1、2013届北京市门头沟育园中学高三阶段考试（二）文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，那么 等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，画出数轴可知 等于. 考点：本小题主要考查求另个集合的交集，考查学生利用数轴求交集的能力 . 点评：集合的运算是考查的重点内容，题目一般比较简单，如果集合表示的取值范围，则进行集合的运算时要借助数轴 . 已知向量 ， ，且 ，那么 等于（ ） A B C D 答案： C 试题分析：因为 ，所以 所以 等于 . 考点：本小题主要考查向量平行的坐标表示和向量的线性运算 . 点评：平面向量的平行与垂直的坐标表示是高考经常考查的内容，要仔细掌
2、握，灵活运用 . 已知数列 是等差数列，且 ， ，则数列 的前 项的和 等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析：设等差数列 的公差为 ，由 有 由 有，两式联立解得： 所以前 项的和 等于 考点：本小题主要考查等差数列的通项公式和等差数列的前 n 项和公式的应用，考查学生的公式应用能力和运算求解能力 . 点评：等差数列是一类比较重要的数列，它的通项公式和前 n项和公式在解题时要灵活应用 . 已知 ，那么 “ ”是 “ ”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：因为前提条件是 ，所以由 ，可以推出 ，反之也能推出，所以 “
3、 ”是 “ ”的充要条件 . 考点：本小题主要考查对数函数的单调性和充分、必要条件的判断 . 点评：判断充分、必要条件，关键是弄清楚谁是条件谁是结论，是充分条件还是必要条件 . 设 用二分法求方程 在区间 上近似解的 过程中，计算得到 ， ，则方程的根落在区间（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 根据零点存在定理知，方程的根落在区间内 . 考点：本小题主要考查零点存在定理的应用 ,考查学生分析问题，解决问题的能力 . 点评：零点存在定理和二分法经常考查，但是比较简单，一定要掌握 . 过圆 上一点 的切线方程是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为圆心为 ，所以 ，所以
4、切线斜率为 ，所以所求切线方程为： ，即 考点：本小题主要考查圆的标准方程、圆的性质、直线方程的求法， 考查学生数形结合思想的应用和运算求解能力 . 点评：考查直线与圆的位置关系时，要注意数形结合，主要是圆心到直线的距离和半径之间的关系 . 已知 a 0,b 0, ，则 的取值范围是（ ） A ( 2,+) B 2,+) C (4,+) D 4,+) 答案： D 试题分析：因为 a 0,b 0, ，所以，当且仅当 时取等号 . 考点：本小题主要考查基本不等式的应用 . 点评：应用基本不等式时， “一正二定三相等 ”三个条件缺一不可，而且 “1”的整体代换经常用到 . 中角 的对边分别为 ， ，
5、 ,则为（ ） A B 2 C D 答案： D 试题分析：在 中，由正弦定理可得： ，因为，所以 ，所以 所以 考点：本小题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：用正弦定理解三角形，要判断解的个数，利用的工具就是 “大边对大角 ”. 已知平面向量 ， ，且 ，则 的值为（ ） A -3 B -1 C 1 D 3 答案： C 试题分析：因为 ，所以 ，所以 考点：本小题主要考查向量垂直的坐标表示 . 点评：向量垂直和向量平行是比较重要的两种关系，要分清并且记准它们的坐标表示 . 下列命题正确的是（ ） A若 与平面 内的无数条直线垂直，则 ； B若 与平面 内的两
6、条直线垂直，则 ； C垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行； D ， 答案： D 试题分析： A中无数条直线有可能都平行，所以不正确； B中没有强调两条相交直线，所以不正确； C显然不正确，以墙角为例即可； D正确 . 考点：本小题主要考查空间中线线、线面的位置关系，考查学生的空间想象能力和推理论证能力 . 点评：高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心，以多面体为载体结合 平面几何知识，考查判定定理、性质定理等内容，难度为中低档题 . 已知 满足条件 则 的最小值为（ ） A 6 B 12 C -6 D -12 答案： C 试题分析：画出如右图所示的可行域，可知在点 处
7、取得最小值，最小值为 考点：本小题主要考查利用线性规划知识求函数的最值 . 点评：线性规划是高考的热点问题，在高考中，多以小题的形式出现，有时也以解答题的形式出现 .解决这类问题要特别注意准确画出平面区域，有时还要注意适当转化 . 如图，大正方形的面积是 13，四个全等的直角三角形围成一个小正方形 .直角三角形的较短边长为 2.向大正方形内投一飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：大正方形的面积是 ，所以大正方形的边长为 ，直角三角形的较短边长为 2，所以较长边为 ，所以直角三角形的面积为 ，所以小正方形的面积为 ，所以飞镖落在小正方形内的概率为 考点
