1、2013届山东省沂南一中高三第二次质量检测文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 直线 : 和 : 互相垂直，则 ( ) A -2 B -3 C - 或 -1D 或 1 答案： B 试题分析：因为两条直线互相垂直，所以 考点：本小题主要考查两条直线的位置关系 . 点评：两条直线 垂直，最好用 ,如果用斜率乘积等于 -1，容易产生增根 . 已知定义在 上的函数 满足 ，且 的导函数 则不等式 的解集为（ ） A B C D答案： C 试题分析：令 则原不等式为， 而 ，又 所以 ，所以 在 上单调递增 . 而 ，所以 考点：本小题主要考查抽象函数的单调性和构造函数利用函数的单调性解抽象不等式，考查
2、了学生的构造能力和转化能力 . 点评：导数主要功能之一是研究函数的单调性，所以看到题目中出现导数，自然应该能够想到要向单调性方面转化，从而成功求解 . 直线 与抛物线 交于 、 两点，若 ，则弦的中点到直线 的距离等于 ( ) A B CD 答案： C 已知平面上不共线的四点 O， A， B， C.若向量 则 的值为 ( ) A. B. C. D. 答案： A 试题分析： ,所以 的值为 . 考点：本小题主要考查向量的线性运算以及向量的模的运算求解 . 点评：向量的加法主要应用首尾相接的向量，向量的减法主要应用共起点的向量 . 函数 的图象如右图所示，下列说法正确的是 ( ) 函数 满足 函数
3、 满足 函数 满足 函数 满足 A B C D 答案： A 试题分析：根据函数的图象很容易可以看出该函数为奇函数，而且最小正周期为 4，所以 正确， 中，所以周期为4，所以也正确 . 考点：本小题主要考查根据函数的图象考查函数的奇偶性、周期性等性质，考查学生数形结合的能力和转化能力 . 点评：函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等是函数的重要性质，要熟练掌握，并且灵活应用 . 设 为全集，对集合 ，定义运算 “ ”，满足 ，则对于任意集合 ，则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：根据新定义知 ,所以. 考点：本小题主要考查新定义背景下集合的关系及运算，考查学生的类比能力 . 点评：
4、新定义问题一般难度不大，只要根据定义转化成熟悉的数学模型即可 . 已知正三角形 ABC的顶点 A(1,1)， B(1,3)，顶点 C在第一象限，若点（ x，y）在 ABC内部，则 的取值范围是 ( ) A ， B ， C ， D ， 答案： B 试题分析：三角形 ABC 是正三角形，顶点 A(1,1)， B(1,3)，顶点 C 在第一象限，所以点 C 的坐标为 ，再画出目标函数，可以得出在 B处取到最大值 2，在点 C处取到最小值 ，所以取值范围是 ， . 考点：本小题主要考查利用线性规划知识求线性目标函数的最值，考查学生画图、用图的能力 . 点评：解决有关线性规划的问题，首先要准确画出可行域
5、，然后线性目标函 数可以直接求解，非线性的可以转化成斜率或者距离等进行求解 . 已知 为锐角， ，则 =( ) A B C D -2 答案： A 试题分析：因为 为锐角， ，所以 ，所以所以 考点：本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式和同角和与差的正切公式的应用，考查学生的运算求解能力 . 点评：三角函数中公式较多，要灵活选择，另外用平方关系求三角函数值时，要注意解的个数问题 . 某个小区住户共 户 ,为调查小区居民的 月份用水量 ,用分层抽样的方法抽取了 户进行调查 ,得到本月的用水量 (单位 :m3)的频率分布直方图如图所示 ,则小区内用水量超过 m3的住户的户数为 ( )
6、A B C D 答案： C 试题分析：根据频率分布直方图，可以得到小区内用水量超过 m3的住户的户数为 考点：本小题主要考查频率分布直方图的应用，考查学生读图、识图、用图的能力 . 点评：解决有关频率分布直方图的问题，要注意频率分布直方图中纵轴表示的不是频率，而是频率 /组距 . 已知 是两条不同直线， 是三个不同平面，下列命题正确的是（ ) A B C D 答案： A 试题分析：垂直于同一个平面的两条直线平行，所以 A正确；而垂直于同一平面的两个平面可能平行，也可能相交，所以 B错误；平行于同一个平面的两条直线可能平行，也可能相交或异面，所以 C错误；而平行于同一条直线的两个平面不一定平行，
