1、2013届上海市外国语大学附属大境中学高三赴蚌埠二中交流数学试卷与答案（带解析） 选择题 由 9个互不 相 等 的 正 数 组 成 的 数 阵 中，每 行 中 的 三 个 数 成 等 差 数 列，且 、 、 成等比数列，下列四个判断正确的有 （ A ） 第 2列 必成等比数列 第 1列 不一定成等比数列 若 9个数之和等于 9，则 （ A） 4个 （ B） 3个 （ C） 2个 （ D） 1个 答案： A 试题分析：为了方便书写，不妨设这个数阵为 ，因为、 、 成等比数列，所以 成等比数列，即 成等比数列，所以 第 2列 必成等比数列；但不一定成等比数列，因此 正确；因为 为不等正数且成等比数
2、列，所以 ，所以 成立；若这 9个数的和为 9，即， 成立。 考点：等差数列性质和等比数列性质的综合应用；基本不等式。 点评：若三个数成等差数列，则这三个数可以设为 。属于基础题型。 对 ，定义 ，则函数是（ ） A奇函数但非偶函数； B偶函数但非奇函数； C既是奇函数又是偶函数； D非奇非偶函数 答案： B 试题分析：根据定义得： ，因为定义域 R关于原点对称，又，所以偶函数但非奇函数。 考点：函数奇偶性的判断。 点评：本题给出新定义，然后根据新定义写出新函数，判断新函数的奇偶性。考查了学生的理解能力，同时也考查了函数的奇偶性的判断方法，属于中档题。 已知直角坐标系中圆 方程为 ， 为圆内一
3、点（非圆心）， 那么方程 所表示的曲线是 （ ） A圆 B比圆 半径小，与圆 同心的圆 C比圆 半径大与圆 同心的圆 D不一定存在 答案： B 试题分析：设圆的一般式方程为： x2+y2+Dx+Ey+F=0（ ），因为 为圆内一点，所以 x02+y02+Dx0+Ey0+F0，所以x2+y2+Dx+Ey+F=x02+y02+Dx0+Ey0+F所表示的曲线是比圆 半径小，与圆 同心的圆。 考点：圆的一般式方程；点与圆的位置关系。 点评：方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,当 时，表示圆的方程；当时，表示点 ；当 时，不表示任何图形。 若 均为单位向量，则 “ ”是 “ ”的（ 条件。 A充分非必
4、要 B必要非充分 C既不充分也不 D充要 必要 答案： B 试题分析：若 ，因为 ，所以 共线且同向，设 ； 若 ， 不一定成立，因为 ，。 考点：向量的运算；向量的综合；充分、必要、充要条件的判断。 点评：本题以充分、必要、充要条件的判断为背景，来考查向量的有关知识。属于中档题型。 填空题 设集合 ，若 ，则实数 取值的范围为 ； 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，当 时， ；当 时，要满足 ，需 ，所 。综上知实数 取值的范围为 。 考点：集合间的关系。 点评：本题一定不要忘记对 时的讨论。 ，其中均为常数，下列说法正确的有 (1)若 ，则对于任意 ， 恒成立； (2) 若 ，则 是奇函数
5、； (3) 若 ，则 是偶函数； (4) 若，且当 ，则 ； 答案： (1) (2) (3) (4) 试题分析： (1)若 ，由 (2) (3)知 f(x)即是奇函数又是偶函数， 所以对于任意 ， 恒成立； (2) 若 ， ， 所以 + +=0，所以 是奇函数； (3) 若 ，所以 ，所以 -=0，所以 是偶函数； (4) 若 ，且当 ， 所以所以 所以可得 ； 考点：数列与三角函数的综合。 点评：本题的考点是数列与三角函数的综合，主要考查三角函数的化简，考查新定义三角函数的性质，解题的关键是一一判断，我们一定要有耐心进行化简求值。 是等比数列 的前 项和，对于任意正整数 ，恒有 ，则等比数列
6、 的公比 的取值范围为 答案： 试题分析：因为，对于任意正整数 ，恒有 ，所以 。因为 ，所以 经验证、讨论得公比 的取值范围为 。 考点：等比数列的性质；等比数列的前 n项和。 点评：此题主要考查等比数列的前 n和公式。对公比 q的分类讨论是解题的关键。属于中档题。 当 为正整数时，定义函数 表示 的最大奇因数如 ， 记 则 （用 来表示） 答案： 试题分析：由 N（ x）的性质可得知，当 x是奇数时， x的最大奇数因子明显是它本身因此 N（ x） =x,因此，我们就可将 进行分解，分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加，即 ， 所以 =N（ 1） +N（ 3） +N （ ） =1+3+ =
