1、2013届全国大纲版高三高考压轴理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 若复数 则 等于（ ） A B C 1 D 答案： D 试题分析： 考点：复数 点评：复数运算中，分子分母同乘以分母的共轭复数化简，复数 的模为在半径为 的球内放入大小相等的 4 个小球，则小球半径 的最大值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：当四个小球两两相切并且四个小球都与大球相切时，这些小球的半径最大。以四个小球球心为顶点的正四面体棱长为 2r，该正四面体的中心 (外接球球心 )就是大球的球心，该正四面体外接球半径为 考点：空间几何体的位置关系及空间想象能力 点评：本题有一定的难度，入手点在首先分析出小球半
2、径最大时的位置，与大球结合得到大球球心是正四面体的中心是求解的关键 已知直线 交椭圆 于 两点，椭圆与 轴的正半轴交于点，若 的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线 的方程是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：设直线为 ，与椭圆联立得代入得 ，直线为 考点：直线与椭圆位置关系 点评：当直线与椭圆相交时，常联立方程组，借助于韦达定理设而不求的方法求解 已知数列 的通项公式为 ，那么满足的整数 （ ） A有 3个 B有 2个 C有 1个 D不存在 答案： B 试题分析： 时 ， ，所以 ， 此时从 到 共 项，从 到 共 项， 或 ,有 2个值 考点：数列求和 点评：本题中数列求和要依据通
3、项公式特点分两种情况，分别讨论所求各项所属的范围及应代入的公式，第二种情况找到各项中正负项分界的位置是难点 已知 若 在处连续，则 的值为（ ） A B C D 2 答案： B 试题分析：考点：函数连续性 点评：若函数 在 处有定义，且 ，则函数在 处连续 设 函数 的导函数是 且 是奇函数，若曲线 的一条切线的斜率是 则切点的横坐标为（ ） A B C D答案： C 试题分析： 是奇函数，令 考点：函数求导及导数的几何意义 点评：函数求导时用到的公式 ，导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率 在正方形 中， 沿对角线 将正方形 折成一个直二面角 ，则点 到直线 的距离为（
4、 ） A B C D 答案： C 试题分析：取 中点 ，连结 ,因为直二面角,所以 ,所以 到 的距离为 考点：空间线面垂直关系及空间距离 点评：求解此题还可采用空间向量法，以 AC 中点为坐标原点， AC 为 x轴，OB为 y轴， OD为 z轴建立坐标系，求出点的坐标代入相应公式求解 已知函数 的部分图象如图所示，设 是图象的最高点，是图象与 轴的交点，则 （ ） A B CD 答案： B 试题分析：函数周期 由余弦定理得考点：三角函数性质及解三角形 点评：三角函数 中 ，解三角形时常借助于正余弦定理实现边与角的互化，本题中由三边长度利用余弦定理求得三角形内角，进而利用同角间的三角函数关系式
5、求得正切值 一圆形餐桌依次有 A、 B、 C、 D、 E、 F共有 6个座位 .现让 3个大人和 3 个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总 数为（ ） （ A） 6 （ B） 12 （ C） 72 （ D） 144 答案： C 试题分析：第一步：先从 6个座位中选择 3个不相邻的排列大人，有 种方法，第二步：安排 3个小孩有 种方法，因此排列 6人有 种方法 考点：排列组合 点评：不相邻问题一般采用插空法，排列完其余元素后将不相邻元素插空 已知等比数列 中，公比 若 则 有（ ） A最小值 -4 B最大值 -4 C最小值 12 D最大值 12 答案： B 试题分析
6、： ，当且仅当时等号成立，取得最大值 考点：均值不等式及等比数列通项 点评：在等比数列 中 ，利用 求最值时需满足条件：，当积为定值时和取最值，当和为定值时积为定值 已知函数 与 互为反函数，且函数 与函数也互为反函数，若 则 =（ ） A 0 B 1 C -2010 D -2009 答案： D 试题分析： 与 互为反函数，图像关于 对称，由 向左平移 1个单位得到，将 向下平移 1个单位得 ，所以 与 关于 对称，又 与 关于 对称，所以，即 ，累和得 考点：反函数及图像平移 点评：函数 的反函数为 ，原函数与反函数图像关于直线 对称 若 ， ，则 的元素个数为（ ） A 0 B 1 C 2
