1、2013-2014学年辽宁省沈阳市高中高二质量监测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 在等差数列 中，若 ，则数列 的通项公式为 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：公差 ，所以 。故 A正确。 考点：等差的通项公式。 若 3x， 2x+1， 2x+4是钝角三角形的三条边，则实数 x的取值范围是 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：当三边能构成三角形时 。若三角形为钝角三角形则最长边所对的角的余弦值小于 0。当 最长边为 ，则，整理得 ，解得，所以 。当 时，最长边为 ，则 ，整理得 ，解得或 ，所以，综上可得实数 x的取值范围是。故 D正确。 考点： 1三角形两边之和大
2、于第三遍； 2余弦定理。 若 是任意实数，则方程 x2+4y2 =1所表示的曲线一定不是 ( ) A圆 B双曲线 C直线 D抛物线 答案： D 试题分析：当 时，方程 x2+4y2 =1即为 ，表示两条直线；当时，方程 x2+4y2 =1即为 ，表示圆；当 时，方程 x2+4y2 =1表示双曲线；当 且 时，方程 x2+4y2=1 表示椭圆。则方程 x2+4y2 =1 所表示的曲线一定不是抛物线。故 D 正确。 考点： 1椭圆和双曲线方程； 2余弦的值域。 已知 ABCD是四面体，且 O 为 BCD内一点，则 是 O为 BCD的重心的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D
3、既不充分又不必要条件 答案： C 试题分析：因为 所以。令 中点为 ，所以 ，即 。所以 为 的重心。将上述过程逆过来推倒仍成立，故 C正确。 考点：平面向量的加法法则。 若原点 O 和点 在直线 x+y=a的两侧，则实数 a的取值范围是 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：将直线直线 变形为直线 。因为两点在直线两侧，则将两点代入 所得符号相反，即 ，解得 。故 B正确。 考点：二元一次不等式表示平面区域。 已知 ， ，则下面说法中，正确的个数是 ( ) （ 1）线段 AB的中点坐标为 ；（ 2）线段 AB的长度为 ； （ 3）到 A， B两点的距离相等的点 的坐标 满足 . A
4、0个 B 1个 C 2个 D 3个 答案： D 试题分析：由中点坐标公式可知（ 1）正确；，故（ 2）正确；根据点 到， 距离相等可得 即，整理可得。故（ 3）正确。综上可得正确的个数是 3个。 考点：空间直角坐标系中两点的中点坐标公式和距离公式。 下列说法中，正确的是 ( ) A当 x 0且 x1时， B当 x 0时， C当 x2时， x+ 的最小值为 2 D当 0 x2时， x- 无最大值 答案： B 试题分析：当 时， ，所以 ，故 A不正确； 当 x 0时， ，当且仅当 即 时取 。故B正确； 当 x2时， ，当且仅当 即 时取 ，但因，所以 C不正确； 因为 在 上单调递增， 在 上
5、单调递增，所以函数在 上单调递增，所以 。故 D不正确。 考点： 1基本不等式； 2函数单调性求最值。 若 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，且 ，则 C=( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ，所以，因为 ，所以 。 考点：余弦定理。 若一个动点 到两个定点 的距离之差的绝对值等于 8，则动点 M的轨迹方程为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，由双曲线的定义可知，点 的轨迹是以 为焦点的双曲线。此时 ，即 ，所以点 的轨迹方程是 。故 C正确。 考点：双曲线的定义。 若等差数列 的前 n项和为 Sn，且 S3=6， a1=4
