1、2013届安徽省宿州市泗县二中高三第三次模拟理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 下列命题正确的是 （ ） A函数 内单调递增 B函数 的最小正周期为 2 C函数 的图像是关于点 成中心对称的图形 D函数 的图像是关于直线 成轴对称的图形 答案： C 试题分析：由 得， ，即 的增区间为 ，所以， A不正确； 因为， = ，所以，其周期为 ， B不正确； 将 代人 ，得 y=0，所以， C正确，故选 C。 考点：本题主要考查三角函数的倍角公式，三角函数的图象和性质。 点评：简单题，重要的是掌握三角函数图象和性质的研究方法。 三角形的三边均为整数，且最长的边为 11，则这样的三角形的个数有（ ）
2、个。 A 25 B 26 C 32 D 36 答案： D 试题分析： 11是最长边， 另一边是 11时：第三边可能是 11、 10， 9， 8， 7， 6， 5， 4， 3， 2， 1，共 11个； 另一边是 10时：第三边可能是 10， 9， 8， 7， 6， 5， 4， 3， 2，共 9个； 同理 9时： 9， 8， 7， 6， 5， 4， 3，共 7个； 8时： 8， 7， 6， 5， 4，共 5个； 7时： 7， 6， 5，共 3个； 6时： 6，一个； 一共有： 1+3+5+7+9+11=36（个）； 故选 D。 考点：本题主要考查三角形的特征，分类计数原理。 点评：易错题，利用构成
3、三角形的条件，运用分类计数原理，分类讨论。 等差数列 的值是 （ ） A 14 B 15 C 16 D 17 答案： C 试题分析：因为，等差数列中， 。所以， ，故选 C。 考点：本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式。 点评：简单题，等差数列中， 。 设 的值为 （ ） A 0 B 1 C 2 D 3 答案： C 试题分析：因为， ，故选 C。 考点：本题主要考查分段函数的概念，指数函数、对数函数的性质。 点评：小综合题，本题全面考查分段函数的概念，指数函数、对数函数的性质。注意从里到外，逐步计算函数值。 已知集合 I=1,2,3,4， A=1， B=2， 4，则 = （ ） A
4、1 B 3 C 1， 3 D 1， 2， 3 答案： C 试题分析：因为，集合 I=1,2,3,4， A=1， B=2， 4， 所以， =1 1， 3=1， 3，故选 C。 考点：本题主要考查集合的运算。 点评：简单题，两集合的并集，就是两集合中的所有元素组成的集合。 在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB、 AC、 AD两两垂直， ABC、 ACD、 ADB的面积分别为 、 、 ，则三棱锥 ABCD 的外接球的体积为 （ ） A B 2 C 3 D 4 答案： A 试题分析：因为，在三棱锥 ABCD 中，侧棱 AB、 AC、 AD两两垂直， ABC、 ACD、 ADB的面积分别为 、 、 ，设侧
5、棱 AB、 AC、AD分别为 a,b,c，则 ，解得 ，将此三棱锥补成长方体，则体对角线即为外接球的直径 ，所以，三棱锥 ABCD 的外 接球的体积为 = ，选 A。 考点：本题主要考查三棱锥的几何特征，球的体积公式。 点评：中档题，从已知出发确定侧棱的长，补成长方体是进一步解题的关键。 复数 = （ ） A B C D 答案： B 试题分析： = ，故选 B。 考点：本题主要考查复数的代数运算。 点评：简单题，注意分子分母同乘分母的共轭复数，将分母实数化。 如图，过抛物线 的焦点 F的直线 l交抛物线于点 A、 B，交其准线于点 C，若 |BC|=2|BF|，且 |AF|=3，则此抛物线的方
6、程为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：如图分别过点 A， B作准线的垂线，分别交准线于点 E， D，设|BF|=a，则由已知得： |BC|=2a， 由定义得： |BD|=a，故 BCD=30， 在直角三角形 ACE中， |AE|=3， |AC|=3+3a， 2|AE|=|AC|， 3+3a=6，从而得 a=1。 BD FG， ， p= ，因此抛物线方程为 y2=3x故选 B 考点：本题主要考查抛物线的定义及其几何性质，相似三角形。 点评：小综合题，本题综合性较强，综合考查抛物线的定义、标准方程、几何性质，以及平面几何知识。一般的涉及 抛物线过焦点弦问题，要考虑应用定义。 已知向量
7、 ，则实数 n的值是 （ ） A 1 B 1 C 3 D 3 答案： D 试题分析：因为，向量 ， 即 ，解得，实数 n的值是 3，故选 D。 考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，数量积。 点评：简单题，利用已知条件及平面向量的坐标运算，建立 n的方程。 锅中煮有芝麻馅汤圆 6个，花生馅汤圆 5个，豆沙馅汤圆 4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1个的概率为 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：从中任意舀取 4个汤圆，总的方法数是 ,其中每种汤圆都至少取到 1个的方法数为 + + ， 所以，每种汤圆都至少取到 1个的概率为= ，故选 B
