1、2013届天津市高考压轴卷理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 为虚数单位，则复数 的虚部是 A B 1 C D 答案： A 试题分析：根据题意，由于 为虚数单位，则复数 ，因此可知其虚部为 -1，故答案：为 A. 考点：复数的运算 点评：主要是考查了复数的除法运算，属于基础题。 已知 P（ x,y)是直线 上一动点， PA， PB是圆 C：的两条切线， A、 B是切点，若四边形 PACB的最小面积是 2，则 的值为 A.3 B. C. D.2 答案： D 试题分析：根据题意，由于 P（ x,y)是直线 上一动点， PA，PB 是圆 C： 的两条切线， A、 B 是切点，那么可由切线长定
2、理，以及四边形 PACB的最小面积即为圆心到点 P的距离的最小时得到，那么根据点到直线的距离公式可知， d= =1.可知斜率 k=1,故答案：为D. 考点：直线与圆的位置关系 点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。 已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当时， ，则 的值为 A B C 1 D 2 答案： C 试题分析：根据题意，由于函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有，可知函数的周期为 2，且当 时， ，那么则有 ，故可知答案：为 C。 考点：函数奇偶性 点评：主要是考查了函数的奇偶性和周期性的运用，属于基础题。 定义行列式运算 = 将函数 的图象向左平移 个单位，
3、以下是所得函数图象的一个对称中心是 A B C D 答案： B 试题分析：根据题意，由于行列式运算 = ，则可知函数=2sin（ 2x- ），在可知图象向左平移 个单位，得到的式 y=2sin2x,可知使得函数值为零的点即为所求那么代入可知当 x= 时能成立，故答案：为 B. 考点：三角函数的性质 点评：主要是考 查了三角函数的性质的运用，以及行列式的计算，属于基础题。 二项式 的展开式中常数项是 A 28 B -7 C 7 D -28 答案： C 试题分析：根据题意，由于二项式 的展开式，故可知展开是的常数项为，故可知答案：为 C. 考点：二项式定理 点评：主要是考查了二项式定理的展开式的运
4、用，属于基础题。 设 是公差不为 0的等差数列 的前 项和，且 成等比数列，则等于 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析：根据题意，由于 是公差不为 0的等差数列 的前 项和，且成等比数列，在可知为 ，故可知答案：为 C. 考点：等差数列 点评：主要是考查了等差数列和等比数列的通项公式的运用，属于基础题。 执行右面的框图，若输出结果为 3，则可输入的实数 值的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 答案： C 试题分析：根据题意，由于框图表示的为分段函数的式，则可知，则可知当函数值 y=3时，则可知要分为两种情况来讨论， ，故可知 x的值有 3个故答案：为 C. 考点：条件结构
5、 点评：主要是考查了框图中条件结构的运用，属于基础题 “ ”是 “直线 和直线 互相垂直 ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：根据题意，由于直线 和直线 互相垂直 ” 等价于 1-m=0,则 “ ”是 “直线 和直线 互相垂直 ”的充要条件，故选C. 考点：充分条件 点评：主要是考查了两直线垂直的充要条件的运用，属于基础题。 填空题 以下命题： 若 ，则 ； =（ -1， 1）在 =（ 3， 4）方向上的投影为 ； 若 ABC中， a=5,b =8,c =7，则 =20； 若非零向量 、 满足 ，则 其中所有真命题的标号是 答案：
6、 试题分析：根据题意，由于 若 ，则 ；成立。 =（ -1， 1）在 =（ 3， 4）方向上的投影为 显然成立，对于 若 ABC中， a=5,b =8,c =7，则 =20；利用余弦定理可知错误。对于 若非零向量 、 满足 ，则 ，通过平方来得到证明成立，故答案：为 考点：命题的真假 点评：主要是考查了命题真假的判定的运用，属于基础题。 如图， ， 是半径为 的圆 的两条弦，它们相交于 的中点 .若， ，则 = ， （用 表示） . 答案： ； 试题分析：根据题意，由于 ， 是半径为 的圆 的两条弦，它们相交于的中点 .若 ， ， ,则根据垂径定理可知， OA=2r,OP=r,AP= ,代入可