8、：本小题主要考查利用几何概型求概率 . 点评：利用几何概型求概率分与长度、面积、体积有关几种类型，要找清楚各自的比例 . 三个数 ， ， 的大小顺序为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： . , ，所以. 考点：本小题主要考查利用指数和对数函数的单调性比较数的大小 . 点评：指数函数、对数函数的单调性主要看底数的取值范围，比较大小时，同底数的可以直接利用单调性进行比较，不是同底的或不是同一类型的可以借助中间量进行比较 . 的值为（ ） A B C D 1 答案： A 试题分析： 考点：本小题主要考查二倍角的正弦公式的逆用和特殊角的三角函数值的计算 . 点评：二倍角的正弦公式在解题中经
9、常用到，要准确掌握、灵活应用 . 函数 是 （ ） A周期为 的奇函数 B周期为 的偶函数 C周期为 的奇函数 D周期为 的偶函数 答案： C 试题分析：周期为 ，因为定义域为 ，以 替换 ，可知为奇函数 . 考点：本小题主要考查正弦型函数的奇偶性和周期性 . 点评：考查函数的奇偶性时，先考查函数的定义域是否关于原点对称 . 直线 的斜率是 3，且过点 A(1,-2),则直线 的方程是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：根据点斜式方程可得： 即 . 考点：本小题主要考查直线方程的点斜式的求解 ,考查学生的计算能力 . 点评：直线方程的五种形式各有其适用范围，要仔细判断，尤其是斜率是否
10、存在更值得关注 . 某公司有员工 150人，其中 50岁以上的有 15人， 3549岁的有 45人，不到 35岁的有 90人 .为了调查员工的身体健康状况，采用分层抽样方法从中抽取30名员工，则各年龄段人数分别为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 所以即各年龄段人数分别为 考点：本小题主要考查分层抽样的应用，考查学生用数学方法解决实际问题的能力 . 点评：应用分层抽样时，关键是找清楚各层所在的比例 . 在下列函数中： ， ， ， ，其中偶函数的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 试题分析： 定义域为 ，定义域不关于原点对称，是非奇非偶的函数 . 定义域是 ，
11、且满足 ，所以是偶函数 . 是余弦函数，是偶函数； 是奇函数 . 考点：本小题主要考查利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，考查学生的推理判断能力 . 点评：考查函数的奇偶性，首先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后再看是否满足 或 某样本数据的频率分布直方图的部分图形如右图所示，则数据在 50,70)的频率约为 ( ) A 0.25 B 0.05 C 0.5 D 0.025 答案： B 试题分析：数据在 50,70)的频率约为 考点：本小题主要考查由频率分布直方图计算频率，考查学生读图识图的能力 . 点评：应用频率分布直方图时要注意纵轴为频率组距，不是频率，每个小矩形的面积才是频率 . 把
12、函数 的图象向右平移 ( 0)个单位，所得的图象关于 y轴对称，则 的最小值为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：根据图象平移的 “左加右减 ”原则，函数 的图象向右平移 ( 0)个单位得到 ，因为图象关于原点对称，所以，所以 的最小值为 . 考点：本小题主要考查函数图像的平移和函数图象的对称性的应用，考查学生综合运用三角函数知识解决问题的能力 . 点评：图象平移的 “左加右减 ”原则，要注意加或减是相对于 说的，不是相对于 说的 . 填空题 下面四个命题： 已知函数 且 ，那么 ； 一组数据 ， ， ， ， 的平均数是 ，那么这组数据的方差是 ； 要得到函数 的图象，只要将 的图
13、象向左平移 单位； 已知奇函数 在 为增函数，且 ，则不等式 的解集为 . 其中正确的是 _. 答案： 试题分析： 当 时， ，由此即可判断出 错误； 中数据的平均数为 20，所以 所以方差为，所以 正确； 要得到函数 的图象，需要将 的图象向左平移 个单位，所以不正确； 中画出函数的简图，可知不等式 的解集为. 考点：本小题主要考查分段函数的求值、平均数和方差的计算、三角函数的平移、利用函数的奇偶性解不等式等，属于综合考查的题目，考查学生的综合素质 . 点评：这种题目实际上属于选择题中的多选题，以填空题的形式出现，多填少填都不得分 . 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的 值是 _. 答
