1、2013-2014年湖南省衡阳市八中上学期高二期末考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 命题 “若 p，则 q”的逆命题是 （ ） A若 q，则 p B若 p，则 q C若 ，则 D若 p，则 答案： A 试题分析：根据原命题与逆命题的关系可得： “若 p，则 q”的逆命题是 “若 q，则p”，所以 A选项正确； B选项为原命题的否命题； C选项为原命题的逆否命题； D选项为原命题的否定 考点：原命题与逆命题 设抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线交抛物线于 、两点，分别过 、 两点作抛物线的两条切线交于点 ，则有（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设出过点 F的直线方程即 ，联立
2、方程组 ，化简整理得 ，设 ， ，则由韦达定理得， ， 由可得， ，所以 ，所以抛物线在 A,B 两点处的切线的斜率分别为 ， 所以在点 A处的切线方程为 ，即 同理在点 B处的切线方程为 于是解方程组 可得， ，所以点 C的坐标为 所以 故答案：应选 A 考点：直线与抛物线的位置关系；向量的数量积 设不等式组 表示平面区域为 D，在区域 D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2的概率是 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：首先画出区域 D： 表示正方形 OABC，（如下图所示），其中 O为坐标原点， A（ 2， 0）， B（ 2， 2）， C（ 0， 2）然后根据到坐标原点
3、的距离大于 2知，满足其要求的点所表示的区域为位于以原点 O为圆心、半径为 2的圆外且位于图中正方形 OABC内，即扇形 OAC（下图黄颜色部分） 又因为正方形 OABC的面积 ，黄颜色部分的面积为正方形 OABC的面积减去扇形 OAC的面积即 ，故所求概率 ，即答案：为 D 考点：几何概型 椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为 ，焦距为 4，则该椭圆的方程为（ ） A B + =1 C + =1 D + =1 答案： C 试题分析：由题意可设所求椭圆方程为 ，又因为长轴长为 和焦距为 4，所以 、 ，即 ， ，再由 ，故所求椭圆方程为 ，故选 C 考点：椭圆的标准方程 设某大学的女生体重
4、 （单位： kg）与身高 （单位： cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（ xi， yi）（ i=1， 2， ， n），用最小二乘法建立的回归方程为 ，则下列结论中不正确的是 （ ） A 与 具有正的线性相关关系 B回归直线过样本点的中心（ ， ） C若该大学某女生身高增加 1cm，则其体重约增加 0 85kg D若该大学某女生身高为 170cm，则可断定其体重必为 58 79kg 答案： D 试题分析：由线性回归方程 知， ，所以 与 具有正的线性相关关系的，故选项 A 正确；由回归直线方程恒过样本点的中心（ ，）知，选项 B正确；若该大学某女生身高增加 1cm，则由 知其体重约增加 0
5、 85kg，因此 C选项正确；若该大学某女生身高为 170cm，则可预测或估计其体重为 58 79kg，并不一定为 58 79kg，因此选项 D不正确故答案：为 D 考点：变量间的相关性 某学生在一门功课的 22次考试中，所得分数茎叶图如图所示， 则此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为 （ ） A 117 B 118 C 118 5 D 119 5 答案： B 试题分析：由茎叶图知， 22次考试分数最高分数为 98，最低分数为 56，所以其极差为 98-56=42；从小到大排列，中间两数为 76， 76， 所以中位数为 76故此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42+76=118故
6、选 B 考点：茎叶图 设函数 ，则 （ ） A 为 的极大值点 B 为 的极小值点 C 为 的极大值点 D 为 的极小值点 答案： D 试题分析：首先求出导函数 ，然后令 ，解得，且当 时， ；当 时， ；由极值定义知，函数 在 处取得极小值，即 是 的极小值点故选 D 考点：利用导数求函数的极值 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入 的值为 -5， 则输出的 值是 （ ） A B 1 C D 答案： A 试题分析：根据程序框图知，若输入 的值为 -5，则 第一次判断： ，执行赋值语句 ，即 ； 第二次判断： ，执行赋值语句 ，即 ； 第三次判断： ，执行赋值语句 ，即 ； 第四次判
