1、2013届上海市奉贤区高考一模理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 定义域是一切实数的函数 ，其图像是连续不断的，且存在常数( ) 使得 对任意实数 都成立，则称 是一个 “ 伴随函数 ” 有 下列关于 “ 伴随函数 ”的结论： 是常数函数中唯一一个 “ 伴随函数 ”； “ 伴随函数 ”至少有一个零点； 是一个 “ 伴随函数 ”； 其中正确结论的个数是 （ ） A 1个； B 2个； C 3个； D 0个； 答案： A 试题分析： 不正确，原因如下 若 f（ x） =c0，则取 =-1，则 f（ x-1） -f（ x） =c-c=0，既 f（ x） =c0是 -1-伴随函数 ， 不正确，原因如
2、下 若 f（ x） =x2是一个 -伴随函数，则（ x+） 2+x2=0推出 =0， =-1，矛盾 正确若 f（ x）是 -伴随函数 则 f（ x+ ） + f（ x） =0， 取 x=0，则 f（ ） + f（ 0） =0，若 f（ 0）， f（ ）任一个为 0，函数 f（ x）有零点 若 f（ 0）， f（ ）均不为零，则 f（ 0）， f（ ）异号，由零点存在定理，在（ 0， ） 区间存在 x0， f（ x0） =0即 -伴随函数至少有一个零点 故选 A。 考点：本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点。 点评：新定义问题，正确理解 f（ x）是 -伴随函数的定义，是解答本题的
3、关键 已知 是等差数列 的前 n项和，且 ，有下列四个命 题，假命题的是（ ） A公差 ； B在所有 中， 最大； C满足 的 的个数有 11个； D ； 答案： C 试题分析：等差数列的前 n项和公式 ， 所以 ， 由 得 ， 由 ，得 ， ， 分析 A.由 ，可知 d-115.5d+55d0， -125.5d+66d=0, 故选 C。 考点：本题主要考查等差数列的通项公式、前 n项求和公式，不等式性质。 点评：典型题，等差数列相关知识，是高考考查的重点，本题较全面地考查了等差数列的通 项公式、前 n项求和公式，不等式性质等，为中档题。 已知函数 的图像如左图所示，则函数 的图像可能是（ ）
4、答案： C 试题分析：由函数 的图像可知， a1,01,0b1，从而对函数 的图像做出定性判断。 设 ，则 “ ”是 “ ”的 ( ) A充分而不必要条件； B必要而不充分条件； C充分必要条件； D既不充分也不必要条件； 答案： B 试题分析： 即 ，显然 ,所以“ ”是 “ ”的必要而不充分条件；选 B. 考点：本题主要考查充要条件的概念，简单绝对值不等式的解法。 点评：简单题，理解好充要条件的概念是关键。这里利用了集合关系法判断。 填空题 关于 的方程 的一个根是 ，则 _ 答案： 试题分析：因为关于 的方程 的一个根是 ，所以其另一根为 -3-2i,由韦达定理得 -（ ） -（ -3-
5、2i） =6. 考点：本题主要考查实系数一元二次方程的解。 点评：简单题，利用韦达定理不难求解。 设函数 ， 是公差为 的等差数列，则 答案： 试题分析：由已知， ，利用等差数列的性质，带入得化简得 令 则 所以 单调递增，而 显然是其一个解， 所以 =5 有且只有 一个解，易得 ，所以 。 考点：本题主要考查函数的概念，三角函数值计算，等差数列的性质。 点评：中档题，灵活运用等差数列知识，将给定方程化简，通过研究函数的单调性，利用 “观察 ”的方法，确定方程有且只有 一个解。 在平面直角坐标系 中，对于任意两点 与 的 “非常距离 ” 给出如下定义：若 ，则点 与点 的 “非常距离 ”为 ，
6、 若 ，则点 与点 的 “非常距离 ”为 已知 是直线 上的一个动点，点 的坐标是（ 0， 1），则点 与点的 “非常距离 ”的最小值是 _ 答案： 试题分析： C是直线 y= +3上的一个动点， 设点 C的坐标为 ( )， 则 C、 D两点的 “非常距离 ”的最小值为， 此时， =- ， 点 C与点 D的 “非常距离 ”的最小值为： 。 考点：本题主要考查一次函数知识 点评：对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件理解题中 “非常距离 ”的定义是正确解题的关键。 已知函数 是 上的偶函数， 是 上的奇函数， ，则 的值为 _ 答案： 试题分析： g（ x） =f（ x-1）， g（ -x
