1、2013届天津市新华中学高三第三次月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 倾斜角为 135，在 轴上的截距为 的直线方程是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为倾斜角为 135，所以直线的斜率为 -1，又因为在 轴上的截距为 ，所以直线方程为 。 考点：直线方程的求法。 点评：此题直接考查直线方程的斜截式：若已知直线的斜率及在 y 轴上的截距，就可以直接根据直线方程的斜截式直接求出直线方程。属于基础题。 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上， 是边长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ，则此棱锥的体积为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：取 AB的中点 D，连接 SD
2、， ED，作 SE EC，则 AB SD,AB CD,所以 AB 面 SDC，因为 为球 的直径，且 ，所以 SBAC= SAC=900，所以 SA=SB= ，所以 ，在三角形 SDC中，, 所以 ,所以棱锥的体积 。 考点：棱锥的体积公式；三棱锥的外接球。 点评：求椎体的体积，要适当的选择底面和高。做本题的关键是是把棱锥的体积转化为 。此题的难度较大。考查了学生分析问题，解决问题的能力。同时也考查了学生的空间想象能力。 已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 使得，则 的最小值为（ ） A B C D不存在 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，即 ，所以。 又因为 ，所以 ，所以 =， 考
3、点：等比数列的性质；等比数列的通项公式；基本不等式。 点评：本题主要考查基本不等式的应用。应用基本不等式的前提条件是：一正二定三相等。 若直线 ： 与直线 ： 平行 ，则 的值为（ ） A 1 B 1或 2 C -2 D 1或 -2 答案： A 试题分析：因为直线 ： 与直线 ： 平行 ，所以或 -2，又 时两直线重合，所以 。 考点：两条直线平行的条件。 点评：此题是易错题，容易选 C，其原因是忽略了两条直线重合的验证。 设 是等差数列 an的前 n项和， ，则 的值为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以 ，即 ，所以。 考点：等差数列的简单性质；等差数列的通项公式；
4、等差数列的前 n 项和公式。 点评：直接考查等差数列的通项公式及性质，属于基础题型。在计算时要仔细、认真，避免出现计算错误。 如图， E、 F分别是三棱锥 P-ABC 的棱 AP、 BC 的中点， PC=10， AB=6，EF=7，则异面直线 AB与 PC所成的角为（ ） A 90 B 60 C 45 D 30 答案： B 试题分析：取 AC 中点 G，连结 EG， FG， FG是三角形 ABC 中位线， GF/AB，GF=AB/2=3， EG是三角形 ACD中位线， EG/PC， EG=PC/2=5，故 EGF是异面直线 AB与 PC所成角或所成角的补角。 在 EGF中，根据余弦定理， co
5、s EGF= ， EGF=1200，异面直线 AB与 PC所成的角为 600. 考点：异面直线所成的角；余弦定理。 点评：本题主要考查了空间中异面直线所成的角。求异面直线所成角的步骤：一作二求三说。此题求出 EGF=1200，但 EGF并不是异面直线 AB与 PC所成角，而是所成角的补角。两异面直线所成角的范围为 。 已知实数 满足 则 的最小值是（ ） A 7 B -5 C 4 D -7 答案： B 试题分析：画出线性约束条件的可行域，在可行域中找出满足条件的点，就可求出 的最小值是 -5. 考点：线性规划的有关知识。 点评：求目标函数的最值，通常要把目标函数 转化为斜截式的形式，即 的形式
6、，但要注意 的正负。当 为正时，求 z的最大值就是求直线 在 y轴上的截距最大时对应的点；当 为负时，求 z的最大值就是求直线 在 y轴上的截距最小时对应的点。 填空题 如图，在矩形 中， 点 为 的中点，点 在边上，若 ，则 的值是 答案： 试题分析：分别以 AB， AD所在直线为 x轴和 y轴，建立直角坐标系，因为，有向量投影的定义知： DF=1。所以 A(0， 0),B（ ， 0），E( ,1)， F(1,2)，所以 ，所以 = 。 考点：向量的应用；向量的数量积；向量的投影。 点评：做本题的关键是根据向量投影的定义求出点 F的坐标，属于基础题型。 在数列 中， ，则数列 中的最大项是第
7、 项。 答案：或 7 试题分析： ，所以数列 前六项为单调递增，从第七项开始为单调递减，又 ，所以数列 中的最大项是第 6或 7项。 考点：数列的单调性。 点评：我们经常利用作差法或者做商法来判断数列的单调性。但要注意用做商法时，数列的每一项都应是正的。 设数列 an满足 ， (n N)，且 ，则数列 an的通项公式为 . 答案： 试题分析：因为 ，两边同除以 ，得，令 ，则 ， 所以 ，以上 n-1个式子相加，得，即 ，所以 。 考点：数列通项公式的求法；等比数列的前 n项和。 点评：若已知的递推式形如 求数列的通项公式，常用的方法是：等式的两边同除以 ，构造新数列，然后用累加法。 若 ，则
8、 . 答案： 试题分析： . 考点：数列求和。 点评：常见的裂项公式： ， ， ， 已知向量 夹角为 ，且 ；则 _ _. 答案： 试题分析：因为 ，所以 考点：向量的数量积定义；向量的数量积的性质。 点评：向量的平方就等于模的平方是一条非常重要的性质，考试中经常考到。此题的关键就是想到应用这条性质。一般情况下，题中若有向量的模都要先考虑这一条。 已知一个几何体的三视图如下图所示 (单位： cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是 _cm3. 答案： 试题分析：由三视图知：原几何体是一个正方体和三棱柱的组合体，其中正方体的棱长为 1，三棱柱的底面是等腰直角三角