6、，则公差 d等于 ( ) A 1 BC -2 D 3 答案： C 试题分析： ，解得 。故 C 正确。 考点：等差数列前 项和公式。 若抛物线 y2 4x上的点 A到其焦点的距离是 6，则点 A的横坐标是 ( ) A 5 B 6 C 7 D 8 答案： A 试题分析：由抛物线的方程可知抛物线的准线为 ，根据抛物线的定义可知点 到其准线的距离也为 6，即 ，所以 。故 A正确。 考点：抛物线的定义。 若 ，则下列说法正确的是 ( ) A若 ,则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 答案： A 试题分析：当 时， B和 D均不正确。当 时，若 则 。故 C不正确。由不等式的性质可知 A正确。 考点
7、：不等式的性质。 填空题 已知实数 x， y满足 ，则 的最小值是 . 答案： 试题分析：线性不等式组表示的可行域如图： ， ， 。 表示点 与可行域内的点间的距离的平方。 ，点 到直线 的距离为 ，因为 ，所以 。 考点：线性规划。 在等差数列 中，当 时， 必定是常数数列 .然而在等比数列 中，对某些正整数 r、 s ，当 时， 可以不是常数列，写出非常数数列 的一个通项公式 . 答案： 试题分析：设公比为 ，则 ， ，因为 ，所以，因为 且 ，所以 ，因为 ，当时， ，当 ， 。当 时数列为常数列故舍。综上可得 ，令首项 ，则。 考点：等比数列的通项公式。 将下列说法中，正确说法的序号填
8、写在后面的横线上 . 至少有一个整数 x，能使 5x-1是整数； 对于 ； 是 的充要条件； 若命题 为周期函数； 为偶函数，则 为真命题 . 答案： 试题分析：当 时， ，则 正确； 恒成立，所以 正确；当 时 ，但当 时， ，则 是的充分不必要条件，故 不正确；命题 为真命题，命题 也为真命题，所以为真命题，故 正确。综上可得正确的是 。 考点： 1简单命题和复合命题的真假判断； 2充分必要条件； 3配方法求值域。 顶点在原点，且过点 的抛物线的标准方程是 . 答案： 或 试题分析：当抛物线开口向上时，设抛物线方程为 ，将点代入得 ，所以抛物线方程为 ；当抛物线开口向左时，设抛物线方程为
9、，将点 代入得 ，所以抛物线方程为。综上可得所求抛物线方程为 或 。 考点：抛物线方程。 解答题 解关于 的一元二次不等式 . 答案： 试题分析：将一元二次函数化简整理成 的形式，先求方程的两根，根据其图像写出原不等式的解。 试题：解答： ， ， ， . 5分 ， 不等式的解集为 . 10分 考点：一元二次不等式。 辽宁广播电视塔位于沈阳市沈河区青年公园西侧，蜿蜒的南运河带状公园内，占地 8000平方米 .全塔分为塔座、塔身、塔楼和桅杆四部分 . 某数学活动小组在青年公园的 A处测得塔顶 B处的仰角为 45，在地面上，沿着 A点与塔底中心 C处连成的直线行走 129米后到达 D处 (假设可以到
10、达 )，此时测得塔顶 B处的仰角为 60. （ 1）请你根据题意，画出一个 ABCD四点间的简单关系图形； （ 2）根据测量结果，计算辽宁广播电视塔的高度 (精确到 1米 ). 答案：米 试题分析：由题意知 ， ，可用正弦定理求出或 的边长，最后在 或 中用三角函数求 的边长。 试题：解答：（ 1）如图所示 为 ABCD关系图形； 4分 （ 2）因为 ，所以 . 在 ABD中， 米， ， 6分 ， ， 9分 (米 ). 12分 考点： 1正弦定理； 2正弦两角和差公式。 已知数列 的前 项和 满足 ，又 ， . （ 1）求实数 k的值； （ 2）问数列 是等比数列吗？若是，给出证明；若不是，说
