1、2013届安徽省无为县四校高三联考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，则 AB等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析：因为 ，所以 AB= 。 考点：集合的运算；指数不等式。 点评：直接考查集合的运算，利用数轴计算更简单。属于基础题型。 已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，若有穷数列 （ ）的前 项和等于 ，则 等于（ ） A 4 B 6 C 5 D 7 答案： C 试题分析：令 ，因为 ，则，所以 在 R上是单调递减的，所以 0a1，因为 ，所以 或 a=2（舍去）。 所以有穷数列 （ ）是以 为首项， 为公比的等比数列，因为有穷数列 （ ）的前 项和等于 ，所以 ，解
2、。 考点：指数函数的性质；导数的运算公式及运算法则；利用导数研究函数的单调性；数列的前 n项和；无穷数列的前 n项和公式。 点评：本题考查数列与函数的综合，考查导数知识的运用。其难点为构造函数= ，且判断出 在 R上是单调递减的。确定有穷数列（ ）是以 为首项， 为公比的等比数列是关键此题属于较难题目。 对任意 ，函数 不存在极值点的充要条件是（ ） A 或 B C D 或 答案： C 试题分析：因为函数 ，所以 ，若函数不存在极值点，则 恒成立且不恒为 0， 所以，当 a=0时， =70恒成立，此时 a=0满足题意； 当 a0时，要满足题意需 ，解得， 综上知：若函数不存在极值点实数 a的范
3、围为 。 考点：函数的极值及极值点；有关恒成立问题；二次函数的有关性质。 点评：此题属于中档题，也是易错题，错误的主要原因为忽略了对二次项系数的讨论。一般情况下，若二次项系数含有字母，要想着讨论二次项系数是否为0. 将函数 y=sin2x的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），则所得函数的图象（ ） A关于点 对称 B关于直线 对称 C关于点 对称 D关于直线 对称 答案： A 试题分析：将函数 y=sin2x的图像上所有的点向右平行移动 个单位长度，得函数 ，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得函数： 。由，所以所得函数
4、关于点 对称，故选 A。 考点：函数 y=Asin（ x+）的图象变换。 点评：本题主要考查三角函数的平移变换平移的原则是左加右减、上加下减但要注意，左右平移时，若 x 前面有系数，一定要先提取系数再加或减数。 函数 是定义域为 的可导函数，且对任意实数 都有 成立若当 时，不等式 成立，设 ， ，则 ， ， 的大小关系是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由 f（ x） =f（ 2-x）可得，函数 f（ x）的图象关于直线 x=1对称，所以 = 。再由 （ x-1） f（ x） 0成立可得，当 x 1， f（ x） 0，故函数 f（ x）在（ 1， +）上是减函数；当 x 1， f
5、（ x） 0，故函数 f（ x）在（ -， 1）上是增函数 因为 ，所以 ，即，即 b a c，故选 A 考点：不等关系与不等式；导数的运算 点评：本题主要考查函数的对称性和单调性的综合应用，不等式与不等关系，属于基础题函数 对定义域内的任意实数 都有 成立，则的对称轴为 。 函数 的图像大致形状是（ ）答案： B 试题分析：易知： 所以 x 0时，图象与 y=ax在第一象限的图象一样， x 0时，图象与 y=ax的图象关于 x轴对称，故选 B 考点：指数函数的图像与性质；图像的变化；分段函数。 点评：本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问 题常
6、用的方法 设 ，若 在 方向上投影为 ， 在 方向上的投影为 ，则与 的夹角等于（ ） A B C D 或 答案： A 试题分析：根据向量在另一个向量上投影的定义，因为 在 方向上投影为，所以 = ，因为 ，所以 。因为 在方向上的投影为 ，所以 = ，因为 ，所以。因为 ，所以 ，所以则 与 的夹角等于 。 考点：平面数量积的含义及物理意义。 点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的含义与物理意义，其中根据定义得到向量 在 方向上投影为 ，是解答本题的关键。 向量 = (cos, sin)， = ( , 1)，则 的最大值为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 答案： B 试题分析： =