7、 D 3 答案： C 试题分析：化简得 ， 考点：解不等式与集合的交并补运算 点评：本题考察了指数不等式与对数不等式的求解，求解时结合函数单调性；两集合的交集是由两集合的相同的元素构成的集合 填空题 抛物线 的焦点为 ， 在抛物线上，且 ，弦 的中点 在其准线上的射影为 ，则 的最大值为 答案： 试题分析： ,两边平方得 ,最大值为 考点：抛物线定义及均值不等式 点评：利用抛物线的定义可将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离互相转化，求最值时借助于不等式 ，应用时注意其成立的条件： 是正数，和为定值积取最值，积为定值和取最值，当且仅当 时等号成立 已知函数 若方程 有三 个不同的实根，且从小
8、到大依次成等比数列，则 m的值为 . 答案： 试题分析：设三个根由小到大依次为 ，结合余弦函数图像可知 关于直线 对称， 关于直线 对称，代入计算得 考点：三角函数图像及性质 点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系 当对数函数 的图象至少经过区域 内的一个点时，实数 的取值范围为 . 答案： 试题分析：区域 M是由直线 围成的三角形，三角形三个顶点为 ，几何图形可知函数过点 时 取得最小值为 ，函数过点 时取得最小值为 ，所以 的范围是 考点：线性规划问题 点评：线性规划问题取得最值得位置一般是可行域的顶点或边界值处 若 的展开式中 的系数为 则 = . 答案： 试题分析
9、：二项展开式通项为 ，令 得所以 ，所以所求式子为 考点：二项式定理及数列求和求极限 点评：在二项式 的展开式中任意一项可由 求得，数列求和是常考的知识点，本题采用的是裂项相消法求和，适用于通项为 形式的数列 解答题 的三个内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c, 向量 且 （ ）求 的大小； （ ）现给出下列四个条件： .试从中再选择两个条件以确定 ，求出你所确定的 的面积 . 答案：（ ） （ ） 试题分析：（ ） 1分 即 2分 4 分 （ ） 方法一：选择 可确定 5分 由余弦定理 分 整理得 8 分 10分 （ ） 方法二：选择 可确定 5分 分 由正弦定理 8分 10分 考点：
10、向量运算，三角函数化简及解三角形 点评：若 则 ，三角函数化简主要是考查三角公式的应用，解三角形时主要是应用正余弦定理实现边与角的互化 在进行一项掷骰子放球的游戏中规定：若掷出 1点或 2点，则在甲盒中放一球；否则，在乙盒中放一球。现在前后一共掷了 4次骰子，设 、 分别表示甲、乙盒子中球的个数。 （ ）求 的概率； （ ）若 求随机变量 的分布列和数学期望。 答案：（ ） （ ） ，分布列为 0 2 4 试题分析：依题意知，掷一次骰子，球被放入甲盒、乙盒的概率分别为 2分 （ ）若 则只能有 即在 4次掷骰子中，有 1次在甲盒中放球，有 3次在乙盒中放球，因此所求概率 5 分 （ ）由于 所
11、以 的可能取值有 0， 2， 46 分 9分 所以随机变量 的分布列为： 0 2 4 故随机变量 的数学期望为 12分 考点：独立重复试验与分布列 点评：在 n次独立重复试验中，每一次事件 A发生的概率为 ,则 n次试验中有 次发生的概率为 ，求分布列的步骤：找到随机变量可以取得值，求出各随机变量对应的概率，汇总成分布列 在四棱锥 中，侧面 底面 ， ，底面是直角梯形， ， ， ， . （ ）求证： 平面 ； （ ）设 为侧棱 上一点， ，试确定 的值，使得二面角为 . 答案：（ ）以 为原点建立空间直角坐标系 则 ， ，所以 ， ， 又由 平面，可得 ，所以 平面 .（ ） 试题分析：解法一
12、： （ ）平面 底面 ， ，所以 平面 ， 1分 所以 , .2 分 如图，以 为原点建立空间直角坐标系 . 则 3分 ， ， 所以 ， ， 4分 又由 平面 ，可得 ，所以 平面 . 6分 （ ）平面 的法向量为 ， 7分 ， ， 所以 ， 8分 设平面 的法向量为 ， ， ， 由 ， ，得 所以， ， 9分 所以 ， 10分 所以 ， 11分 注意到 ，得 . 12分 法二：（ ） 面 PCD 底面 ABCD，面 PCD底面 ABCD=CD， PD 面 PCD，且 PD CD PD 面 ABCD， 1 分 又 BC 面 ABCD， BC PD . .2分 取 CD中点 E，连结 BE，则
