1、2013届四川省树德中学高三下学期三月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 等于 A BC D 答案： A 试题分析：因为 = 是纯虚数，所以 ，实数 等于 2，故选 A。 考点：本题主要考查复数的代数运算，复数的概念。 点评：简单题，高考必考题型，往往比较简单。细心计算即可。 集合 其中 ,则满足条件 : 中 最小， 且 的概率为 A B C D 答案： D 试题分析：依题意，这是古典概型概率的计算。其中基本事件空间总数为 ，满足 中 最小，且 的有 ， 各不相同，可以是 2,3,4全排列的结果有 6个，另外，允许 有重复数字 1的 ,1不能是
2、 ， 1只可以是 以外的 ，有 =12，还有（ 1,2,3,2），（ 1,2,4,2），（ 1,3,2,3），（ 1,3,4,3），（ 1,4,2,4），（ 1,4,3,4）计 6个；时，有（ 2,3,2,3），（ 2,3,2,4），（ 2,4,2,3），（ 2,4,2,4）计 4个，故所求概率为 ，故选 D。 考点：本题主要考查古典概型概率的计算。 点评：基础题，古典概型概率的计算，关键是计清基本事件空间总数和基本事件数。涉及简单排列组合的可借助于公式，简单的可利用 “树图法 ”或 “坐标法 ”。本题易错。 已知函数 ,且函数 恰有 3个不同的零点 ,则实数 的取值范围是 A B C D 答
3、案： C 试题分析：因为当 x0的时候， f（ x） =f（ x-1），所以所有大于等于 0的 x代入得到的 f（ x）相当于在 -1， 0）重复的周期函数， x -1， 0）时， ，对称轴 x=-1，顶点（ -1， 1+a） （ 1）如果 a -1，函数 y=f（ x） -x至多有 2个不同的零点； （ 2）如果 a=-1，则 y 有一个零点在区间（ -1， 0），有一个零点在（ -， -1），一个零点是原点； （ 3）如果 a -1，则有一个零点在（ -， -1）， y右边有两个零点， 故实数 a的取值范围是 -1， +） 故选 C 考点：本题主要考查分段函数的概念，函数零点的概念，函数图
4、象和性质。 点评：典型题，本题通过分析函数的特征，明确其为周期函数，从而对函数图象有了全面认识，确定了函数零点所在区间。分类讨论思想的应用是关键。 若 ，则 的值为 A B 1 C 2 D 答案： B 试题分析：因为 =，所以在中 令 x=1，得 ； 令 x=-1得， ， 所以 = = =1，故选 B。 考点：本题主要考查二项式定理，二项式系数的性质。 点评：简单题，即得涉及二项式系数问题，往往考虑应用 “赋值法 ”，即令 x为 1，-1， 0等。 已知三棱锥的底面是边长为 的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为 A B C D答案： D 试题分析：三棱锥的底面是边长为 的正
5、三角形，根据其其正视图与俯视图可知，其侧视图是一个三角形，且底边长为底面正三角形的高 ，三角形的高为三棱锥的高 ，所以侧视图的面积为 ，选 D。 考点：本题主要考查三视图，面积计算。 点评：基础题，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图视图规则，认识三视图的特征，以便进一步解题。 函数 （其中 A 0， ）的图象如图所示，为了得到 的图象，则只需将 g(x)=sin2x的图象 A向右平移 个长度单位 B向左平移 个长度单位 C向右平移 个长度单位 D向左平移 个长度单位 答案： B 试题分析：观察图象知 A=1， T=4（ ） =， =2，即 ， 将（ ， 0）代入上式，得 ，结合 得 =
6、。因此。只需将 g(x)=sin2x的图象向左平移 个长度单位即得。选B。 考点：本题主要考查三角函数的图象和性质，三角函数式，三角函数图象的变换。 点评：基础题，根据三角函数图象求式，是高考常考的一类题目，往往要观察求 A,T，计算求 。 下列命题中， m、 n表示两条不同的直线， 、 、 表示三个不同的平面 若 m ， n ，则 m n； 若 ， ，则 ； 若 m ， n ，则 m n； 若 ， ， m ，则 m . 则正确的命题是 A B C D 答案： C 试题分析：因为 m ，所以 m垂直于平面 内的任意一条直线，又 n ，所以 m n。 正确。排除 B,D。 因为 m ， n 时，
7、 m,n可能平行、可能相交、可能异面，所以 不正确。故选 C。 考点：本题主要考查立体几何中的平行关系、垂直关系。 点评：基础题，高考题中，立体几何往往是一大二小，其中像这类题目比较多见。关键是有关定理要熟悉。命题真假的判断，可采用举反例的方法，说明其不成立。 执行如图所示的程序框图若输入 ，则输出 的值是 A B C D 答案： C 试题分析：第一圈， k=0， x=8， k=1， 否； 第二圈， x=13， k=2， 否； 第三圈， x=18， k=3， 否； 第四圈， x=23， k=4， 否； 第五圈， x=28， k=5， 是，输出 k为 5.故选 C。 考点：本题主要考查程序框图的