7、16，所以=4. 考点：数量积的性质。 点评：熟记数量积的性质；向量的平方就等于它的模的平方，即 。当求向量的模时经常用到此公式。 已知等比数列 的公比为正数，且 =2 ， =1，则 =（ ） A B C D 2 答案： B 试题分析：因为 =2 ，所以 =2 ，即 ，又因为 的公比为正数，所以 。所以 。 考点：等比数列的简单性质；等比中项。 点评：灵活应用等比数列的性质是做此题的关键。 命题 “ ， ”的否定是（ ） A ， B ， C ， D ， 答案： D 试题分析：因为全称命题的否定为特称命题，所以命题 “ ， ”的否定是 ， 。 考点：全称命题的否定。 点评：注意命题的否定和否命题
8、的区别。 填空题 某同学在研究函数 时，分别给出下面几个结论： 等式 对 恒成立； 函数 的值域为 ； 若 ，则一定有 ； 函数 在 上有三个零点。 其中正确结论的序号有 _. 答案： 试题分析：易知函数 f（ x）的定义域是 R， f（ -x） = = =-f（ x）， 函数 f（ x）是奇函数，故 ，正确； 因为 |f（ x） |= ，所以 -1 f（ x） 1，故 正确； 因为奇函数 f（ x）在（ 0， +）上是增函数，所以 f（ x）在其定义域内是增函数，所以若 ，则一定有 故 正确； 令函数 =0 即 f（ x） =x，解得 x=0，所以函数 在上有三个零点错误。综上，中正确结论的
9、序号为 考点：函数奇偶性的判断；函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的零点 点评：本题考查函数的奇偶性、单调性，函数值域及函数的零点，综合性较强，对学生的要求也较高。 在 ABC中，若 答案： 试题分析： tanB+tanC=2。故答案：为： 2。 考点：同角三角函数关系式，三角形内的隐含条件；诱导公式。 点评：本题是基础题，考查三角函数的化简、求值，及公式的灵活应用应用，也考查了计算能力。 计算 答案： 试题分析： 。 考点：微积分基本定理。 点评：直接考查微积分基本定理，属于基础题。 已知向量 若 为实数， ，则 的值为 . 答案： 试题分析：因为 ，所以 ， 因为 ，所以 。 考点：
10、向量的坐标表示；向量平行的充要条件。 点评：熟记向量平行和垂直的条件，设 ： 非零向量垂直的充要条件： ； 向量共线的充要条件： 。 已知命题 ，命题 若非 p是非 q的必要不充分条件，那么实数 m的取值范围是 。 答案： 试题分析：由题意，命题 p： x 1，所以 p： x 或 x1；命题 q：x2+2x+1-m0（ m 0），所以 q： x2+2x+1-m 0，即（ x+1） 2 m，解得 q： x-1- 或 x -1+ ，因为 p是 q的必要不充分条件， 。所以实数 m的取值范围是 。 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；分式不等式的解法；二次不等式的解法。 点评：本题解题的关键是
11、求出非 p、非 q为真时， m的范围在计算时要仔细认真，避免出现计算错误。 解答题 （本小题满分 12分） 设 的内角 所对的边分别为 ，已知 （ 1）求 的面积； （ 2）求 的值 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：（ ）在 中，因为 ， 所以 2 分 所以， 5 分 （ ）由余弦定理可得， 所以， 7 分 又由正弦定理得， ， 所以， 9 分 因为 ，所以 为锐角 , 所以， 11 分 所以， 12 分 考点：同角三角函数关系式；解三角形；余弦定理的应用；三角形的面积公式。 点评：本题考查三角形的解法，正弦定理、余弦定理以及同角三角函数的基本关系式的灵活应用，考查计算能力。属于基础