7、） =f（ -x-1）， f（ x）是在 R上的偶函数， g（ x）是 R上的奇函数， -g（ x） =f（ x+1） =-f（ x-1）， f（ x） =-f（ x+2）， f（ x-2） =-f（ x） =f（ x+2）， f（ x） =f（ x+4）， f（ 2014） =f（ 4503+2） =f（ 2） = 考点：本题主要考查函数的周期性和奇偶性。 点评：中档题探求函数的周期性是解题的关键 设函数 的反函数是 ，且 过点 ，则 经过点 答案： 试题分析：因为函数 的反函数是 ，且 过点 ，而的图象就是 的图象沿 x轴向右平移 1单位的结果，所以反函数是 的图象过（ 0,2）， 的图象
8、过（ 2,0），故 经过点（ 3,0） . 考点：本题主要考查互为反函数的函数图象之间的关系，图象的平移。 点评：基础题，点（ a,b）在函数 的图象上，则点（ b， a）在反函数的图象上。 函数 的最大值为 _ 答案： 试题分析： =cosx(cos cosx+sin sinx) = + sinxcosx= = = ，所以函数 的最大值为 。 考点：本题主要考查三角函数恒等变换，三角函数的性质。 点评：基础题，运用三角公式，化简函数（化成一个角的一种三角函数），利用三角函数性质求解。 已知函数 那么 的值为 答案： 试题分析：因为函数 所以 = = 。 考点：本题主要考查分段函数的概念，计算
9、三角函数值。 点评：基础题，理解分段函数的概念，代入计算。 函数 的最小正周期为 答案： 试题分析： = -sin2x,所以最小正周期为 。 考点：本题主要考查三角函数恒等变形及三角函数周期性。 点评：基础题，熟悉公式，明确最小正周期求法。 集合 ， ，则 _ 答案： 试题分析：因为 M= ， ，所以 = 。 考点：本题主要考查集合的运算，简单不等式解法。 点评：典型题，将集合与解不等式、函数等综合在一起进行考查，是高考常见题型。 设直线 ： 的方向向量是 ，直线 2 ： 的法向量是 ，若 与 平行，则 _ 答案： 试题分析： 的方向向量是 （ 2， -a） , 直线 2 ：的方向向量是 （
10、a+1， -1），因为直线 2 ： 的法向量是 ，且 与 平行，所以 ， 2(a+1)+a=0,a= . 考点：本题主要考查直线的方向向量、发向量的概念，向量的坐标运算。 点评：基础题，思路明确，关键是概念清楚，计算准确。 已知 且 若 恒成立，则实数 m的取值范围是_ 答案： 试题分析：因为 且 所以， 2+2=4，又 恒成立，所以实数m的取值范围是 。 考点：本题主要考 查均值定理的应用。 点评：典型题，关键是由 进一步应用均值定理。 设无穷等比数列 的前 n项和为 Sn，首项是 ，若 Sn ，则公比 的取值范围是 答案： 试题分析：因为 Sn ，所以 = 整理得 ， 。 考点：本题主要考
11、查等比数列项前 n项和的极限，不等式性质。 点评：简单题，从 Sn 出发，确定 q的表达式，利用 求解。 设函数 为奇函数，则 答案： 试题分析：因为 为奇函数，所以 为偶函数， = ，整理得， sina=1，所以 。 考点：本题主要考查函数的奇偶性。 点评：基础题，利用奇函数定义，确定 a的方程。 关于 、 的二元线性方程组 的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为 ，则二阶行列式 = . 答案： 试题分析：矩阵为 ，对应的方程组为 ， 由题意得，关于 x、 y的二元线性方程组 的解为 ， 解得 则二阶行列式 =-2-mn=-1 故答案：为 -1 考点：本题主要考查行列式、矩阵的概念及其运算。
12、点评：简单题，关键是对增广矩阵的理解，利用方程组同解解决问题 解答题 已知集合 ， 集合 , ， 求实数 的取值范围（ 12分） 答案： 或 。 试题分析：解： 1分 ， 4分 ， 6分 8分 10分 或 12分 考点：本题主要考查复数的概念，行列式计算，一元二次不等式解法，集合的运算。 点评：综合题，本题综合考查查复数的概念，行列式计算，一元二次不等式解法，集合的运 算。覆盖面广，难度不大。 设函数 。 （ 1）求函数 的最小正周期；（ 7分） （ 2）设函数 对任意 ，有 ，且当 时， ，求函数 在 上的式（ 7分） 答案：（ 1）函数 的最小正周期 ；（ 2）。 试题分析： 2分（ 1+