7、断： ，执行语句 ，即 ，结束程序故选 A 考点：程序框图与算法 “ ”是 “ ”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：由 “ ”可得， 或 ，不能推出 ，即 “ ”不是 “ ”的充分条件；反过来，由 “ ”可得， “ ”，即 “ ”是“ ”的充分条件， “ ”是 “ ”的必要条件故答案：应选 B 考点：充分条件与必要条件 填空题 若规定 E= 的子集 为 E的第 k个子集，其中 k=，则（ 1） 是 E的第 个子集；（ 2） E的第 211个子集是 答案：（ 1） 5；（ 2） 试题分析：（ 1）由题意新定义知， 中 ， ，
8、故第一空应填 5； （ 2）因为 ，所以 E的第 211个子集包含 ，此时 211-128=83；又因为 ， ，所以 E的第 211个子集包含 ，此时 83-64=19；又因为 ， ，所以 E的第 211个子集包含 ，此时 19-16=3；又因为 ， ，所以 E的第 211个子集包含 ，此时3-2=1；因为 ，所以 E的第 211个子集包含 ；故 E的第 211个子集是故第二空应填 考点：子集与真子集；新定义 已知 4张卡片上分别写有数字 1， 2， 3， 4，从这 4张卡片中随机抽取 2张，则取出的 2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 答案： 试题分析：直接列举出所有情况，看取出的两张卡片上
9、的数字之和为奇数的情况数占所有情况总数的即可，即所有种数有： 12、 13、 14； 21、 22、 23； 31、32、 34； 41、 42、 43，共 12种其中取出的两张卡片上的数字之和为奇数的所有种数有： 12、 14； 21、 23； 32、 34； 41、 43，共 8种根据古典概 型的计算公式知， 考点：古典概率；列举法 设 为常数，若点 F（ 5,0）是双曲线 的一个焦点，则 = 答案： 试题分析：直接由点 F（ 5,0）是双曲线 的一个焦点及 可得， ，解得 考点：双曲线的简单性质 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的 学生中
10、抽取容量为 50的样本，则应从高二年级抽取 名学生 答案： 试题分析：首先根据高一、高二、高三年级的学生人数之比为 得，高二年级在总体中所占的比例是 ；然后由样本容量为 50和分层抽样的方法特征知，应从高二年级抽取的学生人数为 考点：分层抽样方法 曲线 在点（ 1， 3）处的切线方程为 答案： 试题分析：先求出导函数 ，然后令 得，再由所求切线方程过点（ 1， 3），所以所求切线方程为： ，化简整理得 故答案：为 考点：导数的概念及其几何意义 已知命题 ， ，则命题 P的否定是 答案： ， 试题分析：因为所给命题 P是一个全称命题，其命题的否定就是特称命题，即， 考点：命题的否定；特称命题与全
11、称命题 解答题 已知 ，若命题 “ p且 q”和 “ p”都为假，求 的取值范围 答案： 试题分析：首先分别求出命题 p、 q为真命题时 的取值范围，然后由复合命题真值表及题意知，命题 p为真，命题 q为假由此求出 的取值范围即可 试题：命题 p为真时， ；命题 q为真时， 或 然后由复合命题真值表知，若命题 “ p且 q”和 “ p”都为假，则 p为真， q为假所以满足：，解得 ，故 的取值范围为 考点：复合命题的真假 现有 6道题，其中 4道甲类题， 2道乙类题，张同学从中任取 2道题解答试求： （ ）所取的 2道题都是甲类题的概率； （ ）所取的 2道题不是同一类题的概率 答案：（ ）
12、；（ ） 试题分析：（ ）根据题意，设事件 A为 “都是甲类题 ”，由计数原理可分别求出实验结果总数与事件 A包含的基本事件数目，然后由古典概率计算公式计算即可得出答案：；（ ）设事件 B为 “所取的 2道题不是同一类题 ”，由组合计算公式分别求出从 6道中抽取 2道的情况数目与抽出的 2道是一个甲类题，一个是乙类题的情况数目，最后由古典概型的计算公式即可得出答案： 试题：（ ）从中任取 2道题解答，实验结果总数有 种；设事件 A 为“所取的 2道题都是甲类题 ”，则包含的基本事件共有 种， 由古典概型的计算公式得， ； （ ）设事件 B为 “所取的 2道题不是同一类题 ”，则从 6道题中抽取
