1、2013届安徽省无为县四校高三联考文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 A x|x 1， B x|-1 x 2，则 A B等于 ( ) A x|-1 x 2 B x|x -1 C x|-1 x 1 D x|1 x 2 答案： B 试题分析：因为 A x|x 1， B x|-1 x 2，所以 A B=x|x 1 x|-1 x 2=x|x -1。 考点：集合的运算。 点评：直接考查集合的运算，利用数轴计算更简单。属于基础题型。 下列函数中，最小值为 4的是 ( ） A B C D 答案： C 试题分析： A： ，当 x=-1时， y=-5显然最小值不是 4，故不正确； B： 4，当且仅当
2、 时等号成立，这不可能，故不正确； C： 4，当且仅当 时等号成立 D： ，当 log3x 0， logx3 0， y=log3x+4logx34，此时 x=9，当 log3x 0， logx3 0故不正确；故选 C 考点：基本不等式。 点评：熟练掌握基本不等式的应用，尤其要注意基本不等式应用的前提条件：一正二定三相等。 等比数列 中， ，前 3 项之和 ，则数列 的公比为（ ） A 1 B 1或 C D -1或 答案： B 试题分析：设公比为 ，因为 ，所以 因为 ，所以 ，得： ，解得 1或 。 考点：等比数列的性质。 点评：解数列的有关问题，最基本的方法是：根据题意列出方程，组成方程组求
3、解。而对等比数列来说，解方程组常用的方法是两式相除消元。 已知函数 y cos(x )( 0， | )的部分图象如图所示，则 ( ) A 1， B 1， - C 2， D 2， - 答案： D 试题分析：由图像知：函数的周期为 ，所以 ，又点在图像上，代入得 - 。 考点：由函数 的部分图像确定函数的式。 点评：本题考查三角函数的式的求法，注意图象经过的特殊点是解题的关键 某所学校计划招聘男教师 x名，女教师 y名， x和 y须满足约束条件 则该校招聘的教师人数最多是（ ） A 10 B 8 C 6 D 12 答案： A 试题分析：画出线性约束条件的可行域，设该校招聘的教师人数为 Z，则Z=x
4、+y,由可行域即可求出目标函数 Z=x+y的最大值为 10. 考点：线性规划的简单问题。 点评：此题为易错题，主要原因是忽略了题中的隐含条件。题中的隐含条件：. 已知向量 ，若 与 垂直，则 （ ） A B C 4 D 2 答案： D 试题分析：因为 与 垂直，所以（ ） =0，即 ，所以2n2-2-n2-1=0,解得 n2=3,所以 。 考点：向量的模；向量的数量积；向量垂直的条件。 点评：熟记向量垂直的条件：设 ， ，若 ，则。 在各项均为正数的数列 中，对任意 都有 若， 则 等于（ ） A 256 B 510 C 512 D 1024 答案： C 试题分析：在各项均为正数的数列 an中
5、，对任意 m， n N*都有 am+n=am an所以 a6=a3 a3，即 a3=8，所以 a9=a6 a3=512，故选 C。 考点：数列的函数特性；数列的递推式。 点评：赋值法是解决此类题最好的方法。属于基础题。 函数 的零点所在的一个区间是（ ） A (-2,-1) B (-1,0) C (0,1) D (1,2) 答案： C 试题分析：因为函数 是 R上的连续函数，且 f（ 0） =e0+0-2=-10，所以 f（ 0） f（ 1） 0所以 的零点所在的一个区间为 (0,1)。 考点：零点存在定理。 点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，零点存在定理只能判断函数在这个区间上
6、是否存在零点，而不能判断零点的个数。属于基础题。 若 （其中 ），则函数 的图象 ( ） A关于 y轴对称 B关于 X轴对称 C关于直线 y=x轴称 D关于原点对称 答案： A 试题分析：因为 ，所以 ，所以函数 的图象关于 y轴对称。 考点：对数的运算；指数函数的图像；指数函数的性质。 点评：指数函数 的图像关于 y轴对称。 下列有关命题的说法正确的是（ ） ; 命题 “a、 b都是偶数 ,则 a b是偶数 ”的逆否命题是 “a b不是偶数 ,则 a、 b都不是偶 数 ” 是 的充分不必要条件 若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真 . A B C D 答案： D 试题分析： 错误。应
7、为 ； 错误，都是的否定为不都是。应该为：命题 “a、 b都是偶数 ,则 a b是偶数 ”的逆否命题是 “a b不是偶数 ,则 a、 b不都是偶数 ” ； 正确。由 得 ，因此由 可以得到 ，但不一定能得到 ，因此此命题正确； 正确。若一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定是真 . 考点：四种命题的书写及真假的判断；充分、必要、充要条件；命题真假的判断。 点评：注意一些词语的否定： “都是 ”的否定是 “不都是 ”， “不都是 ”包含 “都不是 ”；“至少有一个 ”的否定是 “一个都没有 ”； “所有的 ”的否定是 “某些 ”； “任意的 ”的否定是 “某个 ”； “至多有一个 ”的否定是 “
8、至少有两个 ”； “至多有 n个 ”的否定是 “至少有 n+1个 ”； “任意两个 ”的否定是 “某两个 ”。 填空题 已知 ，则 为 答案： 1 试题分析： f（ x） =2x+3f（ 1），令 x=1，得 f（ 1） =2+3f（ 1）， f（ 1） =-1。 考点：导数的运算。 点评：在求导时，很多同学不理解 的导数是什么，实际是 是一个常数，它的导数为零。 已知向量 , 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 答案： 试题分析：设向量 , 的夹角为 ；因为 ，所以，所以 。 考点：平面向量数量积的运算。 点评：正确应用平面向量数量积的运算，是解好题题目的关键，本题是基础题 在 中，已知 且 ，