13、1） 4分 5分 （ 1）函数 的最小正周期 7分 （ 2）当 时， 9分 当 时， 11分 当 时， 13分 得函数 在 上的式为 14分 考点：本题主要考查三角函数的性质，三角函数恒等变换，分段函数的概念，式的求法。 点评：典型题，此类题型是高考必考题型，对三角函数知识有较全面的考查，牢记三角公式及三角函数的性质是解题的关键。 某海域有 、 两个岛屿， 岛在 岛正东 4海里处。经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线 ，曾有渔船在距 岛、 岛距离和为 8海里处发现过鱼群。以 、 所在直线为 轴， 的垂直平分线为 轴建立平面直角坐标系。 （ 1）求曲线 的标准方程；（ 6分） （ 2）某
14、日，研究人员在 、 两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同）， 、 两岛收到鱼群在 处反射信号的时间比为 ，问你能否确定 处的位置（即点 的坐标）？（ 8分） 答案：（ 1） ；（ 2）点 的坐标为 或 。 试题分析：（ 1）由题意知曲线 是以 、 为焦点且长轴长为 8的椭圆 3分 又 ，则 ，故 5分 所以曲线 的方程是 6分 （ 2）由于 、 两岛收到鱼群发射信号的时间比为 ， 因此设此时距 、 两岛的距离分别比为 7分 即鱼群分别距 、 两岛的距离为 5海里和 3海里。 8分 设 ， ，由 ， 10分 ， 12分 13分 点 的坐标为 或 14分 考点：本题主要考查椭圆
15、的定义、标准方程，椭圆与圆的位置关系。 点评：中档题，利用椭圆的定义，明确曲线是椭圆并求得其标准方程为，作为实际问题解决，很好的体现了数学的妙用。 定义数列 ，（例如 时， ）满足 ，且当 （ ）时， .令 （ 1）写出数列 的所有可能的情况；（ 5分） （ 2）设 ，求 （用 的代数式来表示）；（ 5分） （ 3）求 的最大值 .（ 6分） 答案：（ 1）由题设，满足条件的数列 的所有可能情况有： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） ； （ 5） ； （ 6） ； 2个起评，对 2个 1分， 3个 2分， 4个 3分， 5个 4分， 6个 5分 （ 2） （ 3） 的最大值为
16、 试题分析：（ 1）由题设，满足条件的数列 的所有可能情况有： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） ； （ 4） ； （ 5） ； （ 6） ； 2个起评，对 2个 1分， 3个 2分， 4个 3分， 5个 4分， 6个 5分 （ 2） ，由 ， 则 或 （ ， ）， 6分 ， ， ， 所以 7分 因为 ，所以 ，且 为奇数， 8分 是由 个 1和 个 构成的数列 9分 所以 10分 （ 3） 则当 的前 项取 ，后 项取 时 最大， 12分 此时 14分 证明如下： 假设 的前 项中恰有 项 取 ，则 的后 项中恰有 项 取 ，其中 ， ， 所以 16分 所以 的最大值为 考点：本题主要考
17、查数列的概念、通项公式，叠加法，应用不等式求最值。 点评：综合题，新定义数列问题，利用 “叠加法 ”求得 ，对考查考生灵活运用数学知识的能力起到了很好的作用。本题较难。 设函数 定义域为 ，且 . 设点 是函数图像上的任意一点，过点 分别作直线 和 轴的垂线，垂足分别为 （ 1）写出 的单调递减区间（不必证明）；（ 4分） （ 2）问： 是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；（ 7分） （ 3）设 为坐标原点，求四边形 面积的最小值 .（ 7分） 答案：（ 1） 在 上是减函数 .（ 2） ； （ 3）此时四边形 面积有最小值 . 试题分析：（ 1）、因为函数 的图象过点 ， 所以 2分 函数 在 上是减函数 . 4分 （ 2）、（理）设 5分 直线 的斜率 则 的方程 6分 联立 9分 ， 11分 （ 3） 12分 13分 ， 14分 ， 15分 ， 16分 17分 当且仅当 时，等号成立 . 此时四边形 面积有最小值 . 18分 考点：本题主要考查函数的性质，均值定理的应用，向量的坐标运算。 点评：综合题，利用函数方程思想，得出面积表达式，进一步运用均值定理求面积的最小值，对数学式子变形能力要求较高。