7、知得到 = ， 。 考点：圆内性质 点评：主要是考查了相交弦定理以及圆的性质的运用，属于基础题。 已知直线 （ 为参数）与圆 （ 为参数），则直线 的倾斜角及圆心 的直角坐标分别是 答案： 试题分析：根据题意，由于直线 （ 为参数）化为直角坐标方程为y+2=-2-x,x+y+4=0与圆 （ 为参数） ，则可知直线的倾斜角为 ，而圆心的直角坐标为 ，故答案：为 。 考点：直线与圆 点评：主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，属于基础题。 已知集合 ，若 ，则的取值范围是 答案： 试题分析：根据题意，由于集合因为 ，那么可知结合数轴法可知参数 m的范围是 2 m+2013, m-2013 0，综上
8、可知参数的范围是 考点：集合的交集 点评：主要是考查了集合的交集的运用，属于基础题。 已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为 ，等腰三角形的腰长为 ，则该几何体的体积是 答案： 试题分析：根据题意，由于一个几何体是由上下两部分构成的组合体，是圆锥和半球的组合体，图中圆的半径为 ，等腰三角形的腰长为 ，可知圆锥的高为 ，因此可知该几何体的体积为 ，故可知答案：为 考点：三视图 点评：主要是考查了三视图来还原几何体并求解体积的运用，属于中档题。 某高中共有学生 900人，其中高一年级 240人，高二年级 260人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为 45的样
9、本，则在高三年级抽取的人数是 _ 答案： 试题分析：根据题意，由于高中共有学生 900人，采用分层抽样法抽取容量为45的 样本，则可知比例为 45:900=1:20，则可知各个年级的抽取的人数的比例为1:20，因此可知 900-240-260=400为高三的人数，则可抽取的人数为 400 ，故答案：为 20 。 考点：分层抽样 点评：主要是考查了分层抽样方法的运用，属于基础题。 解答题 已知函数 （ 1）求函数 的最小正周期和最大值； （ 2）求函数 单调递增区间 答案：（ 1） ， （ 2） 试题分析：（ ） - 1分 2分 -3分 - -5分 函数 的最小正周期为 ， - -6分 函数 的
10、最大值为 - 8分 （ II）由 10分 得 -11分 函数 的 单调递增区间为 - -13分 考点：三角函数的化简和性质 点评：主要是考查了三角函数的性质以及单一三角函数的化简变形的运用属于中档题。 袋中有 8个大小相同的小球，其中 1个黑球， 3个白球， 4个红球 . （ I）若从袋中一次摸出 2个小球，求恰为异色球的概率； （ II）若从袋中一次摸出 3个小球，且 3个球中，黑球与白球的个数 都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为 ，求 的分布列及数学期望 E . 答案：（ 1） （ 2）随机变量 的分布列为： 1 2 3 试题分析： 解 : （ ）摸出的 2个小球为异色球的种数为 2
11、分 从 8个球中摸出 2个小球的种数为 4分 故所求概率为 5 分 （ ）符合条件的摸法包括以下三种： 一种是有 1个红球， 1个黑球， 1个白球， 共有 种 6分 一种是有 2个红球， 1个其它颜色球， 共有 种， 7分 一种是所摸得的 3小球均为红球，共有 种不同摸法， 故符合条件的不同摸法共有 40种 . 9分 由题意知，随机变量 的取值为 1， 2， 3.其分布列为： 1 2 3 13分 考点：排列组合与分布列 点评：主要是考查了分布列和排列组合的运用，属于基础题。 如图，在长方体 ，中， ，点 在棱 AB上移动 . （ 1 ）证明： ； （ 2）当 为 的中点时，求点 到面 的距离；
12、 （ 3） 等于何值时，二面角 的大小为 . 答案：（ 1）借助于向量的数量积为零来得到垂直的证明。 （ 2） （ 3） 试题分析：解：以 为坐标原点，直线 分别为 轴，建立空间直角坐标系，设 ，则 2分 （ 1） 4分 （ 2）因为 为 的中点，则 ，从而 ， ，设平面 的法向量为 ，则 也即 ，得 ，从而 ，所以点 到平面 的距离为 8分 （ 3）设平面 的法向量 ， 由 令 ， 依题意 （不合，舍去）， . 时，二面角 的大小为 . 13分 考点：线面角和二面角以及垂直的证明 点评：主要是考查了空间中线线垂直的证明以及线面角以及二面角的平面角的求解，属于基础题。 已知数列 an的前 n项