7、 。 当 x是偶数时，且 x ） 当 k=1时， x 2， 4）该区间包含的偶数只有 2，而 N（ 2） =1所以该区间所有的偶数的最大奇因数之和为 ； 当 k=2时， x 4， 8），该区间包含的偶数为 4， 6，所以该区间所 有的最大奇因数偶数之和为 当 k=3时， x 8， 16），该区间包含的偶数为 8， 10， 12， 14，则该区间所有偶数的最大奇因数之和为 ，因此我们可以用数学归纳法得出当 x ）该区间所有偶数的最大奇因数和 对 k从 1到 n-1求和得 ， 综上知： 。 考点：数列的综合应用。 点评：本题主要考查了数列的求和问题考查了学生通过已知条件分析问题和解决问题的能力 一
8、个长方体共一顶点的三个面对角线长分别是 ，则 的取值范围为答案： 试题分析：如图，易知 三个边长需要构成锐角三角形，所以只需边长 2和边长 x的对角为锐角即可，所以 。 考点：长方体的结构特征；余弦定理。 点评：在 ABC中， 。 都是 的子集，则满足 的不同集合组（ ）有 组 答案： 试题分析： ，共 8种； 共 4种；同理集合A为 时，集合 B各有 4种；共 2种；同理 ，集合 B各有 2种；共 1种。综上知：不同集合组（ ）有27组。 考点：集合的运算；排列、组合。 点评：对于没有规律的排列、组合问题，我们可以一一列出。考查了学生分析问题、解决问题的能力。属于中档题。 写出一个同时满足下
9、列条件的函数 ： 为周期函数且最小正周期为 是上的偶函数 是在 上的增函数 的最大值与最小值差不小于 4 答案： 试题分析： 由 我们往往联系三角函数，又周期 ，所以可以让 的值为；由 我们联系三角函数的余弦函数，再根据 我们可以写出满足条件的一个函数 。 考点：三角函数的性质：奇偶性、单调性、周期性及最值。 点评：熟练掌握三角函数的的性质是做此题的前提条件。实质上，满足条件的函数不仅仅有 ，还有很多，比如， 。 已知 O 为原点， A， B点的坐标分别为 ， ，点 P在线段 AB上运动且 ，则 的值为 答案： 试题分析：因为 ，所以 Q 为 AB 的中点，所以 Q 点坐标为（ 1,1），因为
10、点 P在线段 AB上运动，所以设 P点坐标为（ x,2-x） ,所以，所以 。 考点：终点坐标公式；平面向量数量积的坐标运算。 点评：做本题的关键是把平面向量的数量积用坐标进行运算。属于基础题型。 的展开式中，系数最大的项是第 项 答案： 试题分析：根据二项式定理展开，得： ，当 r=2时，所以当 r=4时系数最大，即第五项系数最大。 考点：二次项定理。 点评：注意二项式系数与项的系数的区别。属于基础题型。 函数 的图象与直线 有且仅有两个不同的交点，则 的取值范围是 _。 答案： 试题分析： ，画出简图如下： 由图可知，当 时，有且仅有两个不同的交点。 考点：三角函数的图像；图像的变换；分段
11、函数。 点评：本题主要考查数形结合的数学思想，通过分段讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数的形式，然后画出图像。由图像我们不仅知道什么时候有两个不同的交点，我么也可以知道什么时候有一个、有三个、有四个交点。 若数列 满足 （ ， 2， ， ），若 ，则 = 答案： 试题分析：因为 ，且 ， ，所以 是首项为 12，公差为 1的等差数列，所以 。 考点：数列的综合应用；等差数列的性质。 点评：做此题的关键是分析出 是首项为 12，公差为 1的等差数列。考查了学生分析问题，解决问题的能力。 如果 ，则实数 = 答案： 或 试题分析：因为 ，所以 ，解得 a= 或 . 考点：复数的基本性质；复数的运算
12、。 点评：切记：虚数不能比较大小。如果说：复数不能比较大小。这种说法是错误的，因为复数包括实数，实数可以比较大小。 已知向量 ， ，则 与 所成角 的取值范围为 答案： 试题分析：因为 ， ，在平面直角坐标系中标出，如图： 由图知，向量 在 y轴和 之间，所以 与 所成角 的取值范围为。 考点：平面向量的数量积；向量的夹角公式。 点评：此题利用数形结合来求角的范围。我们要注意两个向量的夹角为 。 已知函数 ，数列 满足 ，且数列 是单调递增数列，则实数 的取值范围是 答案： 试题分析：因为数列 是单调递增数列，所以 ，解得。 考点：分段函数；函数的单调性；指数函数的性质；一次函数的性质。 点评
13、：此题是易错题。出错的主要原因为忘记限制 。此题的难度也较大。 解答题 如图，在直三棱柱 中， ， ，是 的中点 （ 1）求证： 平行平面 ； （ 2）求二面角 的余弦值； （ 3）试问线段 上是否存在点 ，使 与 成 角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由 答案：（ 1）只需证 ；（ 2） ；（ 3）点 为线段 中点时，与 成 角 . 试题分析：（ ）证明：连结 ，交 于点 ，连结 . 由 是直三棱柱， 得 四边形 为矩形， 为 的中点 . 又 为 中点，所以 为 中位线， 所以 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . （ ）由 是直三棱柱，且 ，故 两两垂直 . 如图建立空间直角