14、案： 试题分析：执行如下： 所以 所以 所以 不成立，退出循环，所以输出的 值是 15. 考点：本小题主要考查程序框图的执行过程 . 点评：程序框图的执行一般比较简单，依次执行即可，注意每次执行前后条件的判断，不小心会多执行一次或少执行一次 . 如图，已知图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于 _. 答案： 试题分析：由三视图可知，该几何体为底面是直角三角形，有一条侧棱垂直于底面的三棱锥，所以体积为 考点：本小题主要考查空间几何体的三视图的识别和三棱锥的体积的求法，考查学生的空间想象能力和运算求解能力 . 点评：在平时的学习过程中，学生要注意培养由三视图还原为几何体
15、的能力，将三个方向获得的信息综合，绘制几何图形，然后检验其三视图是否与已知相符合 . 观察下列式子： ， ， ， ，根据以上式子可以猜想： _. 答案： 试题分析：根据给出的式子，可以推断出 ，所以考点：本小题主要考查归纳推理和类比推理，考查学生的推理论证能力 . 点评：高考中对归纳推理与类比推理的考查主要以 填空题的形式出现，难度为中等，常常以不等式、立体几何、几何、函数、数列等为载体来考查归纳推理和类比推理 . 解答题 （本小题共 12分）已知向量 ， ，函数. （ ）求函数 的最小正周期和最大值； （ ）求函数 在区间 上的最大值和最小值 . 答案：（ ）最小正周期是 ；最大值是 +1（
16、 ）最大值是 2，最小值是 1 试题分析：（ ）因为 ， 1 分 所以 +1 2 分 +1. 3 分 所以 4 分 又因为 ， 所以 1 +1. 5 分 所以函数 的最小正周期是 ；最大值是 +1. 6 分 （ ）由（ ）知 +1. 因为 ，所以 . 7 分 所以当 ，即 时，函数 有最大值是 2； 9 分 当 ，即 时，函数 有最小值是 1 . 11 分 所以函数 在区间 上的最大值是 2，最小值是 1 . 12 分 考点：本小题以向量为载体，考查三角函数的图象和性质，考查学生对三角函数公式的掌握和对三角函数图象的理解和应用 . 点评：平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向
17、量描述 .它需要根据向量运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体 .考查的要求并不高，解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题 中的条件翻译成简单的数学问题 . （本小题共 12分）如图，四边形 是矩形， 平面 ， 是上一点， 平面 ，点 ， 分别是 ， 的中点 . （ ）求证： 平面 ； （ ）求证： . 答案：（ ）见（ ）见 试题分析：（ ）证明： 点 ， 分别是 ， 的中点， 是 的中位线 . 2 分 四边形 是矩形， 4 分 平面 ， 平面 ， 5 分 平面 . 6 分 （ ）证明： 平面 ， 平面 ， 8 分 平面 ， 平面 ， 9 分 ， 平面 ， 平面
18、 ， 10 分 平面 . 11 分 & (本小题共 13分 )已知圆 过两点 (1， -1)， (-1,1)，且圆心 在上 (1)求圆 的方程； (2)设 是直线 上的动点， 、 是圆 的两条切线， 、为切点，求四边形 面积的最小值 答案： (1) (2) 试题分析： (1)法一 : 线段 的中点为 (0,0),其垂直平分线方程为 2 分 解方程组 所以圆 的圆心坐标为 (1,1) 4 分 故所求圆 的方程为： 6 分 法二 :设圆 的方程为： ， 根据题意得 2 分 解得 4 分 故所求圆 的方程为： 6 分 (2)由题知，四边形 的面积为 . 8 分 又 , ， 所以 ，而 ， 10 分
19、即 11 分 因此要求 的最小值，只需求 的最小值即可， 即在直线 上找一点 ，使得 的值最小， 所以 ， 12 分 所以四边形 面积的最小值为 . 13 分 考点：本小题主要考查圆的标准方程的求法、直线与圆的位置关系的判断和应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：求解直线与圆的位置关系时，要注意数形结合，可以简化运算，还要注意适当转化 .直线和圆所涉及到的知识是整个几何的基 础，并渗透到几何的各个部分，但一般难度不大 . （本小题共 13分）已知数列 中， ， ， 是数列 的前项和，且 ， . （ ）求 的值； （ ）求数列 的通项公式； （ ）若 是数列 的前 项和
20、，求 . 答案：（ ） （ ） ， （ ） 试题分析：（ ）因为 ， ，所以 2 分 （ ）由（ ）可知 ， 所以 所以 3 分 所以 5 分 所以当 时， 所以 ， ， ， ， 6 分 所以 7 分 所以 ， . 8 分 因为 满足上式， 9 分 所以 ， . 10 分 （ ）当 时， 11分 又 ， 所以 12 分 所以 13 分 考点：本小题主要考查由数列的递推关系式求数列的通项公式和数列的前 n项和公式的应用，考查学生分类讨论思想的应用 . 点评：数列解答题是每年高考必考题型，以考查数列通项 、前 n项和 关系转化题型为主，考查通项公式、前 n项和公式的应用能力及数列的性质掌握程度，解答此类题目，必须做到答题规范，尤其要注意 n的取值范围 .