8、。 考点：本题主要考查古典概型概率的计算，简单组合问题。 点评：简单题，古典概型概率的计算，关键是计算两个事件数。当对立事件的概率易于计算时，可利用对立事件的概率计算公式。 填空题 下列说法： 从匀速传递的产品生产流水线上，质检员第 10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样 某地气象局预报： 5月 9日本地降水概率为 90%，结果这天没下雨，这 表明天气预报并不科学 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好 在回归直线方程 中，当解释变量 x每增加一个单位时，预报变量平均增加 0.1个单位，其中正确的是 （填上你认为正确的序号） 答案： 试题分析： 从匀速
9、传递的产品生产流水线上，质检员每 10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，故 不正确； 5月 9日本地降水概率为 90%，只表明下雨的可能性是 90%，故 不正确； 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故 正确； 在回归直线方程 中，当解释变量 x每增加一个单位时，预报变量平均增加 0.1个单位，故 正确，综上知，答案：为 。 考点：本题主要考查分层抽样方法，回归分析与线性回归方程，概率的概念。 点评：简单题，本题难度不大，但综合性较强，考查的知识点比较多。需要对相关基础知识较为熟悉。 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角
10、坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点 A（ 3 ， 4），且法向量为的直线（点法式）方程为类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点 A（ 1， 2， 3）且法向量为 的平面（点法式）方程为 。（请写出化简后的结果） 答案： 试题分析：根据法向量的定义，若 为平面 的法向量，则 ，任取平面 内一点 P（ x， y， z）， 则 ， =（ 1-x， 2-y， 3-z）， =(-1， -2， 1)， （ x-1） +2（ y-2） +（ 3-z） =0， 即： x+2y-z-2=0， 故答案：为 。 考点：本题主要考查类比推理。 点评：类比推理的一般步骤是：（ 1）找出两类事物之间的相似
11、性或一致性；（ 2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。 ，则 =0. 若 a、 b、 c、 d 均为实数，使不等式 都成立的一组值（ a、b、 c、 d）是 。（只要写出适合条件的一组值即可） 答案：（ 2， 1， 3 ， 2 ）等（只要写出一组值适合条件即可） 试题分析：因为， ，所以，首先应有 a与 b、 c与 d分别同号，若四个数均为正数，由 无法得到 ，所以，两组数的符号不同。取 2， 1， 3 ， 2 验证适合，故答案：可为 2， 1， 3 ， 2 。 考点：本题主要考查不等式的性质。 点评：简单题，根据不等式的特点，先确定 a,b,c,d的符号，在
12、确定数值。 已知函数 则 = 。 答案： 试题分析：因为， ， 所以， 。 考点：本题主要考查定积分的计算。 点评：简单题，利用导数公式，求得原函数，是解题的关键。 极坐标系中，曲线 相交于点 A、 B，则 |AB|= 。 答案： 试题分析：将 化为直角坐标方程为 x2+y2+4y=0， x=1， 将 x=1代入圆的方程得： y2+4y+1=0， 则 |AB|=|y1-y2|= 故答案：为 。 考点：本题主要考查简单曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与圆的位置关系。 点评：中档题，本题解法利用先化为直角坐标方程，实现 “化生为熟 ”，转化成圆的弦长问题。 解答题 已知函数 （ 1）若
13、的最大值和最小值； （ 2）若 的值。 答案：（ I） （ II） 。 试题分析：（ I） = 3分 又 ， 6分 （ II）由于 解得 8分 13分 考点：本题主要考查和差倍半的三角函数公式，同角公式，三角函数的图象和性质。 点评：中档题，利用和差倍半的三角函数公式，同角公式，先化简，再求值，研究三角函数的图象和性质，是常见类型。（ 1）小题涉及角的较小范围，易于出错。 甲、乙两个同学同时报名参加某重点高校 2010年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格。已知甲，乙两人审核过关的概率分别为，审核过关后，甲、