8、功能。 点评：简单题，程序框图、算法语言问题，已成为高考必考内容，一般难度不大。注意理解循环体中的条件，得出正确答案：。 己知命题 “ ”是假命题，则实数 的取值范围是 A B ( 1,3) C D ( 3,1) 答案： B 试题分析：若 是真命题，则 ，解得 。所以 “ ”是假命题，则实数 的取值范围是 ( 1,3)，故选 B。 考点：本题主要考查全称命题、特称命题的概念，命题的真假判断。 点评：基础题，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。根据命题为假命题，确定 a的方程。 设 ， ， ，则 A B C D 答案： A 试题分析：由对数函数的性质 1，由指数函数的性质 01,
9、故 abc，选 A。 考点：本题主要考查指数函数、对数函数的图象和性质。 点评：基础题，涉及指数函数、对数函数比较大小问题，常常引入 “-1， 0， 1”作为媒介。 填空题 给出定义：若 (其中 为整数 )，则 叫做离实数 最近的整数，记作 ，即 . 在此基础上给出下列关于函数 的四个命题： 的定义域是 ，值域是 ； 点 是 的图像的对称中心，其中 ； 函数 的最小正周期为 ； 函数 在 上是增函数 则上述命题中真命题的序号是 答案： , 试题分析：由定义： （其中 m为整数），得 ， 对于任意实数 x，函数 f（ x）都有意义，故函数的定义域为 R，值域是； （ ， ）在图象上，（ - ，
10、- ）不在图象上， 点（ 0， 0）不是 y=f（ x）的图象的对称中心； 错； 从图象的周期性变化来看，函数 y=f（ x）的最小正周期为 1； 正确； 函数 y=f（ x）在（ - ， ）上是增函数； 错； 故答案：为 考点：本题主要考查函数的图象和性质。 点评：中档题，在理解新定义的基础上，利用数形结合思想，对照各命题进行分析。错误的命题，只需举反例，给予说明。 设 F是抛物线 C1： 的焦点，点 A是抛物线与双曲线 C2：的一条渐近线的一个公共点，且 轴，则双曲线的离心率为 答案： 试题分析：抛物线 C1： 的焦点 F（ 1， 0)。 不妨设 A为 与 的交点， AF x轴， A(1，
11、 2)代入 得=2， 。 考点：本题主要考查抛物线、双曲线的几何性质。 点评：小综合题，涉及圆锥曲线的几何性质问题，多考查 a,b,c,e,p的关系，要掌握几何元素之间的内再联系。本题若将 化为更一般的 ，也可得到类似结论。 在直角三角形 中， ， ，点 是斜边 上的一个三等分点，则 答案： 试题分析：依题意得，该三角形为等腰直角三角形，由于 P是 AB的一个三等分点，所以 , = = + , =( + ) = =4+ ， , 故 4. 考点：本题主要考查平面向量的线性运算及数量积。 点评：中档题，应用数形结合思想，从图形的几何特征入手，发现向量之间的关系，这也是解答平面向量问题时常常用到的方
12、法，即选定基向量，将其它向量用此表示，进一步计算。而基向量的选定，往往是相关联、不共线的向量。 若关于 ， 的不等式组 （ 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则 . 答案： -1或 0 试题分析：尝试画出满足约束条件 的可行域。 结合图形分析可知，若不等式组 表示的平面区域是直角三角形， 直线 y=kx+1与直线 x=0或 y=x垂直时才是直角三角形 则斜率 k的取值是： -1或 0 故答案：为： -1或 0 考点：本题主要考查平面区域的画法，直线的垂直。 点评：简单题，利用数形结合思想，通过画出平面区域，结合给定直角三角形要求，求 k的值。 已知数列 是等差数列，数列 是等比数
13、列，则 的值为 . 答案： 试题分析：因为 是等差数列，所以 ；又因为是等比数列，所以 （ 不合题意），故 = 。 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的性质。 点评：简单题，等差数列、等比数列是高考必考内容，本题将二者结合在一起，要注意公式、性质所存在的差别。 解答题 （本小题满分 12分） 已知函数 的图像上 两相邻最高点的坐标分别为 . （ ）求 的值； （ ）在 ABC中， a,b,c分别是角 A,B,C的对边，且 求 的取值范围。 答案：（ ） . （ ） .。 试题分析：（ ） 由题意知 . . （ 4分） （ ） 即 又 , . . （ 8分） .（ 10 分） . （ 12 分
14、） 考点：不本题主要考查两角和与差的三角函数，正弦定理的应用。 点评：中档题，三角函数恒等变换问题与正弦定理、余弦定理相结合考查，这在高考题目中已经出现过，因此要在熟记公式的基础上，分析它们的结合点。三角形中隐含条件就是 “三角形内角和定理 ”“角的范围 ”，要格外留意。 （本小题满分 12分） 若盒中装有同一型号的灯泡共 10只，其中有 8只合格品， 2只次品。 （ ）某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 3次，每次取一只灯泡，求 2次取到次品的概率； （ ）某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原 盒中
15、），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数 的分布列和数学期望。 答案：（ ） ； （ ） X的分布列如下表： X 1 2 3 p 。 试题分析：（ ）设一次取次品记为事件 A，由古典概型概率公式得：. （ 2分） 有放回连续取 3次，其中 2次取得次品记为事件 B，由独立重复试验得： . （ 5分） （ ）依据知 X的可能取值为 1.2.3 . （ 6分） 且 . （ 7分） . （ 8分） . （ 9分） 则 X的分布列如下表： X 1 2 3 p . （ 10分） . （ 12分） 考点：本题主要考查离散性随机变量的分布列及期望。 点评：典型题，利用概率知识解决实际问题，在高考题中常常出