9、形，直角边为 1，高为 1. 所以该几何体的体积 。 考点：三视图；空间几何体的体积公式。 点评：本题是基础题，考查几何体的三视图，几何体的体积的求法，准确还原几何体的形状并正确找出几何体的数量关系是解题的关键，同时还考查了学生的空间想象能力和基本的运算能力本题易错的地方是容易把原几何体当做是四棱台。 设 是两条直线， 是两个平面，则 的一个充分条件是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析： A. 若 则 可能相交、平行、或异面； B. 若 ，则 一定平行； C. 若 则 一定垂直； D.若 则 可能相交、平行、或异面。因此选 C。 考点：线线垂直的判定；线线的位置关系；空间中线、面的
10、位置关系。 点评：本小题主要考查空间中线、面间的各种位置关系，解题时要灵活运用立体几何中各位置关系的判定定理和性质定理，并借助空间想象寻找反例，判断命题的真假，这种类型的问题在高考选择题中非常普遍 解答题 （本小题满分 15分） 已知函数 f(x) -1 2 sinxcosx 2cos2x. (1)求 f(x)的单调递减区间； (2)求 f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标； (3)若角 ， 的终边不共线，且 f() f()，求 tan( )的值 答案 ： (1) k ， k (k Z) ;(2) (- ， 0) ;(3) . 试题分析： f(x) sin2x cos2x 2sin(2x
11、)， (1)由 2k 2x 2k (k Z) 得 k xk (k Z)， f(x)的单调递减区间为 k ， k (k Z) (2)由 sin(2x ) 0得 2x k(k Z)， 即 x - (k Z)， f(x)图象上与原点最近的对称中心的坐标是 (- ， 0) (3)由 f() f()得： 2sin(2 ) 2sin(2 )， 又 角 与 的终边不共线， (2 ) (2 ) 2k (k Z)， 即 k (k Z)， tan( ) . 考点：二倍角公式；和差公式；三角函数的性质。 点评：求函数 的单调区间，一定要注意 的正负，此为易错点，也是常考点。此题属于基础题型。 （本小题满分 15 分
12、）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，侧棱 底面 ， ， 是 的中点，作 交 于点 （ 1）证明 : 平面 . （ 2）证明 : 平面 . （ 3）求二面角 的大小 . 答案： (1) 证明 PA/EM即可； (2)只需证明 ， 即可； (3) 。 试题分析：（ 1）证明：连接 与 交于 ， 为正方形， 为中点 . 为 中点， 又 平面 ， 平面 /平面 （ 2） 为 中点， 为正方形， 又 平面 ， 平面 又 是平面 内的两条相交直线， 即 平面 ，又 平面 ，所以 由 ， 且 是平面 内的两条相交直线，所以，又 ，所以 又 ， 是平面 内的两条相交直线， 所以 平面 . (3) 平面 ，
13、，则 为二面角 的平面角。 设正方形 的棱长为 ，则 . 在 中， ；在 中， 在 中， = ，所以 . 考点：线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理；二面角。 点评：二面角求解的一般步骤： 一、 “找 ”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形找二面角的平面角。 二、 “证 ”：证明所找出的角就是该二面角的平面角。三、 “算 ”：计算出该平面角。 （本小题满分 18 分）设数列 的前 项和为 ，且满足 =2- ， ( =1，2， 3， ) ( )求数列 的通项公式； ( )若数列 满足 =1，且 ，求数列 的通项公式； ( ) ,求 的前 项和 答案： ( ) an= (n
14、 N*)； ( ) bn=3-2( )n-； ( ) 。 试题分析： ( ) n=1时， a1+S1=a1+a1=2 a1=1 Sn=2-an即 an+Sn=2 an+1+Sn+1=2 两式相减： an+1-an+Sn+1-Sn=0 即 an+1-an+an+1=0，故有 2an+1=an an0 (n N*) 所以，数列 an为首项 a1=1，公比为 的等比数列 .an= (n N*) ( ) bn+1=bn+an(n=1， 2， 3， ) bn+1-bn=( )n-1 得 b2-b1=1 b3-b2= b4-b3=( )2 bn-bn-1=( )n-2(n=2， 3， ) 将这 n-1个等
15、式相加，得 bn-b1=1+ 又 b1=1， bn=3-2( )n-1(n=1， 2， 3， ) (3) 所以 考点：数列通项公式的求法；数列前 n项和的求法。 点评：若已知递推公式为 的形式求通项公式常用累加法。 注： 若 是关于 n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和 ; 若 是关于 n的二次函数，累加后可分组求和 ; 是关于 n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和 ; 是关于 n的分式函数，累加后 可裂项求和。 （本小题满分 18分）已知函数 ， （ ）若 ，求函数 的极值； （ ）设函数 ，求函数 的单调区间； ( )若在 （ ）上存在一点 ，使得 成立，求 的取值范围 . 答案：（ ） 在 处取得极小值 1；（ ） 时， 在上单调递减，在 上单调递增； 时，函数 在 上单调递增。 ( ) 或 . 试题分析：（ ） 的定义域为 ， 当 时， ， 1 0 + 极小 所以 在 处取得极小值 1. （ ） ， 当 时，即 时，在 上 ，在 上， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 ，即 时，在 上 ， 所以函数 在 上单调递增 . （ III）在 上存在一点 ，使得 成立，即 在 上存在一点 ，使得 ， 即函数 在 上的最小值小于零 . 由（ ）可知 当 ，即 时， 在 上单调递减， 所以 的最小值为 ，由 可得