9、则 外接圆的面积是 答案： 试题分析：设外接圆半径为 R，由正弦定理得： ，所以 R=1.所以外接圆的面积是 。 考点：三角形的外接圆与外心；正弦定理。 点评：本题主要考查了圆面积公式以及正弦定理的熟练应用，属于基础题。 已知 ( ， )， sin ，则 tan( )等于 答案： 试题分析：因为 ( ， )， sin ，所以 cos= = ， tan= ，则 tan( ) 。 考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数 点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握基本关系及公式是解本题的关键 函数 y= 的定义域为 _，值域为
10、_. 答案： -1,2、 0, 试题分析：由 得： ，所以函数的定义域为 -1,2； 因为 ，所以 ，所以函数的值域为 0, 。 考点 :函数的定义域；函数的值域。 点评：求函数的定义域需要从以下几个方面入手：（ 1）分母不为零 ；（ 2）偶次根式的被开方数非负；（ 3）对数中的真数部分大于 0；（ 4）指数、对数的底数大于 0，且不等于 1 ； （ 5） y=tanx中 xk+/2； y=cotx中 xk等； ( 6 )中 。 解答题 （本题满分 12分）设函数 f(x) x3- ax2 3x 5(a 0) (1)已知 f(x)在 R上是单调函数，求 a的取值范围； (2)若 a 2，且当
11、x 1,2时， f(x)m恒成立，求实数 m的取值范围 答案： (1) 0 a6 ； (2) 15， ) 试题分析： (1)f(x) 3x2-ax 3， 2分 其判别式 a2-36. 当 0 a6时， f(x)0恒成立， 4分 此时 f(x)在 R上为增函数 6分 (2)a 2时， f(x) 3x2-2x 3 0恒成立， 因此 f(x)在 (-， )上是增函数， 8分 从而 f(x)在 1,2上 递增，则 f(x)max f(2) 15， 10分 要使 f(x)m在 x 1,2上恒成立，只需 15m， 解得 m 15， ) 故 m的取值范围是 15， ) 12分 考点：利用导数研究函数的单调性
12、。 点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路 1： 在 上恒成立 ；思路 2: 在 上恒成立 。 （本题满分 12分）某单位用 2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10层，每层 2 000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 560 48x(单位：元 )为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ 答案：层。 试题分析：设将楼房建为 x层，则每平方米的平均购地费用为： (元 ) 分 故每平方米的平均综合费用为： y 560 48x 560 48(x ) 6分 当 x 最
13、小时， y有最小值 x 0， x 2 30， 8分 当且仅当 x ，即 x 15时上式等号成立 10分 所以当 x 15时， y有最小值 2 000元 答：该楼房建为 15层时，每平方米的平均综合费用最 小 12分 考点：函数的实际应用题；基本不等式。 点评：本题考查函数模型的建立及解决实际问题的能力，同时也考查学生的计算能力，属于基础题型。 （本题满分 12分）等比数列 中， . (1)求数列 的通项公式； (2)若 分别为等差数列 的第 4项和第 16项，求数列 的前 项和 . 答案： (1) ； (2) 。 试题分析：（ ）设 的公比为 , 由已知得 ，解得 . 3分 又 ，所以 . 6
14、分 ( ）由（ I）得 ， ，则 ， . 8分 设 的公差为 ，则有 解得 10分 则数列 的前 项和 12分 考点：等比数列的通项公式；等比数列的简单性质；等差数列的前 n 项和公式。 点评：解决有关数列问题的最基本的方法是列出方程，组成方程组求解。此题考查了方程思想及学生的计算能力，属于基础题 （本题满分 13分）在 ABC中，角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，向量 ， (cos2A,2sinA)，且 . (1)求 sinA的值； (2)若 b 2， ABC的面积为 3，求 a. 答案： (1) ； (2) 当 cosA 时， a ；当 cosA - 时， a 3 。 试题
15、分析： (1) , cos2A (1-sinA) 2sinA， 3分 6(1-2sin2A) 7sinA(1-sinA) 5sin2A 7sinA-6 0， sinA 或 sinA -2(舍去 ) 6分 (2)由 S ABC bcsinA 3， b 2， sinA ，得 c 5， 8分 又 cosA ， a2 b2 c2-2bccosA 4 25-225cosA 29-20cosA， 10分 当 cosA 时， a2 13 a ； 当 cosA - 时， a2 45 a 3 13分 考点：数量积；向量共线的条件；余弦定理；三角形的面积公式。 点评：本题是一个三角函数同向量结合的问题，是以向量平
16、行条件，得到三角函数的关系式，是一道综合题，在高考时可以选择和填空形式出现，也可以作为解答题的一部分出现。 （本题满分 13 分）已知函数 f(x)=cos(- )+cos( )， k Z， x R (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在 0,)上的减区间； (3)若 f()= , (0, )，求 tan(2+ )的值 答案： (1) ； (2) ,) ； (3) 。 （本题满分 13分）已知函数 (1) 求函数 的极值； (2)求证：当 时， (3)如果 ，且 ，求证： 答案： (1) 当 时， 取得极大值 = ； (2) ，则只需证当 时， 0； (3) 由 的结论知 时， 0， ， 又 ， 。 试题分析： = ， = 2分 令 =0，解得 1 0 - 极大值 当 时， 取得极大值 = 4分 证明： ,则 = 6分 当 时， 0， 2，从而 0， 0， 在 是增函数 8分 证明： 在 内是增函数，在 内是减函数 当 ，且 时， 、 不可能在同一单调区间内 ， 11分 由 的结论知 时， 0， ， 又 ， 13分 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性。 点评：此题是个难题主要考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来研