16、现，这类题目解答的难点在于求随机变量的概率。本题涉及古典概型概率计算，独立重复试验概率计算，注意运用公式。 （本小题满分 12分） 在数列 中， 为常数， ，且 成公比不等于 1的等比数列 . （ ）求 的值； （ ）设 ，求数列 的前 项和 。 答案：（ ） . （ ） 。 试题分析：（ ） 为常数， . （ 2分） . 又 成等比数列， ，解得 或 . （ 4分） 当 时， 不合题意，舍去 . . . （ 5分） （ ）由（ ）知， （ 6分） （ 9分） （ 12分） 考点：本题主要考查等差数列、等比数列的的基础知识， “裂项相消法 ”。 点评：中档题，本题具有较强的综合性，本解答从确定
17、通项公式入手，进一步认识数列 的特征，利用 “裂项相消法 ”达到求和目的。 “分组求和法 ”“错位相消法 ”也是常常考到的求和方法。 （本小题满分 12分） 如图 1，在 Rt 中， ， .D、 E分别是 上的点，且 ，将 沿 折起到 的位置，使 ，如图 2 （ ）求证：平面 平面 ； （ ）若 ，求 与平面 所成角的余弦值； （ ）当 点在何处时， 的长度最小，并求出最小值 答案：（ ）证明 :在 中， 结合 推出 平面 . 再根据 得到 平面 ,平面 平面 。 （ ）直线 BE与平面 所成角的余弦值为 . （ ）当 时 最大为 。 试题分析：（ ）证明 :在 中， .又 平面 . 又 平面
18、 ,又 平面 ,故平面 平面 （ 4分） （ ）由 (1)知 故以 D为原点 , 分别为 x,y,z轴建立直角坐标系 . 因为 CD=2, 则 （ 5分） ,设平面 的一个法向量为则 取法向量 ,则直线 BE与平面 所成角 , （ 8分） 故直线 BE与平面 所成角的余弦值为 . （ 9分） （ ）设 ,则 ,则 ,则当 时 最大为 . （ 12分） 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，距离及角的计算。 点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利
19、用向量则能简化证明过程。本题（ 3），得到距离表达式后，应用了二次函数在指定区间的最值求法，达到解题目的。 （本小题满分 13分） 已知椭圆 的两焦点在 轴上 , 且两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为 2的等腰直角三角形。 （ ）求椭圆的方程； （ ）过点 的动直线 交椭圆 C于 A、 B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 Q，使得以 AB为直径的圆恒过点 Q 若存在求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由。 答案：（ ） .（ ）存在定点 Q,则 Q的坐标只可能为 。 试题分析：（ ）由椭圆两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形 , 又斜边长为 2,即 故 , 椭圆方程为
20、. （ 4分） （ ）当 与 x轴平行时 ,以 AB为直径的圆的方程为 ; 当 与 y轴平行时 ,以 AB为直径的圆的方程为 ,故若存在定点 Q,则 Q的坐标只可能为 （ 6分） 下证明 为所求 : 若直线 斜率不存在 ,上述已经证明 .设直线 , , , （ 8分） （ 10分） ,即以 AB为直径的圆恒过点 . （ 13分） 注 : 此题直接设 ,得到关于 的恒成立问题也可求解 . 考点：本题主要考查椭圆标准方程，直线与椭圆的位置关系。 点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆、标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质。（ II）小题中，运用平
21、面向量的数量积， “化证为算 ”，达到证明目的。 （本小题满分 14分） 已知函数 . （ ）函数 在区间 上是增函数还是减函数？证明你的结论； （ ）当 时， 恒成立，求 整数 的最大值； （ ）试证明： （ ）。 答案：（ ） 在区间 上是减函数；（ ） ； （ ）由（ ）知：令 ， 由试题分析：（ ）由题 （ 3分） 故 在区间 上是减函数 （ 4分） （ ）当 时， 在 上恒成立，取，则 ， （ 6分） 再取 则 （ 7分） 故 在 上单调递增， 而 ， （ 8分） 故 在 上存在唯一实数根 ， 故 时， 时， 故 故 （ 9分） （ ）由（ ）知：令 ， 又 即： （ 14分） 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性及极值，证明不等式。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，（ III）通过构造函数，运用“放缩法 ”转化成数列 “裂项相消法 ”求和，达到证明不等式的目的。本题涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。