11、明理由； （ 3）求出数列 的前 项和 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 ; （ 3） 试题分析：（ 1）由 可得 ，因为，将 ， 代入即可求入实数 k。（ 2）由公式将 转化为 的关系，最后用等比数列的定义证明。 试题：解答：（ 1） ， ， . 2分 又 ， ， ， . 4分 （ 2）数列 是等比数列 . 5分 由（ 1）知 当 时， 得 . 7分 又 ，且 ， ， 数列 是等比数列，公比为 ， . 9分 （ 3） ， ， . 12分 考点： 1正弦定理； 2正弦两角和差公式。 已知函数 的定义域为 .设点 P是函数图象上的任意一点，过点 P分别作直线 y=x和 y轴的垂线，垂足分别为
12、M、 N. （ 1）求证： 是定值； （ 2）判断并说明 有最大值还是最小值，并求出此最大值或最小值 . 答案：（ 1）详见；（ 2） 有最小值 2 试题分析：（ 1）设点 P的坐标为 ，则有 ， ，用点到线的距离公式求 ,问题即可得证。（ 2）用基本不等式可求得的最小值。 试题：解答：（ 1）证明：设点 P的坐标为 ，则有 ， ， 2分 由点到直线的距离公式可知 ， ， 4分 故有 ，即 为定值，这个值为 1. 6分 （ 2） 有最小值，且最小值为 2. 7分 由（ 1）知 ， 8分 ， 10分 当且仅当 ， 点在 时， 有最小值 2. 12分 考点： 1点到线的距离公式， 2基本不等式。
13、在正方体 中， 分别 的中点 . （ 1）求证： ； （ 2）已知 是靠近 的 的四等分点，求证： . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见 试题分析：（ 1）用普通方法不容易证且 为正方体故选用空间向量法。先建立空间直角坐标系，设出正方体的边长得各点的坐标。用向量垂直证线线垂直，再根据线面垂直的定义证得线面垂直。（ 2）由（ 1）可知，用向量证得 ，即 ,再根据线面平行的判定定理证得线面平行。 试题：证明：如图所示，建立空间直角坐标系 . 设正方体的棱长为 . 分别 的中点， ， ， ， . 1分 （ 1） ， . 2分 ， ， ， ， . 3分 ， ， ， . 5分 是平面 上的两条相交直线，
14、 . 6分 （ 2） 是靠近 的 的四等分点， . 7分 设 ，则 ， ， . 9分 ， ， ，且 不在平面 内， . 12分 考点：空间向量法在立体几何中的应用。 设椭圆的方程为 ，斜率为 1的直线不经过原点 ，而且与椭圆相交于 两点， 为线段 的中点 . （ 1）问：直线 与 能否垂直？若能， 之间满足什么关系；若不能，说明理由； （ 2）已知 为 的中点，且 点在椭圆上 .若 ，求椭圆的离心率 . 答案：（ 1）直线 与 不能垂直；（ 2） 试题分析：（ 1）设直线 的方程为 ，与椭圆方程联立，消去整理为关于 的一元二次方程，因为有两个交点则判别式应大于 0，由韦达定理可得根与系数的关系
15、，用中点坐标公式求点 的坐标。求出直线 的斜率，假设两直线垂直则斜率相乘等于 ，解出 的关系式，根据关系式及椭圆中的关系判断假设成立与否。（ 2） M为 ON的中点， M为 AB的中点， 四边形 OANB为平行四边形 . ， 四边形 OANB为矩形， ，转化为向量问题，可得的关系式。由中点坐标公式可得点 的坐标，将其代入椭圆方程，与上式联立消去 即可得 之间满足的关系式。将 代入 之间的关系式，可求其离心率。 试题：解答：（ 1） 斜率为 1的直线不经过原点 ，而且与椭圆相交于 两点， 可以设直线 的方程为 . ， ， . 1分 直线 与椭圆相交于 两点， . 2分 且 . 3分 为线段 的中点， , ， . 4分 假设直线 与 能垂直 . 直线 的斜率为 1， 直线 的斜率为 -1， ， . 5分 在椭圆方程 中， ， 假设不正确，在椭圆中直线 与 不能垂直 . 6分 （ 2） M为 ON的中点， M为 AB的中点， 四边形 OANB为平行四边形 . ， 四边形 OANB为矩形， ， 7分 ， ， ， ， ，整理得 . 8分 点在椭圆上， ， . 9分 此时 ，满足 ， 消去 得 ，即 . 10分 设椭圆的离心率为 e，则 ， ， ， ， ， 相关试题 2013-2014学年辽宁省沈阳市高中高二质量监测理科数学试卷（带）
