数的零点 定义
2、在 上的函数 ， 是它的导函数，且恒有 成立，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由于，又因为，从而有： ；构造函数则 ，从而有 在上是增函数，所以有 即： ，故选 考点：函数的导数 在由数字 0,1,2,3,4,5所组成的没有重复数字的四位数中，能被 5整除的个数有 ( ) A 512 B 192 C 240 D 108 答案： D 试题分析：由于能被 5整除的数，其个位必为 0或 5，由此分两类：第一类：个位为 0的，有 个；第二类：个位为 5的，再分两小类：第 1小类：不含 0的，有 个，第 2小类：含 0的，有 个，从而第二类共有48个；故在由数字 0,1,2,3,4,5所
3、组成的没有重复数字的四位数中，能被 5整除的个数有 60+48=108个，故选 D 考点：排列组合 若对于任意的实数 ，都有 ，则 的值是（ ） A 3 B 6 C 9 D 12 答案： B 试题分析：先令 得： ，再令 得： ，最后令 得： ，将 相加得：，故选 考点：二项式定理及赋值法 如图， EFGH是以 O 为圆心， 1为半径的圆的内接正方形，将一颗豆子随机地掷到圆内，用 A表示事件 “豆子落在正方形 EFGH内 ”， B表示事件 “豆子落在扇形 HOE（阴影部分）内 ”，则 P（ B|A） =（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由条件概率及几何概率可知： P（ B|A），故
4、选 考点：条件概率及几何概率 .已知在 R上可导的函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由在 R上可导的函数 的图象可知：当 或 时，当 时， ；且当 时， ，当 且时， ，从而可得不等式 的解集为 ，故选 考点：函数的导数 已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则的值等于（ ） A 0.5 B 0.2 C 0.3 D 0.4 答案： D 试题分析：因为随机变量 服从正态分布 ,所以其正态曲线关于直线对称 ,如图 ,又因为 ,由对称性得,从而有： ,故选 D. 考点：正态分布 某车间加工零件的数量 与加工时间 的统计数据如下表： 零件数 （个）
5、10 20 30 加工时间 （分钟） 21 30 39 现已求得上表数据的回归方程 中的 值为 0.9，则据此回归模型可以预测，加工 100个零件所需要的加工时间约为 ( ) A 84分钟 B 94分钟 C 102分钟 D 112分钟 答案： C 试题分析：因为 ,又回归直线方程恒过样本中心点 ,且知 值为 0.9,所以有：,回归直线方程为： ,从而当 时 ,由此可预测：加工 100个零件所需要的加工时间约为102分钟 ,故选 C. 考点：线性回归 . 抛物线 在点 处的切线的倾斜角是 ( ) A 30 B 45 C 60 D 90 答案： B 试题分析：设抛物线 在点 处的切线的倾斜角为 ,
6、因为 ,由导数几何意义得： ,故选 B. 考点：导数几何意义 . 填空题 已知点 是函数 的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段 AB总是位于 A、 B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立运用类比思想方法可知，若点 是函数 的图象上任意不同两点，则类似地有_成立 答案： 试题分析：由于函数 的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于 A、 B两点之间函数图象的上方，因此有结论 成立 ;而函数 的图象上任意不同两点 的线段总是位于 A、 B两点之间函数图象的下方 ,类比可知应有：成立 考点：类比推理 将三个分别标有 A， B， C的球随机放入编号为 1,2,3,4的四个盒子中，则
7、1号盒子中有球的不同放法种数为 _ 答案： 试题分析：按号盒子中球的个数分三类：第一类号盒子中有个球，再分两小类：第 1小类：余下两球放入两个不同盒子内 ,有 种不同放法 ,第 2小类：余下两球放入同一盒子内 ,有 种不同放法 ,所以有 种不同放法；第二类号盒子中有个球，有 种不同放法；第三类号盒子中有个球，有种不同放法；故共有： 27+9+1=37种不同的放法 . 考点：排列组合 . 展开式中的常数项是 _. 答案： 试题分析：由二项式定理可知已知二项展开式的通项为：（ r=0,1,2, ， 6），令 得： ；故知已知二项展开式的第三项： 是常数项，故填 60 考点：二项式定理 函数 = 的
