1、2013届上海市徐汇区高三上学期期末考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 对于直角坐标平面 内的点 (不是原点 ), 的 “对偶点 ” 是指：满足 且在射线 上的那个点 . 若 是在同一直线上的四个不同的点 (都不是原点 ),则它们的 “对偶点 ” （ ） A一定共线 B一定共圆 C要么共线，要么共圆 D既不共线，也不共圆 答案： C 试题分析：若直线经过原点，此时它们的 “对偶点 ” 也一定在直线上。若直线不过原点， ,设 在直线上的垂足为 ,M的对偶点为 ,则，又 ,即 ,即 ，所以 ,所以 ,所以点 位于以 为直径的圆上，同理 的对偶点 也在以 为直径的圆上，所以此时共圆，所以选 C
2、. 考点：圆的有关性质。 点评：本题考查了对新定义的理解能力，正确理解新定义并能灵活应用是解题的关键。做本题时，要注意特殊情况的考虑。属于中档题。 若函数 在 上单调递增，那么实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，因为函数 在上单调递增，所以 恒成立且不恒为零，即内恒成立且不恒为零，所以 ， 考点：利用导数研究函数的单调性。 点评：注意：由 “函数 在 上单调递增 ”应该得到的是：“ 内恒成立且不恒为零 ”。不少同学这个地方出错，错误的认为应得到 内恒成立。 在 中， “ ”是 “ ”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件
3、 答案： B 试题分析：由 两边平方，得,所以，即 ； 若 ，则 A+B= ，所以 .因此选 B。 考点：充分、必要、充要条件的判断；二倍角公式；诱导公式。 点评：熟练掌握三角形内的隐含条件： ；。 下列排列数中，等于 的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据排列公式得 : . 考点：排列公式及排列的性质。 点评：熟记且灵活应用排列公式： 。 填空题 方程组 的增广矩阵是 _. 答案： 试题分析：根据增广矩阵的定义知：方程组 的增广矩阵是。 考点：增广矩阵。 点评：主要考查增广矩阵，属于基础题型。 已知线段 的长度为 ，点 依次将线段 十等分 .在 处标 ，往右数 点标 ，再往右
4、数 点标 ，再往右数 点标 ( 如图 )，遇到最右端或最左端返回，按照 的方向顺序，不断标下去， （理）那么标到 这个数时，所在点上的最小数为 _. 答案： 试题分析：记标有 1为第 1号，由于对这些点进行往返标数（从进行标数，遇到同方向点不够数时就 “调头 ”往回数），则标有 2的是 1+2号，标有 3的是 1+2+3号，标有 4的是 1+2+3+4， ，标有 2010的是1+2+3+2010=2021055 号考虑为一圆周，则圆周上共 18个点，所以2021055除以 18的余数为 15，此时点数到了 ,从后往前数数到 15时到达 ,此时数为 5。 考点：合情推理。 点评：本题主要考查合情
5、推理，考查 学生分析解决问题的能力，题目的难度较大，我们在做题时一定要认真、仔细。 函数 ，其中 ，若动直线 与函数 的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为 ，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写 “不存在 ”_. 答案： 试题分析：由 得 ，即 ，解得或 。即 ， ，所以，所以由图象可知要使直线 与函数 的图像有三个不同的交点，则有 ，即实数 的取值范围是。不妨设 ，则由题意可知 ，所以 ，由 得 ，所以 ，因为 ，所以 ，即存在最大值，最大值为 1. 考点：函数的图像；数形结合的数学思想；基本不等式。 点评：本题主要考查数学结合的数学思想。把，然后再利用基
6、本不等式求其最大值，是解题的关键所在。题目难度较大，对学生的要求较高。 在 中， ， 是 的中点，若 ， 在线段 上运动，则 的最小值为 _. 答案： 试题分析：由正弦定理得：。所以 B= ，以 B为原点， BA、 BC所在的直线为 x、 y轴，建立空间直角坐标系，则 M（ 1,0），设 D（ x,y） ,则 ，其中 ，由二次函数的性质知 的最小值为 。 考点：平面向量的数量积；正弦定理；二次函数的性质。 点评：本题把正弦定理、平面向量的数量积及二次函数的性质结合到了一起考查，较为综合，难度也较大。要求我们在平常的学习中，要熟练掌握每一个知识点，且灵活应用。 若平面向量 满足 且 ,则可能的值
7、有 _个 . 答案： 试题分析：因为 ，所以 ，所以 ，设 ，因为 ，所以 ，因为 ， 所以当 时， ， 当 ，时 ， 当 ，时 ， 当 ，时 ， 综上 可能的值有 3个。 考点：向量的综合应用。 点评：本题的难度较大，考查的知识点较多，较灵活。对学生的要求较高，尤其是学生的分析问题、解决问题的能力。 已知等比数列 的首项 ，公比为 ，前 项和为 ，若，则公比 的取值范围是 . 答案： ,从而上述猜想不成立 . 10分 (3)命题 :对于首项为正整数 ，公差为正整数 的无穷等差数列 ，总可以找到一个无穷子数列 ,使得 是一个等比数列 . 13分 此命题是真命题 ,下面我们给出证明 . 证法一
8、: 只要证明对任意正整数 n, 都在数列 an中 .因为bn=a(1+d)n=a(1+ d+ d2+ dn)=a(Md+1)，这里 M= + d+ dn-1为正整数，所以 a(Md+1)=a+aMd是 an中的第 aM+1项，证毕 . 18分 证法二：首项为 ,公差为 ( )的等差数列为 ,考虑数列中的项 : 依次取数列 中项 , , ,则由 ,可知 ,并由数学归纳法可知 ,数列 为 的无穷等比子数列 . 18分 考点：等比数列的简单性质；数列的综合应用。 点评：此题考查了等差数列的性质即通项公式，同时本题属于新定义及结论探索性问题，这类试题的一般解法是：充分抓住已知条件，找准问题的突破点，由浅入深，多角度、多侧面探寻，联系符合题设的有关知识，合理组合发现新结论，围绕所探究的结论环环相扣，步步逼近发现规律，得出结论熟练掌握公式及性质是解本题的关键
