1、2013届北京市海淀区高三 5月期末练习（二模）文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 集合 ， ，则 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： ， ，故选 B 考点：集合的运算 若数列 满足：存在正整数 ，对于任意正整数 都有 成立，则称数列 为周期数列，周期为 . 已知数列 满足 ，则下列结论中错误的是 ( ) A若 m= ，则 a5 3 B若 a3=2，则 m可以取 3个不同的值 C若 ，则数列 是周期为 的数列 D 且 ，数列 是周期数列 答案： D 试题分析：当 时， ， ， ， ，故 A中的结论是正确的；当 时，有 或 ，从而有： 或同理：由 可得： 或 即： 或 ；由可得：
2、或 ，即 综上可知， 可取 三个不同的值，故 B中的结论是正确的；当 时， ， ， ，数列 是周期为 3的数列，故 C中的结论是正确的，由以上可知，四个选项中，结论错误的为 D 考点：分段函数、周期数列 双曲线 的左右焦点分别为 ，且 恰为抛物线 的焦点，设双曲线 与该抛物线的一个交点为 ，若 是以 为底边的等腰三角形，则双曲线 的离心率为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： 抛物线 的焦点为 ， ，又 是以为底边的等腰三角形， ，不妨设 A点横坐标为 ，由抛物线定义可知， ，从而有 ，所以 ，由此可知 为等腰直角三角形， 由双曲线定义可知：，又 ，所以，故选 B 考点：抛物线定义
3、、双曲线定义 在四边形 中， “ ，使得 ”是 “四边形 为平行四边形 ”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：在四边形 ABCD中， ，使得四边形 ABCD为平行四边形 考点：充要条件、向量共线 下列函数中，为偶函数且有最小值的是 ( ) A f(x) =x2 +x B f(x) = |lnx| C f(x) =xsinx D f(x) =ex+e-x 答案： D 试题分析：对于 A选项， ，既不等于 ，也不等于 ，故 既不是奇函数也不是偶函数； B选项中的函数定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数
4、； C、 D两个函数均有，所以两函数均为偶函数， 又 （当且仅当 时取 “=”号），有最小值 2，故选 D 考点：函数的奇偶性、均值不等式 某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：该组合体下方为棱长为 6的一正方体，下方为一正四棱锥，其底面边长为 6，侧面三角形的高为 5，所以该组合体的表面积为，故选 B 考点：三视图 如图，在边长为 的正方形内有不规则图形 . 向正方形内随机撒豆子，若、撒在图形 内和正方形内的豆子数分别为 ，则图形 面积的估计值为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：设图形 的面积为 S，则豆子撒在图形
5、内的概率 ，所以 ，故选 C 考点：几何概型 已知 a =ln ,b=sin ,c= ，则 a,b， c的大小关系为 ( ) A a 2n 答案： (I) ； (II) 试题分析： (I)要求等差数列的通项公式，由已知条件只需再找到 d即可，由结合等差数列的前 n项和公式很快即可解决该问题； (II)先由 ，结合 求出该等差数列的通项 ，代入条件即可将该问题转化为一元二次不等式的问题 试题： （ I）设 的公差为 因为 ， 2分 所以 4分 所以 所以 ； 6分 （ II）因为 当 时， 所以 ， 9分 又 时， 所以 10分 所以 所以 ，即 所以 或 ， 所以 ， 13分 考点：等差数列的
6、通项公式及前 n项和公式 已知点 D 为 ABC 的边 BC 上一点 .且 BD =2DC, =750，=30,AD = . (I)求 CD的长； (II)求 ABC的面积 答案： (I) ； (II) 试题分析： (I)由已知可得 ，在 ADC中已知两角及一边，应用正弦定理即可求解； (II)由 (I)可知 ，又 ， ，要求ABC的面积，只需求出 AC边的长即可而 AC边的长可通过解 ADC来实现 试题： （ I）因为 ，所以 在 中， ， 根据正弦定理有 4分 所以 ； 6分 （ II）所以 7分 又在 中， ， 9分 所以 12分 所以 13分 同理，根据根据正弦定理有 而 8分 所以
7、10分 又 ， 11分 所以 13分 考点：正弦定理 如图 1，在直角梯形 中， AD/BC, =900， BA=BC 把 BAC沿折起到 的位置 ,使得点 在平面 ADC上的正投影 O恰好落在线段上，如图 2所示，点 分别为线段 PC， CD的中点 (I) 求证：平面 OEF/平面 APD； (II)求直线 CD 与平面 POF； (III)在棱 PC上是否存在一点 ,使得 到点 P,O,C,F四点的距离相等？请说明理由 . 答案： (I) (II)详见； (III)存在点 M满足条件 试题分析： (I) 要证平面 OEF/平面 APD ，只需借助所给中点，证明 、即可； (II) 借助底面
