1、2013-2014学年重庆市八中高二下学期期中考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据组合数的计算公式可得，从中可得，故选 D. 考点：组合数的计算 . 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了 3个水果，且从这周的第二天开始，每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或 “多一个 ”或“持平 ”或 “少一个 ”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ） A 种 B 种 C 种 D 种 答案： D 试题分析：设 ，则 令 所以共有的方法数为 (按 0个 0,2个 0,4个 0,6个 0分类的 )，故选
2、 D. 考点： 1.数列的递推关系； 2.两个计数原理； 3.组合问题 . 定义在 上的可导函数 满足： 且 ，则不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设 ，则 ，所以 在上单调递减，又因为 ，所以不等式，根据 在 上单调递减，可知 ，故选B. 考点： 1.函数的单调性与导数； 2.函数的单调性在求解不等式中的应用 . 函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，要使函数 在区间上单调递增，则须 即 也就是 在 恒成立，所以 ，设 ，则 在 恒成立，所以 在 单调递增，从而 ，故选D. 考点：函数的单调性与导数 .
3、 从 中选 个不同数字，从 中选 个不同数字排成一个五位数，则这些五位数中偶数的个数为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：第一步，先从 3 个奇数中选两个，第二步，从 4 个偶数中选择 3 个；第三步，从选出的偶数中选出一个放在个数；其余的数进行全排列即可，所以这些五位数中偶数的个数为 ,故选 C. 考点： 1.组合问题； 2.排列问题； 3.两个计数原理 . 函数 的导函数 的图像如图所示，则（ ） A 为 的极大值点 B 为 的极大值点 C 为 的极大值点 D 为 的极小值点 答案： A 试题分析：依图可知 或 ，所以 在 、单调递增； 或 ，所以 在 、单调递减；综上可得 、
4、都是左减右增，所以这两个都是函数的极小值点， 是左增右减，从而该点是 的极大值点，故选 A. 考点： 1.函数的导数与极值； 2.函数的导数与单调性 . 高二年级计划从 3名男生和 4名女生中选 3人参加某项会议，则选出的 3人中既有男生又有女生的选法种数为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：选出的 3 人中既有男生又有女生的选法有两类：第一类是 1 男 2 女，这类共有 种；第二类是 2男 1女，这类共有 种，所以选出的3人中既有男生又有女生的选法种数有 种，故选 B. 考点： 1.组合问题； 2.两个计数原理 . 已知函数 ，则 的导函数 （ ） A B C D 答案： C 试题
5、分析：根据正弦函数的导 数公式及复合函数的求导法则可得：令，则 ，故选 C. 考点：导数的计算 . 双曲线 的离心率为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：依题意可得 ，所以 ，所以该双曲线的离心率 ，故选 C. 考点：双曲线的标准方程及其几何性质 . 设 是虚数单位，则复数 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，故选 A. 考点：复数的运算 . 填空题 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表 设 是位于这个三角形数表中从上往下数第 行、从左往右数第 个数，如 若 ，则 答案： 试题分析：从所给的部分数表可看出，所有奇数都在奇数行，所有偶数都在偶数行 . 是偶数
6、，所以它位于偶数行，将奇数除外，前 行偶数共有个，由 得 ，所以是第 1007个偶数，因为 ，所以位于第 32偶数行，即第 行， ，前 31行偶数共有个偶数，所以第 31偶数行的最后一个数为 ，第 32偶数行的第一个数为 ， 2013是第 ， .所以. 考点： 1.合情推理 归纳推理； 2.数列的计算 . 将 名大学生分配到 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种 . 答案： 试题分析：先将 5名大 学生分成三组：有两组各 1人，另一组有 3人有种分法；有两组各 2人，另一组 1人有 分法，然后将这三组大学生分别分配到 3个乡镇去当村官有 种；综上可知不同的分配方案有种 .
