1、2013届四川省雅安中学高三 1月月考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ，集合 ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意可知集合 A表示的三个实数 0， 1， 2，而集合 B表示的是大于 2的所有实数，所以两个集合的交集为空集 . 考点：本小题主要考查集合的运算 . 点评：集合的关系和运算是每年高考必考的题目，难度较低，要注意分清集合元素到底是什么 . 数列 满足 ，则 的前 60项和为（ ） A 3690 B 3660 C 1845 D 1830 答案： D 试题分析：由题意可得 ， ， ， ，变形可得 ，从第一项开始，依次取 个相邻奇数项的和都等于 ，从第二
2、项开始，依次取 个相邻偶数项的和构成以 为首项，以 为公差的等差数列所以 的前 60项和为考点：本小题主要考查数列求和的方法，等差数列的求和公式，考查学生的归纳能力和运算求解能力 . 点评：求解此类问题要注意利用数列的结构特征 设 ，若对于任意 ，总存在，使得 成立，则 的取值范围是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： ,所以根据对号函数的单调性知当 时， ，即 .因为对于任意 ，总存在 ，使得 成立，所以当 时，的值域是 值域的子集，所以 ，代入解得 的取值范围是 . 考点：本小题主要考查闭区间上对号函数、一次函数的值域问题，考查学生对问题的转化能力和运算求解能力 . 点评：解决
3、此题的关键在于将问题转化为求两个函数的值域，而且 的值域是 值域的子集，求值域时， 虽然形式上满足基本不等式，但是取不到等号，所以转化成对号函数解决，用基本不等式时，一定要注意一正二定三相等三个条件缺一不可 . 已知函数 的定义域为 ，部分对应值如下表 的导函数的图象如图所示 -1 0 4 5 1 2 2 1 下列关于函数 的命题： 函数 是周期函数； 函数 在是减函数； 如果当 时， 的最大值是 2，那么 的最大值为 4； 当 时，函数 有 4个零点其中真命题的个数有（ ） A 4个 B 3个 C 2个 D 1个 答案： D 试题分析：由已知条件得不出 是周期函数，所以 不正确；因为在上，
4、，所以 在 是减函数，所以 正确；由图象可知 均不正确 . 考点：本小题主要考查由函数与导函数的图象研究函数的性质，考查学生数形结合的能力和推理能力 . 点评：导函数的正负决定函数的增减，从而可以确定极值、最值等，对导函数的性质和应用要灵活掌握 . 已知 ，直线 和 是函数 图像的两条相邻的对称轴，则 =( ) A B C D 答案： A 试题分析：函数 图像的两条相邻的对称轴之间的距离为半个周期，所以周期为 ，所以 ， ，将 代入，得 考点：本小题主要考查三角函数图象和性子的应用，考查学生对三角函数图象和性质的掌握和数形结合思想的应用 . 点评：三角函数的周期、对称轴、对称中心等是考查的重点
5、内容，求解时还要注意取值范围 设 的最大值为（ ） A 80 B C 25 D答案： A 试题分析：画出约束条件满足的可行域，该可行域为一个等腰直角三角形，而可以看成是可行域内的点与 的距离的平方，根据图象可知点与可行域内的点的距离的最大值为 与 的距离，根据两点间的距离公式可知， 与 的距离为 ，所以 的最大值为 考点：本小题主要考查利用线性规划问题求最值，考查学生对问题的转化能力和运算求解能力 . 点评：解决线性规划问题首先要正确画出可行域，求解时如果不是线性目标函数，要考虑向斜率、距离等问题转化 . 执行右面的程序框图， 如果输入的 是 6，那么输出的 是 ( ) A 120 B 720
6、 C 1440 D 5040 答案： B 试题分析：根据程序框图和输入的值可知，该程序执行的是考点：本小题主要考查程序框图的执行，考查学生读图识图用图的能力 . 点评：程序框图的题目一般离不开条件结构和循环结构，要分清循环的条件，看清什么时候退出循环，不要多执行一步或少执行一步造成求解错误 . 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 2 B 1 C D 答案： C 试题分析：由三视图可知，该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，该几何体的高是 1，底面是对角线为 的正方形，所以该几何体的体积为考点：本小题主要考查几何体的三视图的识别和应用以及四棱锥体积的计算，考查学生的空间想
7、象能力和运算求解能力 . 点评：解决与三视图有关的问题，关键是由三视图正确还原几何体 . 若曲线 在点 处的切线平行于直线 ，则点 的坐标为 ( ) A（ 1， 0） B（ 1， 5） C（ 1， -3） D（ -1， 2） 答案： A 试题分析：设点 的坐标为 ， ，因为在点 处的切线平行于直线 ，所以 ，代入 得 考点：本小题主要考查导数几何意义的应用和两直线平行时斜率的关系，考查学生应用数学知识解决问题的能力和运算求解能力 . 点评：利用导数的几何意义时一定要分清是在某点处的导数还是过某点的导数 . 已知 ，其中 是第二象限角，则 ( ) A B C D 答案： A 试题分析： 因为 所