13、BE CD，且 BE=1 在 Rt ABD中， ，在 Rt BCE中， BC= 4分 , BC BD 5分 由 、 且 PDBD=D BC 面 PBD. 6分 （ ）过 Q 作 QF/BC 交 PB于 F，过 F作 FG BD于 G，连结 GQ. BC 面 PBD， QF/BC QF 面 PBD， FG为 QG在面 PBD上的射影， 又 BD FG BD QG FGQ 为二面角 Q-BD-P的平面角；由题意， FGQ=45 8分 设 PQ=x，易知 FQ/BC， FG/PD 10分 在 Rt FGQ 中， FGQ=45 FQ=FG，即 11 分 12 分 考点：线面垂直及二面角 点评：本题中结
14、合已知条件可知利用空间向量法求解较简单，要证明线面垂直只需证明直线的方向向量与平面的法向量平行，二面角大小为 只需满足两半平面的法向量夹角为 设数列 的前 n项和为 已知 （ ）设 证明：数列 是等比数列； （ ）证明： . 答案：（ ）要证明 是等比数列，依据等比数列定义需证明 非零常数且 数列 是以 2为首项，公比为2的等比数列。 （ ）由（ ）知 = 试题分析：（ ） 2分 当 时， 5分 又 数列 是以 2为首项，公比为 2的等比数列。 6 分 （ ）由（ ）知 9分 = 12 分 考点：等比数列判定及求和 点评：判定数列是等比数列需满足相邻两项的比值是常数且首项不为 0，第二问数列求
15、和通过对通项公式的放缩转化为等比数列，套用相应的求和公式化简 已知 的顶点 A 在射线 上， 、 两点关于 x轴对称，0 为坐标原点，且线段 AB 上有一点 M 满足 当点 A 在 上移动时，记点 M的轨迹为 W. （ ）求轨迹 W的方程； （ ）设 是否存在过 的直线 与 W相交于 P,Q 两点，使得若存在， 求出直线 ；若不存在，说明理由 . 答案：（ ） （ ）不存在直线 ，使得 试题分析：（ ）因为 A,B两点关于 x轴对称， 所以 AB边所在直线与 y轴平行 . 设 由题意，得 所以点 M的轨迹 W的方程为 4分 （ ）假设存在，设 当直线 时，由题意，知点 P,Q 的坐标是方程组
16、的解， 消去 y得 6分 所以 7分 直线 与双曲线的右支（即 W）相交两点 P,Q,即 8分 10分 要使 则必须有 解得 代入 不符合。 所以不存在直线 ，使得 11分 当直线 时， 不符合题意， 综上：不存在直线 ，使得 12分 考点：直线与双曲线的位置关系及动点的轨迹方程 点评：求动点的轨迹方程时要先设出所求点坐标，找到其满足的关系式，进而整理化简，最后验证是否有不满足的点；直线与圆锥曲线相交时，常联立方程组，利用韦达定理找到方程的根与系数的关系，进而将所求问题转化为用交点坐标表示 已知函数 . ( )若曲线 在 和 处的切线互相平行，求 的值； ( )求 的单调区间； ( )设 ，若
17、对任意 ，均存在 ，使得 ，求 的取值范围 . 答案： ( ) ( ) 当 时单调递增区间是 ，单调递减区间是，当 时单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ，当 时单调递增区间是 ，当 时单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 ( ) 试题分析：解： . 1分 （ ） ，解得 . 3分 （ ） . 4分 当 时， ， ， 在区间 上， ；在区间 上 ， 故 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 . 5分 当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上 ， 故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 . 6分 当 时， ， 故 的单调递增区间是 . 7分 当 时， ， 在区间 和 上， ；在区间 上 ， 故 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 . 8分 （ ）由已知，在 上有 . 9分 由已知， ，由（ ）可知， 当 时， 在 上单调递增， 故 ， 所以， ，解得 ，故 . 10分 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 . 由 可知 ， ， ， 所以， ， ， 综上所述， . 12分 考点：函数导数的几何意义及函数单调性最值 点评：第一问利用导数的几何意义，将切线斜率转化为导数值，第二问在求单调区间时要对参数 分情况讨论，从而解二次不等式得到不同的解集；第三问将不等式成立问题转化为求函数最值是函数综合题经常用到的转化思路