8、最小值为 _ 答案： 试题分析：因为 ，图出其图象：易知 的最小值为：3 考点：图数图象 设曲线 C的参数方程为 (t为参数 )，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 C 的极坐标方程为 _ 答案： cos2-sin 0 试题分析：由于曲线 C的参数方程为 (t为参数 )，消去参数 t化为普通方程： ；以直角坐标系的原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则直角坐标与极坐标的关系是： 代入曲线 C的普通方程，得曲线 C的极坐标方程为 cos2-sin 0 考点：直角坐标与极坐标的互化 考点： 1参数方程；极坐标 矩阵 的特征值为 _来源 答案： -3， 试
9、题分析：设矩阵 N 的特征值为 ，则有 （其中 E为单位矩阵），从而有 ，解得；即矩阵 N 的特征值为： -3,8. 考点：矩阵特征值 . 解答题 曲线 C的极坐标方程为 ，以极点 O 为原点，极轴 Ox为 x的非负半轴，保持单位长度不变建立直角坐标系 xoy. （ 1）求曲线 C的直角坐标方程； （ 2）直线 l的参数方程为 若 C与 的交点为 P，求点 P与点 A（ -2,0）的距离 |PA|. 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）将曲线 C的极坐标方程为 ,变形为：,然后将极坐标与直角坐标的互化公式 代入即得曲线 C的普通方程 ;（ 2）由直线参数方程中参数的几何意义可知：
10、 |PA|= ,所以只需将直线 l的参数方程代入曲线 C的普通方程中求出 t值即得 试题：（ 1）因为，又因为 ，所以曲线 C化为直角坐标为：， 3分 （ 2）将 代入 C得： 解得： ，所以 |PA|= 7分 解法 2(不用几何意义 )都化为直角坐标方程的普通方程后，求出交点，再用两点间距离公式 考点：极坐标与直角坐标互化；直线参数方程 如图，向量 被矩阵 M对应的变换 作用后分别变成 ， （ 1）求矩阵 M；（ 2）求 在 作用后的函数式 . 答案：（ 1） ;（ 2） 试题分析：（ 1）由矩阵与变换的知识可知：标变换公式 对应的矩阵为： ，即由矩阵 可将点（ x,y）变换为点 ：满足；从
11、而应用待定系数法，设出所要求的矩阵，再由已知条件代入即可列出方程组，解此方程组就可求出其对应的矩阵；（ 2）在函数的图象上任取一点 ，被 作用后的点为 ，则有，然后将 x,y用含 的式子表示出来，由于点 在函数 的图象上，将上式代入即得 在 作用后的函数式 . 试题：（ 1）待定系数设 M= ,由已知,则有： 且即： ,解得 ,从而有 ， 3分 （ 2）在 的图象上任取一点 ，被 作用后的点为 ，则 ，代入 后得：7分 考点： 1矩阵的特征值；图象变换 已知函数 f(x)=ln(x+1)+ax2-x， a R （ 1）当 时，求函数 y=f(x)的极值； （ 2）是否存在实数 b (0,1)，
12、使得当 x (-1,b时，函数 f(x)的最大值为 f(b)？若存在，求实数 a的取值范围，若不存在，请说明理由 答案：（ 1）在 x=1处取到极小值为 ，在 x=0处取到极大值为 0；（ 2） 试题分析：（ 1）将 代入函数 f(x)式，求出函数 f(x)的导函数，令导函数等于零，求出其根；然后列出 x 的取值范围与 的符号及 f(x)的单调性情况表，从表就可得到函 数 f(x）的极值；（ 2）由题意首先求得： ，故应按 分类讨论：当 a0 时，易知函数 f(x)在 (-1,0)上单调递增，在 (0,+)上单调递减 ,从而当 b (0,1)时 f(b)0时，令 有 x=0或 ，又要按根 大于
13、零，小于零和等于零分类讨论；对各种情况求函数 f(x） x (-1,b的最大值，使其最大值恰为 f(b)，分别求得 a 的取值范围，然而将所得范围求并即得所求的范围；若求得的 a的取值范围为空则不存在，否则存在 试题：（ 1）当 时， ， 则 ，化简得 （ x-1） 2分 列表如下： x (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ) + 0 - 0 + f(x) 增 极大值 减 极小值 增 函数 f(x)在 (-1,0)， (1,+)上单调递增，在 (0,1)上单调递减，且 f(0)=0， 4分 函数 y=f(x)在 x=1处取到极小值为 ， 在 x=0处取到极大值为 0； 5分 （ 2）由