14、乙两人文化测试合格的概率分别为 （ 1）求甲，乙两人至少有一人通过审核的概率； （ 2）设 表示甲，乙两人中获得自主招生入选资格的人数，求 的数学期望 . 答案： (1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为 ； (2) 的数学期望为 . 试题分析： (1)设 “甲，乙两人至少有一人通过审核 ”，则 6分 (2) 12分 答： (1)甲，乙两人至少有一人通过审核的概率为 ； (2) 的数学期望为 . 考点：本题主要考查独立事件的概率计算，随机变量分布列及其数学期望。 点评：典型题，统计中的抽样方法，频率直方图，概率计算及分布列问题，是高考必考内容及题型。独立事件的概率的计算问题，关键是明确事件、
15、用好公式。涉及 “至少 ”“至多 ”等词语时，考虑对立事件的概率计算公式，往往比较简洁。 AB为圆 O的直径，点 E、 F在圆上， AB/EF，矩形 ABCD所在平面与圆 O所在平面互相垂直，已知 AB=2， BC=EF=1。 （ I）求证： BF 平面 DAF； （ II）求 ABCD与平面 CDEF所成锐二面角的某三角函数值； （ III）求多面体 ABCDFE的体积。 答案：（ I）先证 AD 平面 ABEF， AD BF； 由 AB为圆 O的直径，得 AF BF，且 AFAD=A，可得 BF 平面 DAF； （ II） ；（ III）试题分析：（ I）证明：因为平面 ABCD 平面 A
16、BEF， AD AB， AD 平面 ABEF， AD BF； 又 AB为圆 O的直径， AF BF， AFAD=A， BF 平面 DAF； 4分 （ II）取 AB， CD， EF的中点 M， P， N（如图所示） 易证 MPN为所求二面角的平面角。 根据题意 故 9分 （ III）作 为垂足，则 12分 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系、角及体积计算。 点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有 “几何法 ”和 “向量法 ”。利用几何法，要遵循 “一作、二证、三计算 ”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几
17、何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。本题中体积计算利用了整体与 局部的关系。 已知 （ 1）求使 上是减函数的充要条件； （ 2）求 上的最大值。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1） （ 2）由（ 1）知，当 最大值为 即 12分 考点：本题主要考查充要条件的概念，应用导数研究函数的单调性、最值。 点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究函数的单调性，明确了极值情况。通过比较极值、区间端点函数值的大小，得到函数的最值。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。 如图所示，流程图给出了无穷等差整数列 ，时，输出的 时，输出的 （其中 d为公差） （ I）求数列 的通项公式
18、； （ II）是否存在最小的正数 m，使得 成立？若存在，求出 m的值，若不存在，请说明理由。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）根据框图 所以有 解得 6分 （ 2）事实上， ，利用错位相消得 13分 （以上答案：仅供参考，其它解法酌情赋分） 考点：本题主要考查程序框图功能识别，等差数列的通项公式， “错位相减法 ”。 点评：典型题，本题综合性较强，综合考查程序框图功能识别，数列通项公式的确定。涉及数列不等式的恒成立问题，利用 “错位相减求和 ”先求和，然后利用和式的单调 性，得到 m的值。 已知椭圆 C： 其左、右焦点分别为 F1、 F2，点 P是坐标平面内一点，且 |OP|=
19、（ O为坐标原点）。 （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）过点 l交椭圆于 A、 B两点，在 y轴上是否存在定点 M，使以 AB为直径的圆恒过这个点：若存在，求出 M的坐标；若不存在，说明理由。 答案：（ 1） （ 2）在 y轴上存在定点 M，使得以 AB为直径的圆恒过这个点， 点 M的坐标为（ 0， 1）。 试题分析：（ 1）设 因此所求椭圆的方程为： 5分 （ 2）动直线 l的方程为： ， 10分 由假设得对于任意的 恒成立， 即 因此，在 y轴上存在定点 M，使得以 AB为直径的圆恒过这个点， 点 M的坐标为（ 0， 1）。 13分 （以上答案：仅供参考，其它解法酌情赋分） 考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算。 点评：难题，求椭圆的标准方程，主要运用了椭圆的几何性质，注意明确焦点轴和 a,b,c的关系。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（ 2）利用向量垂直，数量积为 0，确定得到 m的方程。