13、 2道共有种情况，而踌躇的 2道满足一道是甲类题，一类是乙类题的情况数目有种，故由古典概型的计算公式知， 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 某校从高一年级学生中随机抽取 40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分 100分，成绩均为不低于 40分的整数）分成六段： ， ， ，后得到如图的频率分布直方图 （ 1）求图中实数 的值； （ 2）若该校高一年级共有学生 640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于 60分的人数； 答案：（ 1） ；（ 2） 544 试题分析： （ 1）根据图中所有小矩形的面积之和等于 1，建立 关于 的等式，解之即可求出答案：； （ 2）根据频率分布直
14、方图直接求出成绩不低于 60分的频率，然后根据频数 =频率 总数即可求出结果 试题：（ 1）由于图中所有小矩形的面积之和等于 1，所以解得 （ 2）根据频率分布直方图，成绩不低于 60分的频率为 由于该校高一年级共有学生 640人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级数学成绩不低于 60分的人数约为 人 考点：概率分布直方图 设函数 ，曲线 过 P（ 1,0），且在 P点处的切斜线率为 2 （ I）求 a， b的值；（ II）令 ,求 的单调区间 答案：（ I） ； （ II） 在（ 0,1）上单调递增，在 上单调递减 试题分析：（ I）先求出函数的导函数，再利用已知条件建立方程组，解之
15、即可得到 a， b的值； （ II）先求出 的表达式，再求出它的导函数，然后令导函数大于和小于 0即可分别求出其单调增区间和单调减区间 试题：（ I） 由已知条件得 ，解得 （ II） 的定义域为 ，由（ I）知 设 则当 时， ；当 时， ；所以 在（ 0,1）上单调递增，在 上单调递减 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 如图，抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原点，点 P（ 1,2）， A（ x1，y1）， B（ x2， y2）均在抛物线上 （ 1）写出该抛物线的标准方程及其准线方程； （ 2）当直线 与 的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值及直线 的斜率 答
16、案：（ 1）所求抛物线的方程是 ，准线方程是 （ 2） 且由 - 得直线 AB的斜率为 -1 试题分析：（ 1）设出抛物线的方程，把点 P代入抛物线求得 p，即求出抛物线的方程，进而求得 抛物线的准线方程；（ 2）设直线 的斜率为 ，直线的斜率为 ，则可分别表示 、 ，根据倾斜角互补可得 ，进而得出 与 之间的等式关系，最后把点 A、 B代入抛物线的方程并将两式相减后即可求得直线 AB的斜率 试题：（ 1）由已知条件，可设抛物线的方程为 因为点 P（ 1,2）在抛物线上，所以 ，解得 故所求抛物线的方程是 ，准线方程是 （ 2）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，则 ， 因为 与 的斜率存在
17、且倾斜角互补，所以 又由 ，均在抛物线上，得 所以 ，所以 且由 - 得直线 AB的斜率为 -1 考点：抛物线的应用 已知 是实数，函数 。 （ ）若 =3，求 的值及曲线 在点 处的切线方程； （ ）求 在区间 上的最大值。 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ ）先求出 ，然后直接利用 得到 的值，最后将的值代入 中求出 得到切点，而切线的斜率等于 ，写出切线方程即可； （ ）令 即可求出 的值，利用 的值分三个区间讨论 的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的最大值即可 试题： （ ） ，因为 ，所以 又当 时， ， ，所以曲线 在 处的切线方程为 （ ）令 ，解得 ， 当 ，即 时， 在 上单调递增，从而 当 ，即 时， 在 上单调递减，从而 当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，从而 综上所述， 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程