7、所以 D错误 . 考点：本小题主要考查空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，考查学生的空间想象能力和推理论证能力 . 点评：解决此类问题的关键是紧扣定理，定理条件缺一不可 . 设 A， B为直线 与圆 的两个交点，则 |AB|=( ) A 1 B C D 2 答案： D 试题分析：显然直线过圆的圆心，所以 |AB|长即为直径的长度，所以 |AB|=2. 考点：本小题主要考查直线与圆相交的弦长的计算 . 点评：解决本题关键是发现直线过圆心，所以弦长等于直径长 . “非 p为假命题 ”是 “p且 q是真命题 ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也木必要条件 答
8、案： B 试题分析： “非 p为假命题 ”则 “p为真命题 ”， “p为真命题 ”推不出 “p且 q是真命题 ”，但反之， “p且 q是真命题 ”说明 p和 q都是真命题，所以能推出 “非 p为假命题 ”. 考点：本小题主要考 查充要条件的判定，考查学生的推理能力 . 点评：判定充分条件和必要条件，关键是分清谁是条件谁是结论，另外要注意推理的严谨性 . 填空题 过双曲线 的一个焦点 F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段 ( 为原点 )的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 . 答案： 试题分析：不妨设从右焦点 向其中的一条渐近线 作垂线，垂足为 ，因为垂足恰在线段 的垂直平分线上，根据直角三角形斜
9、边上的中线等于斜边的一半可知点 坐标为 ，代入渐近线 ，可得 考点：本小题主要考查双曲线中基本量的关系和离心率的求法，考查学生数形结合思想的应用 和运算求解能力 . 点评：解决本小题的关键在于根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 的坐标，如果换成其余求 的坐标的方法，可能计算量会大很多 . 已知从点 发出的一束光线，经 轴反射后 ,反射光线恰好平分圆 :的圆周 ,则反射光线所在的直线方程为 . 答案： 试题分析： 关于 轴的对称点 在反射光线上，又因为反射光线恰好平分圆 : 的圆周 ,所以反射光线过圆心 ，根据直线方程的两点式可得反射光线所在的直线方程为 . 考点：本小题主要考查两点式
10、求直线方程，考查学生转化问题的能力和运算求解能力 . 点评：解决此题的关键在于找出 和圆心 在反射光线上，从而可以根据直线方程的两点式求解 . 已知某几何体的三视图如右图所示 ,则该几何体的体积为 .答案： 试题分析：由三视图可知，该几何体是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，该四棱锥底面是梯形，所以面积为 ，该四棱锥的高为 2，所以该四棱锥的体积为 . 考点：本小题主要考查空间几何体的三视图和空间几何体的体积的计算，考查学生的空间想象能力和运算求解能力 . 点评：求解与三视图有关的问题的关键是根据三视图准确还原几何体 . 设等差数列 的前 项和为 、 是方程 的两个根，则等于 . 答案： 试题
11、分析：由题意知， ，所以 考点：本小题主要考查一元二次方程根与系数的关系和等差数列的性质，考查学生的运算求解能力 . 点评：等差数列的性质是高考中常考的内容，要熟练掌握，灵活应用 . 解答题 （本小题满分 12分）已知函数 的图象与 轴分别相交于点 两点，向量 ， ，又函数 ，且 的值域是 ， 。 （ 1）求 ， 及 的值；（ 2）当 满足 时，求函数 的最小值。 答案：（ 1） （ 2） 3 试题分析：（ 1）因为函数 的图象与 轴分别相交于点两点， 分别令 得 ， ,则 ， 又因为 ， ， 4 分 又 的值域是 ， ， 所以 ，解得 ， 所以 . 6 分 所以 ， 因为 ，所以 4， 当且
12、仅当 时等号成立， 所以 时， 的最小值是 3. 12 分 考点：本小题主要考查直线的交点、二次函数的值域以及利用基本不等式求最值，考查学生对问题的转化能力以及运算求解能力 . 点评：利用基本不等式求最值时，一正二定三相等三个条件缺一不可，而且还要写清楚取等号的条件 . (本小题满分 12分 )如图所示，四棱锥 中， 为正方形，分别是线段 的中点 . 求证： （ 1） /平面 ； （ 2）平面 平面 . 答案： (1)证明见 (2) 证明见 试题分析：（ 1） 分别是线段 的中点， 又 为正方形， ， 又 平面 ， 平面 ， /平面 . 6 分 （ 2） ,又 , . 又 为正方形， , 又