7、考点：排列组合的综合问题 . 曲线 在点 处的切线方程为 答案： 试题分析：因为 ，所以所求切线的斜率 ，而，故所求的切线方程为 即 . 考点：导数的几何意义 . 若 6 名学生排成一列，则学生甲、乙、丙三人互不相邻的排位方法种数为 答案： 试题分析：先排除甲、乙、丙外的三人有 种排法，后将甲、乙、丙三人插入有 种，故学生甲、乙、丙三人互不相邻的排位方法种数有种 . 考点： 1.排列问题； 2.两个计数原理 . （用数字作答） 答案： 试题分析：因为 ，所以 . 考点：定积分的计算 . 解答题 某研究性学习小组有 名同学 （ 1）这 名同学排成一排照相，则同学甲与同学乙相邻的排法有多少种？ （
8、 2）从 名同学中选 人参加班级 接力比赛，则同学丙不跑第一棒的安排方法有多少种？ 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）对于相邻问题采用捆绑后，将甲乙捆绑后当成一个人与其他四人一起排列，最后根据分步计数原理即可得到甲乙相邻有 种排法；（ 2）方法一，先按丙同学有没有参加接力进行分类，进而求出这两种情况下的方法数，最后将这两类的方法数相加即可；法二，分两步走，第一步先确定第一棒是由除丙以外的哪个同学跑，第二步确定第二、三、四棒是由哪几位同学去跑，进而根据分步计数原理即可得到满足要求的方法数 . （ 1）分两步走：第一步先将甲乙捆绑有 种方法；第二步，甲乙两人捆绑后与其他四人一起排列
9、有 种方法，所以这 名同学排成一排照相，则同学甲 与同学乙相邻的排法有 种； （ 2）法一：分成两类：第一类，同学丙没有参加接力比赛的安排方法有种；第二类，同学两参加接力比赛但不跑第一棒的安排方法有 ；综上可知从 名同学中选 人参加班级 接力比赛，则同学丙不跑第一棒的安排方法有 种； 法二：跑第一棒的选法有 种方法；第二、三、四棒的选法有种方法，所以从 名同学中选 人参加班级 接力比赛，则同学丙不跑第一棒的安排方法有 种 . 考点： 1.两个计数原理； 2.排列问题 . 已知函数 在 处取极值 （ 1）求 的值； （ 2）求 在 上的最大值和最小值 答案：（ 1） ；（ 2） ； . 试题分析
10、：（ 1）先求出导函数 ，进而根据函数在 处取极值得到 即 ，从中即可确定 的值；（ 2）根据（ 1）中确定的 的值，确定 ，进而可确定函数 在 上单调递增，在 上单调递减，从而可确定 ，然后比较 、 ，最大的值就是函数 在 上的最大值 . （ 1）因为 ，所以 又因为函数 在 处取极值 所以 即 ，所以 （ 2）由（ 1）知 所以当 时， ，当 时， 所以当 时，有 在 上单调递增，在 上单调递减 所以 又 ， 所以 考点： 1.导数的几何意义； 2.函数的单调性与导数； 3.函数的最值与导数 . 已知椭圆 过点 且离心率为 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）若斜率为 的直线 交 于 两点，
11、且 ，求直线 的方程 答案：（ 1） ；（ 2）直线 的方程为 . 试题分析：（ 1）先根据椭圆过点 确定 ，进而根据离心率及椭圆中的关系式得到 ，进而求解出 即可确定椭圆 的方程；（ 2）设 及直线 ，进而联立直线与椭圆的方程得到，消 得到 ，进而根据二次方程根与系数的关系可得 ， ，进而代入弦长公式，从中即可求解出 的值，进而可确定直线的方程 . (1)由题知 ，又因为 ，从中求解得到 则椭圆 的方程为 (2)设 ，直线 由 ，消去 得到 则 ， 则 解得 ，又直线 与 有两个交点 故直线 的方程为 . 考点： 1.椭圆的标准方程及其几何性质； 2.直线与椭圆的位置关系； 3.二次方程根与