14、题意 （ 1）当 a0时，函数 f(x)在 (-1,0)上单调递增，在 (0,+)上单调递减 , 此时，不存在实数 b (0,1)，使得当 x (-1,b时，函数 f(x)的最大值为f(b)； 7分 （ 2）当 a0时，令 有 x=0或 ， ()当 即 时，函数 f(x)在 已知曲线 C上任意一点 P到两定点 F1(-1,0)与 F2(1,0)的距离之和为 4 （ 1）求曲线 C的方程； （ 2）设曲线 C与 x轴负半轴交点为 A，过点 M(-4,0)作斜率为 k的直线 l交曲线C于 B、 C两点（ B在 M、 C之间）， N 为 BC 中点 ()证明： k kON为定值； ()是否存在实数
15、k，使得 F1N AC？如果存在，求直线 l 的方程，如果不存在，请说明理由 答案：（ 1） ;（ 2） (） ;(）不存在 试题分 析：（ 1）由于曲线 C上任意一点 P到两定点 F1(-1,0)与 F2(1,0)的距离之和为 4，结合椭圆的定义可知曲线是以两定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)为焦点，长轴长为的椭圆，从而可写出曲线 C的方程； （ 2）由已知可设出过点直线 l的方程，并设出直线 l与曲线 C 所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线 C的方程，消去 y就可获得一个关于 x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积； ()应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦
16、的中点坐标，这样就可求出 ON的斜率，再乘以 k就可证明k kON为定值； (）由 F1N AC，得 kAC kFN= -1，结合前边结果就可将此等式转化为关于 k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来 . 试题：（ 1）由已知可得：曲线是以两定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)为焦点，长轴长为的椭圆，所以 ，故曲线 C的方程为：. 4分 （ 2）设过点 M的直线 l的方程为 y=k(x+4)，设 B(x1, y1)， C(x2, y2） (x2y2) ()联立方程组 ，得 ， 则 ， 5分 故 ， ， 7分 所以 ，所以 k kON= 为定
17、值 . 8分 ()若 F1N AC，则 kAC kFN= -1， 因为 F1 (-1,0)， 故 ， 10分 代入 y2=k(x2+4)得 x2=-2-8k2， y2=2k -8k3，而 x2-2，故只能 k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在 13分 考点： 1.椭圆的方程 ;2.直线与椭圆的位置关系 . 如图所示，抛物线 与 轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块 ABCD作为工业用地，其中 A、 B在抛物线上， C、 D在 轴上 .已知工业用地每单位面积价值为 元 ，其它的三个边角地块每单位面积价值 元 . （ 1）求等待开垦土地的面积； （ 2）如何确定
18、点 C的位置，才能使得整块土地总价值最大 . 答案：（ 1） ;（ 2）点 C的坐标为 . 试题分析：（ 1）由于等待开垦土地是由曲线 与 x轴围成的，求出曲线与 x轴的交点坐标，再用定积分就可求出此块土地的面积；（ 2）既然要确定点C的位置，使得整块土地总价值最大 ,那我们只需先设出点 C的坐标为 (x， 0)，然后含 x的代数式表示出矩形地块 ABCD，进而结合（ 1）的结果就可表示出其它的三个边角地块的面积，从而就能将整块土地总价值表示成为 x的函数，再利用导数求此函数的最大值即可 试题：（ 1）由于曲线 与 x轴的交点坐标为（ -， 0）和 ( ,0),所以所求面积 S= ， 故等待开
19、垦土地的面积为 3分 （ 2）设点 C的坐标为 ，则点 B 其中 ， 5分 土地总价值 7分 由 得 9分 并且当 时， 故当 时， y取得最大值 . 12分 答：当点 C的坐标为 时，整个地块的总价值最大 . 13分 考点： 1.定积分 ;2.函数的最值 . 小王经营一家面包店，每天从生产商处订购一种品牌现烤面包出售 .已知每卖出一个现烤面包可获利 10元，若当天卖不完，则未卖出的现烤面包因过期每个亏损 5元 .经统计，得到在某月（ 30天）中，小王每天售出的现烤面包个数及天数如下表： 售出个数 10 11 12 13 14 15 天数 3 3 3 6 9 6 试依据以频率估计概率的统计思想