12、题。 （本小题满分 12分）已知集合（ 1）当 =3时，求 ； （ 2）若 ，求实数 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 8。 试题分析：由 ， 2 分 （ 1）当 m=3时， ， 则 4 分 6 分 （ 2） 8 分 10 分 ，符合题意，故实数 m的值为 8.12 分 考点：集合的运算；分式不等式的解法；二次不等式的解法；含参不等式的解法。 点评：解含参不等式经常要用到分类讨论的数学思想，其讨论的主要依据为：一是开口方向；二是两根的大小；三是判别式 。 （本小题满分 12分）若向量 =,在函数 + 的图象中 ,对称中心到对称轴的最小距离为 ,且当 时 , 的最大值为 . （ 1）求函数
13、的式 ; （ 2）求函数 的单调递增区间 . 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析：解 :由题意得 mn+ 3 分 (1) 对称中心到对称轴的最小距离为 ， 的最小周期 ， 5 分 当 时， . 8 分 （ 2） ， 10 分 解得： ， 所以函数 的单调递增区间为 .12 分 考点：向量的数量积；二倍角公式；三角函数的化简；三角函数的性质。 点评：本题主要考查 y=Asin（ x+） +m类型函数的性质，借助了正弦函数的性质解决。此题为常见题型。属于基础题。 （本小题满分 12分）已知二次函数 的图象过点（ 0， 3 ），且的解集（ 1， 3）。 （ 1）求 的式； （ 2）若当 时，恒
14、有 求实数 t的取值范围。 答案：（ 1） ；（ 2） 。 试题分析： (1) 由题意可设二次函数 2 分 当 , 4 分 6 分 (2) 当 时，恒有 成立，可知 对 恒成立 8 分 10 分 故实数 的取值范围为 12 分 考点：二 次函数的性质；二次不等式的解法；基本不等式。 点评：解决恒成立问题常用变量分离法，变量分离法主要通过两个基本思想解决恒成立问题， 思路 1： 在 上恒成立 ；思路 2: 在 上恒成立 。 （本小题满分 13 分）设数列 的前 项和为 .已知 ， ，. （ 1）写出 的值，并求数列 的通项公式； （ 2）记 为数列 的前 项和，求 ； （ 3）若数列 满足 ，
15、，求数列 的通项公式 . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3） 。 试题分析：（ ）由已知得， ， . 2 分 由题意， ，则当 时， . 两式相减，得 （ ） . 3 分 又因为 ， ， ， 所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列， 所以数列 的通项公式是 （ ） . 4 分 （ ）因为 ， 所以 ， 5 分 两式相减得， ， 7 分 整理得， ( ). 8 分 （ ） 当 时，依题意得 , , , . 相加得， . 11 分 依题意 . 因为 ，所以 （ ） . 显然当 时，符合 . 所以 ( ). 13 分 考点：数列通项公式的求法。错位相减法求数列前 n项和。 点评：我们要熟练掌
16、握求数列通项公式的方法。公式法是求数列通项公式的基本方法之一，常用的公式有：等差数列的通项公式、等比数列的通项公式及公式 。此题的第一问求数列的通项公式就是用公式，用此公式要注意讨论 的情况。 （本小题满分 14分）已知函数 ， 。 (1) 若 ，求函数 的极值； (2) 设函数 ，求函数 的单调区间； (3) 若在区间 （ ）上存在一点 ，使得 成立，求的取值范围。 答案： (1) 的极小值为 ； (2) 当 时， 在 上递增；时， 在 上递减，在 上递增； (3) 或 。 试题分析：（ 1） 在 上递减，在 上递增 的极小值为 4 分 （ 2） 当 时， ， 在 上递增 当 时， ， 在
17、上递减，在 上递增 8 分 （ 3）区间 上存在一点 ，使得 成立 在 上有解 当 时， 由（ 2）知 当 时， 在 上递增， 当 时， 在 上递减，在 上递增 （ ）当 时， 在 上递增 无解 （ ）当 时， 在 上递减 （ ）当 时， 在 上递减，在 上递增 令 ，则 在 递减 无解 即 无解 综上： 或 14 分 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值。 点评：本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值在利用导函数来研究函数的极值时，分三步 求导函数， 求导函数为 0的根， 判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值