8、为直角梯形及 可得 ，另由已知可得： 平面 ，进而可得 ，从而可证 平面 ； (III)记点 为 ，证明即可 试题：（ I）因为点 在平面 上的正投影 恰好落在线段 上 所以 平面 ，所以 2分 因为 ， 所以 是 中点， 3分 所以 4分 同理 又 所以平面 平面 ； 6分 （ II）因为 ， 所以 7分 又 平面 ， 平面 所以 8分 又 所以 平面 ； 10分 (III)存在，事实上记点 为 即可 11分 因为 平面 ， 平面 所以 又 为 中点，所以 & 已知函数 ， ( )当 a=1时，若曲线 y=f(x)在点 M (x0,f(x0)处的切线与曲线 y=g(x)在点 P (x0, g
9、(x0）处的切线平行，求实数 x0的值； (II)若 (0,e，都有 f(x)g(x)+ ，求实数 a的取值范围 . 答案： ( ) ； (II) 试题分析： ( ) 将两切线平行，转化为两直线的斜率相等，借助导数的几何意义建立等量关系； (II)该恒成立问题可转化为最值问题即只需找到在 上的最小值，使它的最小值大于或等于 0即可 试题：（ I）当因为 , 2分 若函数 在点 处的切线与函数 在点 处的切线平行， 所以 ，解得 此时 在点 处的切线为 在点 处的切线为 所以 4分 （ II）若 ，都有 记 ， 只要 在 上的最小值大于等于 0 6分 则 随 的变化情况如下表： 0 极大值 &n
10、 已知椭圆 C: 的四个顶点恰好是一边长为 2，一内角为的菱形的四个顶点 . (I)求椭圆 C的方程； (II)若直线 y =kx交椭圆 C于 A， B两点，在直线 l:x+y-3=0上存在点 P,使得 PAB为等边三角形 ,求 k的值 . 答案： (I) ； (II) 或 试题分析： (I)由图形的对称性及椭圆的几何性质，易得 ，进而写出方程； (II) 先找到 AB中垂线与 l的交点，保证 PAB为等腰三角形，再满足即可保证 PAB为等边三角形，此外，注意对于特殊情形的讨论 试题： (I)因为椭圆 的四个顶点恰好是一边长为 2， 一内角为 的菱形的四个顶点 , 所以 ,椭圆 的方程为 4分
11、 (II)设 则 当直线 的斜率为 时， 的垂直平分线就是 轴， 轴与直线 的交点为 , 又因为 ，所以 ， 所以 是等边三角形 ,所以 满足条件； 6分 当直线 的斜率存在且不为 时，设 的方程为 所以 ，化简得 所以 ，则 8分 设 的垂直平分线为 ，它与直线 的交点记为 所以 ，解得 , 则 10分 因为 为等边三角形， 所以应有 代入得到 ，解得 （舍）， 13分 综上可知， 或 14分 考点：直线与圆锥曲线的位置关系 设 是由 个实数组成的 行 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次 “操作 ”. ( ) 数表 如表 1所示，若经
12、过两次 “操作 ”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次 “操作 ”后所得的数表（写出一种方法即可）； 表 1 1 2 3 1 0 1 ( ) 数表 如表 2所示，若经过任意一次 “操作 ”以后，便可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数 的所有可能值； 表 2 ( )对由 个整数组成的 行 列的任意一个数表 ，能否经过有限次 “操作 ”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由 . 答案： ( ) 详见； ( ) ； ( ) 能，理由详见 试题分析：（ I）根据题中一次 “操作 ”的含义，将原数表改变第 4列
13、，再改变第2行即可；或者改变第 2行，改变第 4列也可得（写出一种即可）；（ II） 每一列所有数之和分别为 2， 0， -2， 0，每一行所有数之和分别为 -1， 1； 如果操作第三列，第一行之和为 2a-1，第二行之和为 5-2a，列出不等关系解得 a， b； 如果操作第一行，很快即可有条件解得 a 值；（ III） 按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和），由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中 mn 个数之和增加 试题：（ I） 法 1： 法 2： 法 3： （写出一种即可） 3分 (II) 每一列所有数之和分别为 2， 0
14、， ， 0，每一行所有数之和分别为 ， 1; 如果操作第三列，则 则第一行之和为 ，第二行之和为 ， ,解得 . 6分 如果操作第一行 则每一列之和分别为 ， ， ， ，以上四数均为非负数 解得 9分 综上 10分 (III) 证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，从而也就使得数阵中 个数之和增加，且增加的幅度大于等于 ，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，数表中 个数之和必然小于等于 ，可见其增加的趋势必在有限次之后终止 ,终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 13分 考点：推理与证明