8、以 因为 是第二象限角，所以 考点：本小题主要考查同角三角函数基本关系式的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：用到平方关系 时，要注意解的个数问题 . 已知集合 ， ，若 ，则实数的取值范围是 ( ) A B C D R 答案： C 试题分析：由题意知 ，所以要使 ，显然有 ， 所以 ，根据集合的关系可知 . 考点：本小题主要考查已知集合的关系求参数的取值范围，考查学生分类讨论思想的应用 . 点评：解决本题的关键在于根据 ，推断出 ，另外集合的运算常常借助于数轴解决 . 已知 ，若 （其中 为虚数单位），则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：根据复数的运算可得 根据复数相等的概念
9、，可知 . 考点：本小题主要考查复数的运算和概念，考查学生的运算能力 . 点评：进行复数的运算时，要注意准确灵活地运算复数的四则运算法则 . 填空题 当 时， ，则 的取值范围是 答案： ( ) 试题分析：当 时， ，所以 ，画出 和的图象，从图象可知，要使 ，需要考点：本小题主要考查指数函数、对数函数的图象和应用，考查学生的推理能力和数形结合思想的应用 . 点评：题目中给出的不等式涉及到指数函数和对数函数，所以要画出两个函数的图象，数形结合解决 . 在 中，已知 分别为 ， ， 所对的边， 为 的面积若向量 满足 ，则 = 答案： 试题分析：因为 ，根据向量共线的坐标运算得： 即 ，因为是三
10、角形的内角，所以 = . 考点：本小题主要考查共线向量的坐标关系、正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生灵活运用公式的能力和运算求解能力 . 点评：向量共线和垂直的坐标运算经常考查，要灵活运用，求出三角函数值求角时要先交代清楚角的范围 . 设 表示等差数列 的前 项和，且 ， ，若， 则 = 答案： 试题分析：因为 是等差数列，所以 所以 ，所以 考点：本小题主要考查等差数列的性质和等差数列的前 n项和的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：等差数列的性质在解题过程中经常用到，要牢固掌握，熟练应用 . 某校对高三年级部分女生的身高（单位 cm，测量时精确到 1cm）进行测量后的分
11、组和频率如下： 分组 频率 0.02 0.04 0.08 0.1 0.32 0.26 0.15 0.03 已知身高在 153cm及以下的被测女生有 3人，则所有被测女生的人数是 答案： 试题分析：由表格可知，身高在 153cm及以下的人数占总人数的，所以所有被测女生的人数是 考点：本小题主要考查频率分布表的理解和应用，考查学生的分析理解能力 . 点评：注意到各组的频率的和为 1. 解答题 （本题满分 12分）已知函数 在区间上的最大值为 2 . （ 1）求常数 的值； （ 2）在 中，角 , , 所对的边是 , , ，若 ， ，面积为 . 求边长 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1
12、）由题可知， ， ， 函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数， 当 即 时，函数 在区间 上取到最大值 . 此时， 得 . 6 分 （ 2） , . ，解得 (舍去 )或 . , , . 面积为 , , 即 . 由 和 解得 , . 12 分 考点：本小题主要考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、正弦定理和余弦定理的综合应用，考查学生熟练应用公式的能力和运算求解能力 . 点评：考查函数的性质，首先要把函数化成 或的形式，这就要求熟练应用二倍角公式、诱导公式和辅助角公式 . （本题满分 12分）汽车厂生产 A， B， C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（
13、单位：辆）； 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50辆，其中有 A类轿车10辆 （ ）求 z的值； （ ）用分层抽样的方法在 C类轿车中抽取一个容量为 5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取 2辆，求至少有 1辆舒适型轿车的概率； （ ）用随机抽样的方法从 B类舒适型轿车中抽取 8辆，经检测它们的得分如下： 9.4， 8.6， 9.2， 9.6， 8.7， 9.3， 9.0， 8.2把这 8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5的概率 答案：