20、，解答下列问题： （ 1）计算小王某天售出该现烤面包超过 13个的概率； （ 2）若在今后的连续 5天中，售出该现烤面包超过 13个的天数大于 3天，则小王决定增加订购量 .试求小王增加订购量的概率 . （ 3）若小王每天订购 14个该现烤面包，求其一天出售该现烤面包所获利润的分布列和数学期望 . 答案：（ 1） 0.5；（ 2） ；（ 3）分布列为 利润 80 95 110 125 140 概率 0.1 0.1 0.1 0.2 0.5 数学期望为 123.5元 . 试题分析：（ 1）由于小王某天售出该现烤面包超过 13个的情况有三种：恰 14个和恰 15个，由题中表格易得：小王某天售出该现烤
21、面包恰 14个和恰 15个的概率分别为 ，再由小王某天售出该现烤面包恰 14个和恰 15个这两个事件是互斥的，所以小王某天售出该现烤面包超过 13个的概率就等于上述两个概率之和为： 0.3+0.2=0.5 （ 2）设在最近的 5天中售出超过 13个的天数为 ，由于每天售出的个数要么超过 13 个，要么不超过 13 个只有这两种结果，且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变各为 0.5，所以 服从参数为 5和 0.5的二项分布，即，从而事件 “小王增加订购量 ”的概率，即是 3的概率 ,而,再由二项分布的概率公式可算得事件
22、“小王增加订购量 ”的概率； （ 3）由于小王每天订购 14个现烤面包，则可设其一天的利润为 元，由已知求出 的所有可能取值，并结合题只所给条件可得到 的每一个可能取值的概率，从而求得其分布 列，在由数学期望公式： 就可求得所获利润的数学期望 试题：（ 1）记事件 A=“小王某天售出超过 13个现烤面包 ”， 1分 用频率估计概率可知： . 2分 所以小王某天售出超过 13个现烤面包的概率为 0.5. 3分 （ 2）设在最近的 5天中售出超过 13个的天数为 ， 则 . .5分 记事件 B=“小王增加订购量 ”， 则有 ， 所以小王增加订购量的概率为 . 8分 （ 3）若小王每天订购 14个现
23、烤面包，设其一天的利润为 元，则 的所有可能取值为 80， 95， 110， 125， 140. 9分 其分布列为 利润 80 95 110 125 140 概率 0.1 0.1 0.1 0.2 0.5 11分 则 所以小王每天出售该现烤面包所获利润的数学期望为 123.5元 . .13分 考点： 1.概率和公式 ;2.二项分布 ;3.分布列与数学期望 . 如图，在四棱锥 P-ABCD中， PD 平面 ABCD， AB CD， AD CD，且AB=AD=PD=1， CD=2， E为 PC的中点 （ 1）求证： BE 平面 PAD； （ 2）求二面角 E-BD-C的余弦值 答案：（ 1）详见；（
24、 2） 试题分析：（ 1）要想证明线面平行，由线面平行的判定定理可知：只需证明此直线与平面内的某一直线平行即可，考虑到 E为 PC的中点，所以取 中点为,连接 和 AF;然后利用三角形的中位线的性质及空间中平行线的传递性可证 BE/AF,再注意 BE在平面 PAD外 ,而 AF 在平面 PAD内 ,从而可证 BE 平面PAD；（ 2）由已知可知直线 DA、 DC、 DP 两两互相垂直，所以我们可以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系从而由已知就可写出点、 C、 A、 B的坐标 .进而因为 E是 PC的中点，求出 E的坐标，然后就可写出平面 BDE内不共线的两个向量 的坐标，如 ，再设出
25、平面 BDE的一个法向量为 ，利用 可求出平面 BDE的一个法向量；而平面 BDC的一个法向量显然为： ，从而利用两法向量的夹角公式：就可求得所求二面角的余弦值 试题：（ 1）证明：令 中点为 ，连接 ， 1分 点 分别是 的中点， , . 四边形 为平行四边形 . 2分 , 平面 , 平面 4分 (三个条件少写一个不得该步骤分） 5分 （ 2）以 为原点， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系（如图） 则 . 因为 E是 PC的中点，所以 E的坐标为 6分 设平面 DBE的一个法向量为 ，而 则 令 则 所以 9分 而平面 DBC的一个法向量可为 故 12分 所以二面角 E-BD-C的余弦值为
26、。 13分 考点：线面平行；二面角 已知不等式 . （ 1）求该不等式的解集 M； （ 2）若 ，求证： 答案：（ 1） ；（ 2）详见 试题分析：（ 1）将已知不等式化为 的形式，然后利用绝对值的几何意义知： ，去掉绝对值符号，转化为代数不等式来解； （ 2）法一：应用比差法：作差，变形，定号；对差式变形时注意有理化的应用即可；法二：注意到所证不等式两边均为正，所以也可用比商法：作商，变形，与比较大小；同样需注意用有理化的手段 试题：（ 1） 3分 解得： ，所以该不等式的解集 4分 （ 2）法一： ， ,即原不等式成立 7分 法二： ,即原不等式成立 . 7分 考点：绝对值不等式；不等式的证明