13、, 平面 , 又 平面 ， 平面 平面 . 12 分 考点：本小题主要考查线面平行和面面垂直的证明，考查学生的空间想象能力和推理论证的严谨性 . 点评：证明空间线线、线面、面面平行或垂直时，要灵活运用判定定理和性质定理，先搞清楚证明需要的条件，再去找条件，特别注意的是定理中的隐含条件也是不可缺少的，要把定理需要的条件一一列清楚 . （本小题满分 12分）已知锐角 中内角 、 、 的对边分别为 、 ，且 . （ 1）求角 的值； （ 2）设函数 ， 图象上相邻两最高点间的距离为 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）由正弦定理可得 ,则 , 由余弦定理 , 因为 ,所
14、以 . 6 分 （ 2） , 由已知 ,则 因为 ,所以 , 由于 , 所以 ，所以 ， 根据正弦函数图象 , ，所以 . 12 分 考点：本小题主要考查三角形中正弦定理和余弦定理的应用、三角函数的化简以及三角函数的图象和性质的应用，考查学生熟练运用公式的能力和数形结合数学思想的应用 . 点评：已知三角函数值求角时，要先列出来角的范围，再说明角的度数，因为角和三角函数值不是一一对应的关系；利用三角函数图象求周期时，要注意的正负，如果题目中没有说明，不要想当然地认为 是正的 . （本小题满分 12分）已知数列 满足 ， . 求证：数列 是等比数列，并写出数列 的通项公式； 若数列 满足 ,求 的
15、值 . 答案：（ 1） ，证明见（ 2） 试题分析：（ 1） ， ， 又 ， 0， 0， ， 数列 是首项为 2，公比为 2的等比数列 . ，因此 6 分 （ 2） ， ， ， 即 . . 12 分 考点：本小题主要考查构造法证明等比数列以及等比数列通项公式的求法以及裂项相消法求数列的前 n项和，考查学生的转化能力和运算求解能力 . 点评：构造法求数列的通项公式是常考的一种方法，利用时要注意是否取到了第一项，如果没有取到，则需要再验证第一项；裂项相消法和错位相减法是求数列的前 n项和的重要方法，裂项相消法难度不大，但首先要保证正确裂项 . （本小题满分 13分）某市 “环保提案 ”对某处的环境
16、状况进行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为 .现已知相距 的 ， 两家化工厂 (污染源 )的污染强度分别为正数 , ，它们连线上任意一点 C处的污染指数 等于两化工厂对该处的污染指数之和 .设 . (1) 试将 表示为 的函数； (2) 若 时 , 在 处取得最小值，试求 的值 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）设点 C受 A污染源污染指数为 ， 点 C受 B污染源污染指数为 ， 其中 k为比例系数，且 k 0, 从而点 C处污染指数 . 5 分 （ 2） 因为 ，所以， ， = ， 令 =0，得 ， 当 时，函数单调递
17、减；当 时，函数单调递增 . 当 时，函数取得最小值，又此时 ，解得 ， 经验证符合题意 . 所以，污染源 B的污染强度 的值为 . 13 分 考点：本小题主要考查利用导数求解实际问题中的最值问题， 考查了学生从实际问题向数学问题转化的能力和分类讨论思想的应用以及运算求解能力 . 点评：从实际问题中抽象数学模型时，一定不要忘记函数的实际定义域，利用导数研究函数的单调性时，要把单调性说清楚，必要时可以画表格辅助说明 . （本小题满分 13分）已知椭圆 的中心在原点 ，焦点 ， 在 轴上，经过点 ， ,且抛物线 的焦点为 . (1) 求椭圆 的方程； (2) 垂直于 的直线 与椭圆 交于 , 两点
18、，当以 为直径的圆 与 轴相切时，求直线 的方程和圆 的方程 . 答案：（ 1） （ 2） ， 或 ， 试题分析：（ 1） 设椭圆 的方程为 ， 则由椭圆经过点 ， ,有 ， 抛物线 的焦点为 ， ， 又 ， 由 、 、 得 ， 所以椭圆 的方程为 . 5 分 （ 2） 依题意，直线 斜率为 1， 由此设直线 的方程为 ，代入椭圆 方程，得. 由 ，得 . 记 ， = ， = ， 圆 的圆心为 ，即 , ， 半径 ， 当圆 与 轴相切时， ，即 ， ， 当 时，直线 方程为 ，此时， ，圆心为 (2， 1)，半径为 2，圆 的方程为 ； 同理，当 时，直线 方程为 ， 圆 的方程为 . 13 分 考点：本小题主要考查椭圆与抛物线基本量之间的关系和椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、直线与圆的位置关系、直线与圆的方程的求解，考查了学生综合运算所学知识分析问题、解决问题的能力和数形结合数学思想的应用以及运算求解能力 . 点评：每年高考圆锥曲线问题都出现在压轴题的位置上，难度一般较大，要充分利用数形结合数学思想方法，尽可能的寻求简单方法，尽可能的减少运算，另外思维一定要严谨，运算一定要准确 .