14、（ ） 400（ ） （ ） 0.75 试题分析：（ 1）设该厂本月生产轿车为 辆，由题意得， 3分 （ 2）设所抽样本中有 m辆舒适型轿车， 因为用分层抽样的方法在 C类轿车中抽取一个容量为 5的样本， 解得 m=2，也就是抽取了 2辆舒适型轿车， 3辆标准型轿车， 分别记作 S1， S2;B1， B2， B3， 则从中任取 2辆的所有基本事件为（ S1， B1），（ S1， B2），（ S1， B3），（ S2 ， B1），（ S2 ， B2）， （ S2 ， B3），（ S1， S2），（ B1 ， B2），（ B2，B3），（ B1， B3）共 10个， 其中至少有 1辆舒适型轿车的基
15、本事件有 7个基本事件：（ S1， B1），（ S1，B2），（ S1， B3），（ S2， B1），（ S2， B2），（ S2， B3），（ S1， S2）， 所以从中任取 2辆，至少有 1辆舒适型轿车的概率为 . 8 分 （ 3）样本的平均数为 9 ，那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5的数为9.4， 8.6， 9.2， 8.7， 9.3， 9.0这 6个数，总的个数为 8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5的概率为 0.75. 12 分 考点：本小题主要考查分层抽样的应用、样本平均数和概率的求法和应用，考查了学生分析、求解实际问题的能力 . 点评：在解答题中古典概型常
16、与统计相结合进行综合考查 . （本题满分 12分） 如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面 平面， 是线段 上一点， ， ， （ ）证明： 平面 ； （ ）设三棱锥 与四棱锥 的体积分别为 与 ，求 的值 答案：（ ） ， ，平面 （ ） 试题分析：（ ） 平面 平面 ,平面 平面 , 平面 ， ， 平面 , 1 分 平面 2 分 四边形 是直角梯形， , 都是等腰直角三角形 , 4 分 平面 ， 平面 ， , 平面 . 6 分 （ ）三棱锥 与三棱锥 的体积相等 , 由（ ）知 平面 , 得 , 9 分 设 由 , 得 从而 12 分 考点：本小题主要考查线面垂直的证明和三棱锥体积公式的应用，
17、考查学生的空间想象能力、推理论证能和转化能力 . 点评：证明线、面之间的位置关系时，要紧扣相关定理，一定要把定理所需条件一一列清楚；涉及到三棱锥体积问题，常用 “等体积法 ”解决相关问题 . （本题满分 12分）在数列 中，已知 ，（ . （ 1）求证： 是等差数列； （ 2）求数列 的通项公式 及它的前 项和 . 答案：（ 1）根据已知条件可以得出，从而可证（ 2） ， 试题分析：（ 1） ，即 又 ， 所以 是以 1为首项，以 1为公差的等差数列 . 5 分 （ 2）由（ 1）知 是以 1为首项，以 1为公差的等差数列， ， ， 8 分 ， 令 ， 则 ， 两式相减得： ， 所以 ，所以
18、. 12 分 考点：本小题主要考查用定义证明等差数列、等差数列的通项公式、分组法和错位相减法的应用，考查学生的转化能力和运算求解能力 . 点评：证明等差数列或者等比数列，尽量要交代首项和公差或首项和公比；错位相减是求数列前 n项和的常用方法，要仔细运算 . （本题满分 12分）已知函数 ， （ 1）若函数 在 处的切线方程为 ，求实数 ， 的值； （ 2）若 在其定义域内单调递增，求 的取值范围 . 答案： (1) (2) 试题分析： ， . ， . 2 分 （ 1） 函数 在 处的切线方程为 解得： . 6分 （ 2） 的定义域为 , 在其定义域内单调递增 , 0在 恒成立 , 0（ 0）即
19、 , 令 ，则 ， 因为 ， 当且仅当 即 时取到等号 . 所以 ,所以 . 12 分 考点：本小题主要考查导数几何意义的应用、利用导数研究单调性和构造函数证明不等式以及基本不等式的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力和构造能力以及运算求解能力 . 点评：导数是研究函数的性质（尤其是单调性、极值、最值等）的有力工具，要灵活应用 . （本题满分 14分）设函数 ， (1)求 的单调区间 (2)若 为整数，且当 时， ，求 的最大值 . 答案：（ 1）若 ， 在（ -， +）上单调递增；若 ， 在单调递减，在 上单调递增；（ 2） 试题分析：（ 1）函数 的定义域是 ， 若 ，则 ，所以函数 在
20、（ -， +）上单调递增 若 ，则当 时， ； 当 时， ；所以， 在 单调递减，在上单调递增 6 分 （ II）由于 ，所以， ， 故当 时， 等价于 令 ，则 由（ I）知，函数 在 上单调递增，而 ， 所以 在 上存在唯一的零点， 故 在 上存在唯一的零点， 设此零点为 ，则有 ， 当 时， ；当 时， ；所以 在 上的最小值为 又由 ，可得 ，所以 ， 由于 式等价于 ，故整数 的最大值为 . 14 分 考点：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造新函数求解恒成立问题，考查学生构造函数的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力 . 点评：函数的单调性、极值、最值问题一般都要借助于导数这个工具，而恒成立问题一般转化为求最值问题解决 .