13、和为 Sn，且 an是 Sn与 2的等差中项，数列 an中，b1=1，点 P（ bn， bn+1）在直线 x-y+2=0上 （ ） 求数列 an， bn的通项公式 an和 bn； （ ） 设 cn=an bn，求数列 cn的前 n项和 Tn 答案：（ 1） an=2n bn=2n-1 （ 2） Tn=（ 2n-3） 2n+1+6 试题分析：（ ）先利用 an是 Sn与 2的等差中项把 1代入即可求 a1，利用Sn=2an-2，再写一式，两式作差即可求数列 an的通项；对于数列 bn，直接利用点 P（ bn， bn+1）在直线 x-y+2=0上，得数列 bn是等差数列即可求通项； （ ）先把所求
14、结论代入求出数列 cn的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和 解：（ ） an是 Sn与 2的等差中项， Sn=2an-2， a1=S1=2a1-2，解得 a1=2 n2时， Sn-1=2an-1-2， - 可得： an=2an-2an-1， an=2an-1（ n2），即数列 an是等比数列 an=2n， 点 P（ bn， bn+1）在直线 x-y+2=0上， bn-bn+1+2=0， bn+1-bn=2，即数列 bn是等差数列，又 b1=1， bn=2n-1； （ ） cn=（ 2n-1） 2n， Tn=a1b1+a2b2+anbn=12+322+523+ （ 2n-1） 2
15、n， 2Tn=122+323+ （ 2n-3） 2n+（ 2n-1） 2n+1， -Tn=12+（ 222+223+22 n） -（ 2n-1） 2n+1， 即： -Tn=12+（ 23+24+2 n+1） -（ 2n-1） 2n+1， Tn=（ 2n-3） 2n+1+6 考点：数列与几何的综合；数列的求和；等差数列的性质 点评：本题考查数列的通项，考查数列求和的错位相减法，考查计算能力，属于中档题 已知椭圆 （ a b 0）的焦距为 4，且与椭圆 有相同的离心率，斜率为 k的直线 l经过点 M（ 0， 1），与椭圆 C交于不同两点 A、 B （ 1）求椭圆 C的标准方程； （ 2）当椭圆 C
16、的右焦点 F在以 AB为直径的圆内时，求 k的取值范围 答案：（ 1） （ 2）（ -， ） 试题分析：解：（ 1） 焦距为 4， c=2 1分 又 的离心率为 2分 ， a= ， b=2 4分 标准方程为 6分 （ 2）设直线 l方程： y=kx+1， A（ x1， y1）， B（ x2， y2）， 由 得 7分 x1+x2= ， x1x2= 由（ 1）知右焦点 F坐标为（ 2， 0）， 右焦点 F在圆内部， 0 9分 （ x1 -2）（ x2-2） + y1y2 0 即 x1x2-2（ x1+x2） +4+k2 x1x2+k（ x1+x2） +1 0 10分 0 12分 k 13分 经检验
17、得 k 时，直线 l与椭圆相交， 直线 l的斜率 k的范围为（ -， ） 14分 . 考点：直线与椭圆 点评：主要是考查了椭圆方程的求解以及直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。 设函数 . （ 1）若 ,试求函数 的单调区间； （ 2）过坐标原点 作曲线 的切线，证明 :切点的横坐标为 1； （ 3）令 ，若函数 在区间（ 0， 1上是减函数，求 的取值范围 . 答案：（ 1） 的减区间为 ,增区间 （ 2）导数的几何意义的运用，理解切线的斜率即为该点的导数值既可以得到求证。 （ 3） 试题分析：解 : （ 1） 时 , 1 分 3分 的减区间为 ,增区间 5分 （ 2）设切点为 ， 切线的斜率 ，又切线过原点 7分 满足方程 ，由 图像可知 有唯一解 ，切点的横坐标为 1； -8分 或者设 , ,且 ,方程 有唯一解 -9分 （ 3） ，若函数 在区间（ 0， 1上是减函数， 则 ，所以 -（ *） 10分 若 ，则 在 递减， 即不等式 恒成立 11分 若 , 在 上递增 , ,即 , 上递增 , 这与 , 矛盾 13分 综上所述 , 14分 解法二 : ，若函数 在区间（ 0， 1上是减函数， 则 ，所以 10分 显然 ,不等式成立 当 时 , 恒成立 11分 设 设 在 上递增 , 所以 12分 在 上递减 ,