12、系数的关系 . 如图，四棱锥 中， ， ， ，平面 平面 ， 是线段 上一点， ， （ 1）证明： 平面 ； （ 2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值 答案：（ 1）证明详见；（ 2）直线 与平面 所成角的正弦值为 . 试题分析：（ 1）要证 平面 ，只须证明 与平面 内的两条相交直线 垂直即可，对于 的证明，只需要根据题中面面垂直的性质及线面垂直的性质即可得出，对于 的证明，这需要在平面的直角梯形中根据 及 得出 ，进而可得出 ，问题得以证明；（ 2）分别以 、 、 所在的直线为、 、 轴建立空间直角坐标系，进而写出有效点的坐标，设平面 的法向量 ，由 确定该法向量的一个坐标，进而根据线
13、面角的向量计算公式 即可得出直线 与平面 所成角的正弦值 . （ 1）证明：由已知条件可知：在 中， ，所以在 中， ，所以 所以 又因平面 平面 ， 面 由 及 可得 平面 （ 2）如图分别以 、 、 所在的直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系 则 ， , , 所以 ， 设平面 的法向量 ，则有： 即 ，取 ，则 设直线直线 与平面 所成角为 ，有所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 考点： 1.空间中的垂直关系； 2.空间向量在解决空间角中的应用 . 已知函数 （ 为小于 的常数） （ 1）当 时，求函数 的单调区间； （ 2）存在 使不等式 成立，求实数 的取值范围 答案：（ 1） 的
14、单调递增区间为 ，递减区间为 和 ；（ 2） . 试题分析：先求出导函数 ，（ 1）将 代入得到，进而由 及 可求出函数的单调增区间与减区间；（ 2）先将存在 使不等式 成立等价转化成 ；然后由 ，得 或 ，进而对 分、 、 三种情况，分别求出函数 在 上的最大值， 进而求解不等式 得出 的取值范围结合各自 的条件求得各种情况下 的取值范围，最后这三种情况的 的取值范围的并集即可 . (1) 当 时， 所以由 ，由 或 所以 的单调递增区间为 ，递减区间为 和 (2) ，令 ，得 或 当 时，即 时， 在 上单调递增 则 ，解得 ，所以 满足题意 当 时，即 时 在 上单调递增， 上单调递减
15、故 ，解得 ，所以当 时满足题意 当 时，即 时， 在 上单调递减 故 ，解得 ，所以 时满足题意 综上所述 . 考点： 1.函数的单调性与导数； 2.函数的最值与导数； 3.不等式存在成立问题；4.分类讨论的思想 . 已知数列 满足 ， （ 1）求 的值，由此猜测 的通项公式，并证明你的结论； （ 2）证明： 答案：（ 1）猜想 ，证明详见；（ 2）证明详见 . 试题分析：（ 1）根据递推关系，依次附值 即可得到 的取值，进而作出猜想 ，然后再用数学归纳法证明即可；（ 2）先化简，进而采用放缩法得到，进而将 取 1， 2， 3， ， 时的不等式相乘即可证明不等式 ，然后构造函数 ，确定该函数在区间 上的单调性，进而得到在 恒成立，从而可得 即，问题得以证明 . （ 1）令 可知 ， ， 猜想 ，下用数学归纳法证明 . （ 1） 时，显然成立； （ 2）假设 时，命题成立 .即 . 当 时，由题可知 . 故 时，命题也成立 . 由（ 1）（ 2）可知， . （ 2）证明： 由于 ，可令函数 ，则 ，令，得 ，给定区间 ，则有 ，则函数 在上单调递减， ，即 在 恒成立，又，则有 ，即所以 . 考点： 1.数学归纳法； 2.数列不等式的证明 放缩法、构造函数法、数学归纳法等 .