14、坐标系 .设 ， 则 . 所以 ， 设平面 的法向量为 ，则有 所以 取 ，得 . 易知平面 的法向量为 . 由二面角 是锐角，得 . 所以二面角 的余弦值为 . （ ）假设存在满足条件的点 . 因为 在线段 上， ， ，故可设 ，其中 . 所以 ， . 因为 与 成 角，所以 . 即 ，解得 ，舍去 . 所以当点 为线段 中点时， 与 成 角 . 考点：线面平行的判定定理；二面角；异面直线所成的角。 点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种： 综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。 向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角
15、，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。 某兴趣小组测量电视塔 AE的高度 H(单位： m），如示意图，垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m，仰角 ABE= ， ADE= 。 (1) 该小组已经测得一组 、 的值， tan =1.24， tan =1.20，请据此算出 H的值； (2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调 整标杆到电视塔的距离 d（单位：m），使 与 之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m，试问 d为多少时， 最大？ 答案：（ 1） 124m。（ 2） m。 试题分析：（ 1）过 作 交 与点 ，则所以，电视塔的高度 H是 124m。 （ 2）由
16、题设知 ， 当且仅当 时，取等号， 故当 时， 最大。 因为 ，则 ，所以当 时， - 最大。 故所求的 是 m。 考点：解三角形的实际应用；和差公式；基本不等式。 点评：在解应用题时，我们要分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题。解题中，要注意正、余弦定理的灵活应用及公式的熟练应用。 动圆 经过定点 ，且与直线 相切。 （ 1）求圆心 的轨迹 方程； （ 2）直线 过定点 与曲线 交于 、 两点： 若 ，求直线 的方程； 若点 始终在以 为直径的圆内，求 的取值范围。 答案：（ 1） ；（ 2） ， 。 试题分析：（ 1）由题意
17、： 到点 距离与 到直线 距离相等，所以点 的轨迹是以 为焦点，直线 为准线的抛物线，其方程为 （ 2） 设直线 ： ，代入抛物线方程得： 设 则 由 得 ， 代入 解得： 即所求直线方程为 。 ，由题意： 即 ， ，化简得： 对于任意的 恒成立。 满足 ，则 且 ，解得 。综上知， 的取值范围为 。 考点：轨迹方程的求法；点到直线的距离公式；抛物线的简单性质；直线与抛物线的综合应用。 点评：（ 1）求轨迹方程的一般方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等。本题求轨迹方程用到的是定义法。用定义法求轨迹方程的关键是条件的转化 转化成某一已知曲线的定义条件。（ 2）直线与圆锥曲线联
18、系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法 已知等差数列 ， 是 的前 项和，且 （ 1）求 的通项公式； （ 2）设 ， 是 的前 n 项和，是否存在正数 ，对任意正整数 ，不等 式 恒成立？若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由 （ 3）判断方程 是否有解，说明理由； 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）无解。 试题分析：（ 1）由 ， 所以 （ 2） 由 恒成立，则 恒成立 即 ，又 所以 所以即 故 （ 3） , 由于 ， 则方程为： 时， 无解 时， 所以所以 无解 时， 所以 无解综上所述，对于一切正整数原方程都无解 考点：等差数列的性质；数列通项公式的求法；数列与不等式的综合应用。 点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化。此题难度较大。
